江苏省连云港市2026届高三二轮复习强化训练(6)(数学-导数1)

高考资源网（），您身边的高考专家江苏省连云港市2026届高三二轮复习强化训练6．导数应用（一）新海高级中学潘彩张园一、填空题：1．当h无限趋近于0时，无限趋近于．2．若函数的增区间为（0，1），则的值是．3．曲线在点（）处的切线方程为．4．函数y=x3-3x+1在闭区间[-30]上的最大值与最小值分别为___________．5．函数的单调递增区间为_______________．6．当时，恒成立，则实数m的取值范围是__________．7．设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为_________________．8．若函数在x=1处取的极值，则3a+b+c=____________．9．若曲线在点P处的切线垂直于直线，则P的坐标为_______．10．设曲线直线y=0及x=t(t>0)围成的封闭图形的面积为S(t)，则．11．设a、b为实数且b-a=2，若多项式函数在区间（a,b）上的导函数满足，则与的大小关系是___．12．母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于_______．13．圆形水波的半径50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为．14．已知数列{an}满足2an+1=-an3+3an且，则an的取值范围为___________．二、解答题15．已知函数，，是否存在整数m，使得函数f(x)与g(x)图像在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m的值，若没有，请说明理由．16．用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F的光源所射出的光线FP经抛物线上任一点反射后（该点处的切线反射）反射光线PM与抛物线对称轴平行．17．如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率．18．（07连云港三模）函数f(x)=｜x3-3tx+m｜(m,t为实常数)是偶函数，且g(x)=EQ\F(f(x),x2)．（1）求实数m的值并比较f(eq\r(t))与f(2eq\r(t))(t＞0)的大小；（2）求函数y=f(x)在区间[-2,2]上的最大值F(t)．19．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量A的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低．20．设f(x)=x(x-p)(x-q)(p>q>0)且函数f(x)在x=a和x=b(a>b)处取得极值（1）求证:p>a>q>b；（2）若p+q<2,则过原点与曲线y=f(x)相切的两条直线能否互相垂直?若能请证明你的结论．若不能,说明理由．6．导数（一）新海高级中学潘彩张园一、填空题1．当h无限趋近于0时，无限趋近于6．2．若函数的增区间为（0，1），则的值是1．3．曲线在点（）处的切线方程为．4．函数y=x3-3x+1在闭区间[-30]上的最大值与最小值分别为___3,-17__．5．函数的单调递增区间为．6．当时，恒成立，则实数m的取值范围是___m>2___．7．设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为．8．若函数在x=1处取的极值，则3a+b+c=____0____．9．若曲线在点P处的切线垂直于直线，则P的坐标为__(1,0)___．10.设曲线直线y=0及x=t(t>0)围成的封闭图形的面积为S(t)，则=；11．设a、b为实数且b-a=2，若多项式函数在区间（a,b）上的导函数满足，则与的大小关系是．12．母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于．13．圆形水波的半径50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，圆面积的膨胀率为．14．已知数列{an}满足2an+1=-an3+3an且，则an的取值范围为(0,1)．二、解答题：yxO15.已知函数，，是否存在整数m，使得函数f(x)与g(x)图像在区间(m,m+1)内有且仅有两个公共点，若有，求出m的值，若没有，请说明理由.yxO变式题:已知函数f(x)=x3+bx2+3cx+8和g(x)=x3+bx2+cx(其中-eq\f(3,2)＜b＜0)，F(x)=f(x)+5g(x),(1)=(m)=0.（1）求m的取值范围；（2）方程F(x)=0有几个实根？为什么？点拨：两曲线的公共点一般转化为方程的根问题，根据方程特点，利用三次函数的单调性，极值（最值）及图像特征是解决问题的突破点.解：函数f(x)与g(x)公共点的横坐标即是方程的解,也就是方程的根.记h(x)=，则令得，由单调性易知，h(0)和分别是极大值和极小值.＜0（如图）,由图形知有三个零点,且又h(3)=1,h(4)=5,故,即故可取m=3.又区间(m,m+1)长度为1，故m不可能有其他值.综合知，存在整数m=3满足题意.变式点拔：（1），由题设易得，消去c得，故，再由-eq\f(3,2)＜b＜0可解得m的取值范围是.（2）方程F(x)=0，化简有3x3+3bx2+4cx+4=0.记Q(x)=3x3+3bx2+4cx+4,则Q/(x)=9x2+6bx+4c,∵-eq\f(3,2)＜b＜0,c=-eq\f(2b+3,3),∴-1＜c＜0,∴△＞0，故Q/(x)=0有相异两实根,即函数Q(x)有两个极值点,不妨设为x1,x2(x1＜x2),则Q(x)极大值为Q(x1)，极小值为Q(x2).下面要确定两个极值的符号，显然十分困难，从函数结构特征上发现Q(0)=4,它就是此题的一个“启示点”，因为Q（x）在区间（x1,x2）内为减函数,所以Q(x1)＞Q(0)＞Q(x2),则Q(x1)一定为正，从而只须确定Q(x2)的符号即可.而三次函数Q(x2)=3x23+3bx22+4cx2+4的符号较难确定,函数Q（x）具有一个特性，即Q/(x2)恒为0(x2为Q(x)的极值点),以此为中心,利用它的特性进行两次降次，由3次降至1次,寻求解决问题的思路.Q(x2)=3x23+3bx22+4cx2+4=eq\f(1,3)x2(9x22+6bx2+4c)+bx22+eq\f(8,3)cx2+4=0+bx22+eq\f(8,3)cx2+4=eq\f(b,9)(9x22+6bx2+4c)+(eq\f(8,3)c-eq\f(2,3)b2)x2+4-eq\f(4,9)bc=(eq\f(8,3)c-eq\f(2,3)b2)x2+4-eq\f(4,9)bc.由韦达定理得x1+x2=-eq\f(2,3)b,x1x2=eq\f(4,9)c,∴0＜x1+x2＜1,-eq\f(4,9)＜x1x2＜0,x1＜0＜x2,x1＞-eq\f(4,9x2),∴1＞x1+x2＞-eq\f(4,9x2)+x2,9x22-9x2-4＜0,∴0＜x2＜eq\f(4,3),于是Q(x2)=(eq\f(8,3)c-eq\f(2,3)b2)x2+4-eq\f(4,9)bc＞(eq\f(8,3)c-eq\f(2,3)b2)eq\f(4,3)+4-eq\f(4,9)bc＞-eq\f(32,9)+4＞0,故Q（x）与x轴只有一个交点,所以方程F(x)=0只有一个实根．点评:此题从函数特性中抓“启示点”—引领思维“寻路”。特殊函数可以帮助我们轻松地选择思维的起点、方向、重心，以特殊函数特征、特性为中心，对信息层层剖析，使推理更具针对性、目标性。此题充分利用三次函数Q(x2)具有的Q/(x2)=0这个特性,因势利导,由三次降为一次,拨开云雾挖掘出深层次的内涵,突破了关口.它的特性有着画龙点睛，凝神聚气之奇效!是思维的导向标!16.用导数知识证明抛物线的光学性质：位于焦点F的光源所射出的光线FP经抛物线上任一点反射后（该点处的切线反射）反射光线PM与抛物线对称轴平行.点拨：要证两直线平行，可从多种角度入手根据导数意义及切线特点，从角方面研究本题较为方便.证：设抛物线方程为,则焦点为.由抛物线定义知，又，故PN的方程为，令x=0得轴．17．如图,酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率.变式:已知圆台形水桶高60cm，上口直径为60cm，底面直径为40cm，现将水以20的流量倒入桶中，当水深为20cm时，求水面升高的瞬时变化率.点拨：什么是水面升高的变化率？是，还是？它们与导数有何关系？当时，水增量形状如何？这些都会导致对问题的不同思考与解法.解法1：设当水深hcm时圆锥横截面半径为rcm，对应体积为V可知，,,又当时，且，即，当时，.答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为.解法2：由得于是又当时，故.答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为.解法3：易知当水深为4时，水面直径为3，设经秒后水面上升为，则此时水的增量近似地（看成圆柱）为.答：当水深为4cm时，水面升高的瞬时变化率为.点评：法1从导数定义出发，解决实际问题；法2则从实际问题中先提炼出函数解析式，然后对函数求导，法3是从变化率的本质入手，运用以直代曲思想使问题获解,解法新颖别致,给人耳目一新之感18．函数f(x)=｜x3-3tx+m｜(m,t为实常数)是偶函数，且g(x)=EQ\F(f(x),x2).（1）求实数m的值并比较f(eq\r(t))与f(2eq\r(t))(t＞0)的大小；（2）求函数y=f(x)在区间[-2,2]上的最大值F(t).变式（07福建改编）已知函数.（1）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（2）设函数，求证：．yxO点拔：（1）由恒成立易得m=0．而，，故f(eq\r(t))=f(2eq\r(t))；yxO（2）由于函数f(x)是偶函数，故要讨论函数f(x)在[-2,2]的最大值，只需讨论函数f(x)在[0,2]的最大值.令h(x)=eq\o(x)\s\do3()3-3tx(x∈[0,2])，h/(x)=3eq\o(x)\s\do3()2-3t.①当t≤0时，h/(x)=3x2-3t≥0,(仅当t=0,x=0时，h/(x)=0)，从而h(x)是增函数，∴h(x)的值域为[0,8-6t]，∴F(t)=8-6t．②当t＞0时,分类的标准如何确定，先画出在x≥0时函数f(x)的图像,如图所示，而(1)中结论f(eq\r(t))=f(2eq\r(t)),以这个铺垫为中心，点明分类讨论的标准是什么，即区间[0，2]边界值2与eq\r(t)和2eq\r(t)大小关系为分类标准.分类为：①当2＜eq\r(t),即t＞4时，h/(x)=3x2-3t＜0,从而h(x)是减函数,f(x)在[0，2]单调递增函数，所以F(t)=f(2)=|8-6t|=6t-8；②当eq\r(t)≤2≤2eq\r(t),即1≤t≤4时,在[0，eq\r(t)]上，f(x)为增函数，F(t)=f(eq\r(t))=2teq\r(t)；③当2eq\r(t)＜2,即0＜t＜1时，F(t)=f(2)=|8-6t|=8-6t.综上可得，F(t)=EQ\B\lc\{(\a(8-6t(t＜1),2teq\r(t)(1≤t≤4),6t-8(t＞4))).点评:此题从前置铺垫中抓“启示点”—引领思维“指路”。在知识发展、生成过程中，前后知识有着必然的联系，前面的铺垫为后者的发展创建有效的平台,也为前者沉淀的知识得到全然的释放与延伸,开辟了通道，促使游戈无序的思维有序化、方向化、目标化.19．烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，据环保部门测定，地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，某乡境内有两个烟囱A,B相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量A的8倍，该乡要在两座烟囱连线上一点C处建一小学，请确定该小学的位置使得烟尘浓度最低.变式（06年江苏）（如图）请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？点拨：如何求解实际应用问题，建立数学模型，构造目标函数，利用导数求其最值是此类问题的通法.解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出烟尘量为8，设AC=x,0<x<20,且BC=20-x,依题意,C处烟尘浓度为y.则为比例系数）,.令得,当时，；当时，.∴当时，y取得