第1章　3.1 第2课时 等比数列的性质及应 北师大版高中数学选择性必修第二册课件

第1章3.1第2课时等比数列的性质及应用基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则

.

特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则2.an=am·

(m,n∈N+).

3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为

.

4.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列),等也是等比数列.5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1.注意等式成立的前提和角标规律

此时ap是am和an的等比中项

am·an=ap·aqqn-mqn-m名师点睛等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列.(2)当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.思考辨析1.[人教B版教材习题]如果等比数列{an}中公比q>1,那么{an}一定是递增数列吗?为什么?提示

不一定,比如公比为2的等比数列-1,-2,-4,-8,-16,….2.在等比数列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示

不一定成立,如数列{an}的通项公式an=2的常数列,公比为1,此时am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是递增数列.(

)(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.(

)(3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.(

)(4)若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am·an=ap.(

)√×××2.已知数列{an}是等比数列,且公比大于0,则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(

)A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件D解析

当a1<0,q>1时,数列{an}为递减数列,即充分性不成立;当数列{an}是递增数列时,可能是a1<0,0<q<1,即必要性不成立.故“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.3.[2024陕西咸阳期中]在正项等比数列{an}中,a4a8a12=8,则log2a2+log2a14=

.

2重难探究·能力素养速提升探究点一等比数列通项公式的推广应用【例1】

(1)已知在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则

=(

)A.16 B.8 C.4 D.2C(2)已知等比数列{an}中,若a4=2,a7=8,求an.规律方法

1.应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1.2.等比数列的增减性由a1,q共同确定,但只要数列递增或递减,必有q>0.变式训练1已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于(

)A.21 B.42 C.63 D.84B解析

设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.探究点二等比数列的性质及其应用【例2】

(1)在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,则数列{an}有

项.

12解析

由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,则a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故数列{an}有12项.★(2)已知{an}为等比数列.①若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;②若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.②根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.规律方法

巧用等比数列的性质解题

变式训练2(1)在正项等比数列{an}中,若a6=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=(

)A.5 B.6 C.10 D.11D解析

因为a6=3,且{an}为等比数列,所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==32,所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11.故选D.★(2)(多选题)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,记数列{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是(

)A.q>1 B.a8>1C.T16>1 D.T17>1BC解析

由a8+a9>a8a9+1,得(a8-1)(1-a9)>0,即a8,a9中一个大于1,另一个小于1.∵等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,即q>0,∴数列{an}要么是递增数列,要么是递减数列,而a1>1,∴综上可知,a8>1>a9,即数列{an}为递减数列且0<q<1.∵T16=a1·a2·…·a16=(a8a9)8,又a8a9>1,∴T16>1,而T17=(a9)17<1,故选BC.探究点三由等比数列衍生的新数列【例3】

已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(

)D解析

∵{an}为等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.又数列{an}各项均为正数,∴a4a5a6=5.规律方法

借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量.变式训练3在等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为(

)A.32 B.64

C.128

D.256B解析

由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且

=2,故a36=4×24=64.探究点四等比数列的实际应用【例4】

某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他能得到多少钱?解

(1)n年后车的价值依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,….由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,∴n年后车的价值为an=13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857

35(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,能得到8.857

35万元.规律方法

等比数列应用题的关注点(1)常见类型:增长率问题、银行利率问题、数值增减问题等.(2)关键:建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题.(3)步骤构造数列→判断数列→寻找条件→建立方程→求解方程→正确解答变式训练4《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主贵之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马”,马主曰:“我马食半牛”,今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,苗主人要求赔偿五斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半”,马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半”.则牛主人比羊主人多赔偿粟的斗数是(

)B解析

由题意,羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次成等比数列{an},且公比q=2,因为一共赔偿五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5,本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列通项公式的推广应用.(2)等比数列的性质及其应用.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳:化归转化、数学建模.3.常见误区:等比数列性质的错用,例如误用为a6=a2·a4.学以致用·随堂检测促达标123451.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(

)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D解析

根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am,ak,an成等比数列.即a3,a6,a9成等比数列.故选D.6123452.已知数列{an}是等比数列,满足a2+a4=10,a3+a5=20,则log2a1+log2a2+…+log2a10=(

)A.55 B.45 C.16 D.32B解析

设等比数列{an}的公比为q,所以a10=1×29=29,因此,log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.故选B.6123453.一张报纸的厚度为a,面积为b