2024-2025学年山东省青岛市高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛市高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0,1,3}，B={x|x≥1}，则A∩B=(

)A.⌀ B.{3} C.{1,3} D.{0,1,3}2.函数f(x)=lnx的定义域是(

)A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)3.二项式(1+x)7展开式的第3项的系数为(

)A.21 B.35 C.42 D.704.为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下2×2列联表：性别晚上白天总计女30男30总计4090则χ2的值最接近(

)

(附：χ2=A.18 B.11 C.8 D.65.设a=(23)13,b=(25)1A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a6.已知随机变量X～B(6,p)，随机变量Y=2X+1，且E(Y)=5，则p=(

)A.13 B.12 C.237.已知a>b>1，若logab+logba=A.1 B.2 C.3 D.48.已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…6)满足i=16xi=30，用最小二乘法得到的经验回归方程为y=x−1A.−2 B.−1 C.1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X～N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.1，则A.P(X≤2)=0.5 B.P(X≤4)=0.9

C.P(2≤X≤4)=0.3 D.D(2X+2)=410.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为35；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为45，则(

)A.他第2天去A餐厅的概率为710

B.他连续两天都去A餐厅的概率为14

C.他连续两天都不去A餐厅的概率为34

D.若他第2天去A餐厅，则他第1天去11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(12)≠0，若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy，则A.f(−12)=0 B.f(12)=−2

C.函数f(x−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知关于x的不等式ax2−x+3>0的解集为(−32,1)13.若函数f(x)=log2(x−1),x>10,x=1f(2−x),x<114.函数f(x)是定义在R上的奇函数，设函数g(x)=(x−1)2+f(x)x2+1的最大值为M，最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x(x−a)2．

(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若x=2是f(x)的极值点但不是零点，求f(x)的单调区间．16.(本小题15分)

某企业调研后，得到研发投入x(万元)与产品收益y(万元)的数据如下：x12345y912172126(1)若y与x线性相关，请根据样本相关系数r推断它们的相关程度；

(若0.3<|r|<0.75，则相关程度一般；若|r|≥0.75，则相关程度很强)

(2)求出y关于x的经验回归方程y​=b​x+a​，并预测当研发投入6万元时的产品收益．

17.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+x2−1，g(x)=ex−ax−a3．

(1)求f(x)的零点；

(2)18.(本小题17分)

系统中每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各个元件正常工作的事件相互独立.如果系统中多干一半的元件正常工作，系统就能正常工作.记Pk表示“系统中共有k(k∈N∗)个元作时，系统正常工作的概率”．

(1)若p=12，求P4；

(2)若p=23，系统中共有3个元件，记系统中正常工作的元件数与非正常工作的元件数之差为X，求X的均值；

19.(本小题17分)

已知函数y=f(x)的图象在定义域R上连续不断，f(−x)=f(x)，f(x)+f(2−x)=0，f(x)在区间[0,2]上单调递减，f′(x)是f(x)的导数．

(1)证明：f(x)是周期函数；

(2)给定t∈(0,2)，设a∈R，证明：存在k∈[a−t,a+t]，使得f(k)≤f(t)；

(3)若f′(x)=π2f(x+1),f(0)<2,f(12)=22，设函数F(x)=3f(x)−f(3x)．

(i)求F(x)的最大值；

(ii)答案解析1.【答案】C

【解析】解：集合B={x|x≥1}，A={−1,0,1,3}，则A∩B={1,3}．

故选：C．

由交集的概念即可求解．

本题主要考查集合的运算，属于基础题．2.【答案】D

【解析】解：由题意，可得lnx≥0，解得x≥1，

所以函数的定义域为[1,+∞)．

故选：D．

根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，再求出解集即可．

本题考查了利用函数的解析式求定义域，是基础题．3.【答案】A

【解析】解：所求系数为C72×15=21．

故选：4.【答案】B

【解析】解：2×2列联表如下：性别晚上白天总计女302050男103040总计405090则χ2=90(30×30−10×20)240×50×50×40=11.025，

所以χ2的值最接近11．

故选：B．5.【答案】C

【解析】解：∵a=(23)13,b=(25)13,c=(45)−12，函数y=x13是增函数，23>25，

6.【答案】A

【解析】解：因为X～B(6,p)，

所以E(X)=6p，

又因为Y=2X+1，

所以E(Y)=2E(X)+1=12p+1=5，

解得p=13．

故选：A．

根据二项分布的期望公式及期望的性质求解．7.【答案】D

【解析】解：a>b>1，若logab+logba=52，

则logab+1logab=52，

即2(logab)2−5logab+2=0，

所以logab=12或8.【答案】D

【解析】解：因为数据(xi,yi)(i=1,2,…6)满足i=16xi=30，

所以旧数据x−=306=5，

又因为经验回归方程y=x−1过样本中心点(x−,y−)，

所以y−=x−−1=5−1=4，

增加数据(−2,4)后，x1−=30−27=4，y19.【答案】ABD

【解析】解：因为X～N(2,σ2)，所以P(X≤2)=0.5，故A正确；

因为X～N(2,σ2)，其P(X≤0)=0.1，所以P(X≥4)=0.1，

所以P(X≤4)=1−P(X≥4)=1−0.1=0.9，故B正确；

因为X～N(2,σ2)，所以P(2≤X≤4)=P(X≥2)−P(X≥4)=0.5−0.1=0.4，故C错误；

由方差性质，D(2X+2)=4D(X)=4σ210.【答案】AD

【解析】解：设事件C=“第一天到餐厅A用餐”，C−=“第一天到餐厅B用餐”，

设事件D=“第二天到餐厅A用餐”，D−=“第二天到餐厅B用餐”，

由已知得：P(C)=P(C−)=12，P(D|C)=35，P(D|C−)=45，

因为：P(D)=P(D|C)P(C)+P(D|C−)P(C−)=710，故A正确；

因为：P(CD)=P(D|C)P(C)=311.【答案】ABD

【解析】解：令x=12，y=0，则有f(12)+f(12)×f(0)=f(12)[1+f(0)]=0，

又f(12)≠0，故1+f(0)=0，即f(0)=−1，

令x=12，y=−12，则有f(12−12)+f(12)f(−12)=4×12×(−12)，

即f(0)+f(12)f(−12)=−1，由f(0)=−1，可得f(12)f(−12)=0，

又f(12)≠0，故f(−12)=0，故A正确；

令y=−12，则有f(x−12)+f(x)f(−12)=4x×(−12)，

12.【答案】−2

【解析】解：由已知，a<0，且−32,1是一元二次方程ax2−x+3=0的两根，

由韦达定理，3a=−32×1=−13.【答案】−1

【解析】解：函数f(x)=log2(x−1),x>10,x=1f(2−x),x<1，f(12)=f(2−14.【答案】2

【解析】解：根据题意，g(x)=(x−1)2+f(x)x2+1=x2−2x+1+f(x)x2+1=f(x)−2xx2+1+1，

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以有f(−x)=−f(x)，

所以g(x)+g(−x)=1+−2x+f(x)x2+1+1+−2(−x)+f(−x)(−x)2+1=2+−2x+2x+f(x)−f(x)x2+1=2，

所以函数15.【答案】切线方程：y=x．

单调递增区间为(−∞,2)，(6,+∞)，单调递减区间为(2,6)．

【解析】(1)当a=1时，f(x)=x(x−1)2，则f(0)=0．

f′(x)=(x−1)2+x⋅2(x−1)=(x−1)(3x−1)．

则f′(0)=1．

所以切线过点(0,0)，斜率为1，

所以切线方程为y=x．

(2)f′(x)=(x−a)2+2x(x−a)=(x−a)(3x−a)．

因为x=2是f(x)的极值点，则f′(2)=0，即(2−a)(6−a)=0，解得a=2或a=6．

又x=2不是零点，

若a=2，则f(2)=2(2−2)2=0，矛盾，舍去；

若a=6，则f(2)=2(2−6)2=32≠0，符合条件．

所以f′(x)=(x−6)(3x−6)=3(x−6)(x−2)．

令f′(x)>0，解得x∈(−∞,2)∪(6,+∞)；

令f′(x)<0，解得x∈(2,6)

故函数f(x)的单调递增区间为(−∞,2)，(6,+∞)，单调递减区间为(2,6)．

(1)根据已知条件确定f(x)，求出f(0)和导数f′(x)，根据k=f′(0)求出切线斜率，从而得到切线方程；

(2)求函数f(x)16.【答案】y与x的相关程度很强；

y=4.3x+4.1，29.9【解析】(1)由题意，根据表格中的数据，可得：x−=15(1+2+3+4+5)=3，y−=15(9+12+17+21+26)=17，

则i=15(xi−x−)(yi−y−)=(1−3)(9−17)+…+(5−3)(26−17)=43，

i=15(xi−x−)2i=15(yi−y−)2=10×186≈43.1，

所以r=i=15(xi−17.【答案】1；

(1,+∞)．

【解析】(1)f(x)=lnx+x2−1的定义域为(0,+∞)，导函数f′(x)=1x+2x>0，

f(x)在(0,+∞)上单调递增，而f(1)=0，

因此函数f(x)的零点是1．

(2)g(x)=ex−ax−a3的定义域为R，导函数g′(x)=ex−a，

当a≤0时，导函数g′(x)>0，g(x)在R上单调递增，无极值；

当a>0时，由g′(x)>0，得x>lna；由g′(x)<0，得x<lna，

g(x)在(lna,+∞)上单调递增，在(−∞,lna)上单调递减，

当x=lna时，函数g(x)取得极小值g(lna)=a−alna−a3，

根据题意，g(lna)=a−alna−a3<0，即a2+lna−1>0，

根据第一问知，函数f(a)=a2+lna−1在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，

因此不等式a218.【答案】516；

1；

证明见解析．【解析】(1)因为k=4，p=12，

所以P4=C44p4(1−p)0+C43p3(1−p)1=C44(12)4+C43(12)4=516；

(2)记正常工作的元件个数为Y，则Y～B(3,23)，

所以E(Y)=kp=3×23=2，又因为X=Y−(3−Y)=2Y−3，

所以19.【答案】证明见解析；

证明见解析；

(i)22；(ii)2【解析】(1)证明：由题知：f(−x)=f(x)，f(x)+f(2−x)=0，

所以f(x)=−f(2−x)=−f(x−2)，

所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

(2)因为f(x)是周期为4的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，

先看f(x)在一个周期[−2,2]上的情况：x[−2,0][0,2]f(x)↑↓所以f(2)为f(x)的最小值，

根据周期性，不妨设a∈[−2,2]，显然区间[a−t,a+t]长度为2t<4，

若a=0，则f(x)在区间[−t,0]上单调递增，在区间[0,t]上单调递减，

所以取k=±t，有f(k)≤f(t)，

若a∈(0,2]，则0<t<a+t<4，

当a−t<2<a+t时，f(x)在区间[t,2]上单调递减，所以取k=2，有f(k)≤f(t)，

当a−t<a+t≤2时，f(x)在区间[t,a+t]上单调递减，所以取k=a+t，有f(k)≤f(t)，

同理可证，a∈[−2,0)时，存在k∈[a−t,a+t]，使得f(k)≤f(t)，

综上，对∀a∈R，存在k∈[a−t,a+t]，使得f(k)≤f(t)．

(3)(i)因为F(x+4)=3f(x+4)−f(3x+12)=3f(x)−f(3x)=F(x)，

且F(−x)=3f(−x)−f(−3x)=3f(x)−f(3x)=F(x)，

所以F(x)是周期为4的偶函数，不妨设x∈[0,2]，

因为F′(x)=3f′(x)−3f′(3x)=3