安徽省合肥市2024–2025学年高一数学上学期期中试题【含答案】

/考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果.【详解】修改量词否定结论，可得“，”，故选：B.2.已知集合，，且，则实数的值为（）A.－5 B.－4 C.－1 D.1【答案】C【解析】【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数的值即可.【详解】已知集合，，且，所以，所以.故选：C.3.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、分式分母不为求得结果.【详解】因为，所以，所以定义域为，故选：B.4.已知为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件.【详解】当时，取，，但，所以不能推出；当时，取，，但，所以不能推出，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D.5.已知幂函数的图象经过点，函数，则（）A.为偶函数 B.为奇函数C.为增函数 D.为减函数【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性.【详解】因为是幂函数，所以，即，又的图象经过点，所以，解得，所以，则为上的增函数，则，则函数的定义域为，所以非奇非偶函数，且为上的减函数.故选：D.6.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数为偶函数可得在上单调递减，则可得，于是可得的大小关系，分析选项可得答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，所以，因为为偶函数，所以，则，即.故选：C.7.已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围.【详解】因为，且，令，解得或，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，若的值域为，则，故选：C8.若正数满足，则的最小值为（）A. B.5 C. D.7【答案】A【解析】【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故选：A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，则下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断.详解】A：，故正确；B：，故错误；C：，故正确；D：，故正确；故选：ACD.10.下列各组中的函数与是同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.【答案】BC【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B，与的定义域都是，且，两个函数的对应法则也相同，所以是同一函数，故B正确；对于C，两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，所以是同一函数，故C正确；对于D，因为，，所以不是同一函数，故D错误；故选：BC11.对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】【分析】A：取计算并判断；B：根据和分类讨论即可；C：先证明，然后计算出在给定范围下的正负即可判断；D：直接根据不等式性质进行比较.【详解】对于A：取，则，，所以，故A错误；对于B：当时，，所以一定成立，当时，，所以，所以，成立，故B正确；对于C：不妨设，，，则，又，则，所以；当时，，所以，所以，又因为，所以，所以，故C正确；对于D：当时，，所以且，所以，所以，所以，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中应用在C项的证明中会更方便.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______．【答案】【解析】【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解.【详解】由题意可得，则，即，则，解得或，若，则违背集合互异性，舍去；若，则有，符合要求；综上所述，，则.故答案为：.13.若函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则______．【答案】##0.5【解析】【分析】根据连续可得，即可代入求解.【详解】由于的图象是一条连续不断的曲线，故，由于，故，所以故，故答案为：14.若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为“的图象在上有唯一交点”，然后对进行分类讨论，根据值域间的关系求解出的取值范围.【详解】因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，即对任意的，方程在上有唯一解，即对任意的，的图象在上有唯一交点；在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图，因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，所以，所以，当时，，此时与在上有唯一交点，符合条件；当时，，若满足条件只需，解得；当时，，若满足条件只需，解得；综上所述，的取值范围是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合．（1）求集合；（2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果；（2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果.【小问1详解】当为真命题时，即“，”为真命题，所以，所以或，所以若为假命题，则的范围是，所以.【小问2详解】因为是的必要不充分条件，所以⫋，因为时，若⫋，只需，解得，经检验，和时满足条件，综上所述，的取值范围是.16.（1）计算：；（2）计算：；（3）已知，且，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）由题意可知，所以，，因为，所以，所以，所以.17.已知关于的函数．（1）若，求时的取值范围．（2）是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决.（2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值.【小问1详解】当时，可转化为：.所以或.所以的取值范围是：.【小问2详解】函数在的最大值，可能是在行或或时取得.若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意.若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意；若，解得或.当时，，对称轴为，故不合题意.综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3.18.已知函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，用定义证明在上单调递增；（3）若存在正数满足，求的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据化简计算出的值；（2）先设变量，然后表示出并对其进行因式分解，根据条件判断出的正负，由此可证明出单调性；（3）将问题转化为“有正数解”，通过换元法以及参变分离求解出的取值范围.【小问1详解】的定义域为且关于原点对称，因为为偶函数，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】当时，；，且，则，因为，所以，，，所以，所以，所以，所以在上单调递增.【小问3详解】因为有正数解，所以有正数解，所以有正数解，所以有正数解；令，因为，由对勾函数的性质可知，所以在上有解，所以在上有解，令，且均在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，所以.19.对于非空的有限整数集，定义，．（1）若集合，求和．（2）已知，为非空的有限整数集，且．（ⅰ）若，求集合；（ⅱ）证明：．【答案】（1）；.（2）（ⅰ）或；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果；（2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明.【小问1详解】由题意可得，.【小问2详解】（ⅰ）设，则，因为，所以，所以，即，因此，因为，所以，所以，由此可知中至少有和两个元素，所以