第05讲用空间向量研究直线平面的位置关系（原卷版）

第05讲用空间向量研究直线、平面的位置关系题型梳理题型梳理题型方法题型一直线的方向向量的理解题型二平面的法向量的理解题型三平行关系的判定与应用题型四垂直关系的判定与应用题型五空间线面位置关系的探索性问题知识清单知识清单知识点01空间中点的向量和直线的向量表示1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，设P是直线l上任意一点，(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．知识点02空间中平面的向量表示1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．知识点03直线和直线平行设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.知识点04直线和平面平行设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.注意点：(1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)特别强调直线在平面外．知识点05平面和平面平行设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.知识点06直线与直线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.注意点：(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直．(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.知识点07直线与平面垂直设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.知识点08平面与平面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.题型方法题型方法【题型一】直线的方向向量的理解解题技巧理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行【题型二】平面的法向量的理解A． B．1 C． D．解题技巧求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解．(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．则上述结论正确的是.（填序号）【题型三】平行关系的判定与应用A．2 B．1 C． D．解题技巧证明线线平行的两种思路：(1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．(2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．【题型四】垂直关系的判定与应用A． B． C．1 D．4解题技巧证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行．证明线面垂直的方法：(1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．(2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．(3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．(1)求的长；【题型五】空间线面位置关系的