广州一模数学试卷

广州一模数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}，则集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|1<x<3}

D.{x|2<x<4}

2.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.已知向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，则向量a+b的模长等于（）

A.√10

B.√13

C.√17

D.√26

4.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，则S_5等于（）

A.30

B.40

C.50

D.60

5.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的圆心坐标是（）

A.(2,-3)

B.(2,3)

C.(-2,-3)

D.(-2,3)

6.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.已知点P(x,y)在直线x+2y-1=0上，则点P到原点的距离的最小值是（）

A.1/√5

B.1/√3

C.√2/5

D.√5/5

8.已知三角形ABC中，角A=45°，角B=60°，边AC=2，则边BC的长度等于（）

A.√2

B.√3

C.2√2

D.2√3

9.已知函数f(x)=e^x-1，则f(x)的反函数是（）

A.ln(x+1)

B.ln(x-1)

C.log_e(x+1)

D.log_e(x-1)

10.已知圆O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，则圆O与直线l的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.重合

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有（）

A.y=x^2

B.y=3^x

C.y=1/x

D.y=log_2(x)

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则下列向量中与向量a+b垂直的有（）

A.(2,1)

B.(-6,4)

C.(1,-2)

D.(-2,-1)

3.已知等比数列{b_n}中，b_1=1，b_3=8，则下列说法正确的有（）

A.数列{b_n}的公比为2

B.数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1

C.数列{b_n}的第5项b_5=32

D.数列{b_n}的第6项b_6=64

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则下列说法正确的有（）

A.圆C的圆心坐标为(1,-2)

B.圆C的半径为3

C.圆C与x轴相切

D.圆C与y轴相切

5.已知函数f(x)=cos(3x+π/4)，则下列说法正确的有（）

A.函数f(x)的最小正周期是2π/3

B.函数f(x)的图像关于直线x=π/4对称

C.函数f(x)在区间(-π/4,π/4)上是增函数

D.函数f(x)的最大值是1

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值是________。

2.已知向量a=(2,m)，b=(-1,3)，若a⊥b，则实数m的值是________。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=5，d=-2，则S_10的值是________。

4.已知圆O的方程为x^2+y^2-6x+4y-3=0，则圆O的圆心到原点的距离是________。

5.已知函数f(x)=tan(2x-π/3)，则f(x)的图像的对称轴方程是________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求向量a+b的坐标，并计算向量a+b的模长。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_5=10，求等差数列{a_n}的通项公式a_n。

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=16，求圆C的圆心坐标和半径，并判断点P(2,0)是否在圆C上。

5.已知函数f(x)=sin(2x+π/4)，求函数f(x)的最小正周期，并写出函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：集合A={x|1<x<3}，B={x|x^2-4x+3<0}={x|1<x<3}，则A∩B={x|1<x<3}∩{x|1<x<3}={x|2<x<3}。

2.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则底数a>1。

3.C

解析：向量a+b=(3-1,-1+2)=(2,1)，其模长|a+b|=√(2^2+1^2)=√5。

4.C

解析：等差数列{a_n}中，a_3=a_1+2d=8，则2d=6，d=3。S_5=5a_1+10d=5*2+10*3=50。

5.B

解析：圆O方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心坐标为(2,-3)。

6.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

7.D

解析：点P到原点的距离d=√(x^2+y^2)，直线x+2y-1=0上点P(x,y)满足x=1-2y，代入d=√((1-2y)^2+y^2)=√(5y^2-4y+1)，dmin=√((5y-2)^2-4+1)=√5/5，当y=2/5时取到。

8.B

解析：由正弦定理，BC=AC*sinB/sinA=2*sin60°/sin45°=√6。

9.A

解析：令y=e^x-1，则x=ln(y+1)，反函数为f^-1(x)=ln(x+1)。

10.B

解析：圆O半径为2，圆心到直线l距离为1<2，圆O与直线l相切。

二、多项选择题答案及解析

1.BD

解析：y=3^x为指数函数，单调递增；y=log_2(x)为对数函数，单调递增。y=x^2在(-∞,0)单调减，(0,+∞)单调增；y=1/x在(-∞,0)单调增，(0,+∞)单调减。

2.BD

解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，A·(2,1)=8≠0，C·(1,-2)=-4≠0。B·(-6,4)=-24-8=0，D·(-2,-1)=4-2=0。

3.AC

解析：b_3=b_1*q^2=8，q^2=8，q=±2√2。若q=2√2，b_5=b_1*q^4=1*(2√2)^4=32。S_n=b_1*(q^n-1)/(q-1)=1*(q^n-1)/q=2√2-1。

4.ABD

解析：圆C方程配方得(x-1)^2+(y+2)^2=9，圆心(1,-2)，半径3。圆心到x轴距离|-2|=2<3，相离。圆心到y轴距离|1|=1<3，相切。

5.ABD

解析：周期T=2π/3。图像关于x=π/4对称，f(π/4)=sin(3π/4+π/4)=sinπ=0，为对称轴。f(x)在(-π/8,π/8)单调增，(-π/8+2kπ,π/8+2kπ)为增区间，在[0,π]上增区间为[0,π/8]。

三、填空题答案及解析

1.3

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|，x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。f(x)在x=1处取得最小值3。

2.-6

解析：a⊥b，则a·b=0，即2*(-1)+m*3=0，解得m=-6。

3.-50

解析：d=-2，a_10=a_1+9d=5+(-2)*9=-13。S_10=10/2*(a_1+a_10)=5*(5-13)=-50。

4.√13

解析：圆心(3,-2)，原点(0,0)，距离=√((3-0)^2+(-2-0)^2)=√13。

5.kπ+π/12(k∈Z)

解析：令2x-π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2+5π/12，对称轴方程为x=kπ/2+5π/12。

四、计算题答案及解析

1.最大值10，最小值-2

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。最大值max{f(0),f(3)}=2，最小值min{f(-1),f(2)}=-2。

2.(4,-2)，√20=2√5

解析：a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√20=2√5。

3.a_n=4-2n

解析：a_5=a_1+4d=10，2+4d=10，d=2。a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)*2=4-2n。

4.圆心(1,-2)，半径4，点P(2,0)在圆外

解析：圆心(1