第1课时面积与数字问题

22.3实践与探索

第1课时面积与数字问题过教材要点概览列方程解应用题的一般步骤(1)审清题意,明确题目中的

量和已知量;

(2)设未知数,可直接设,也可间接设;(3)找出

关系,列出方程;

(4)解方程;(5)检验;(6)写答案.未知等量精讲练新知探究探究点一列一元二次方程解决面积问题例1

现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度为多少?解:设小道的宽度为xm,则(40-2x)(26-x)=864,整理,得x2-46x+88=0,解得x1=2,x2=44(不符合实际,舍去).答:小道的宽度为2m.重点归纳图形面积的求解方法(1)规则图形,直接应用面积公式;不规则图形,采用割补法,使其成为规则图形.(2)掌握用平移法将不规则图形转化为规则图形的技巧.例2

如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.运动多长时间时,△PBQ的面积为15cm2?巩固训练1.如图所示,在长为42m、宽为20m的矩形地面上修筑道路(图中阴影部分),其中竖直方向的小路的宽度是水平小路宽度的2倍,余下部分种植草坪,要使草坪的面积为640m2,设水平方向道路的宽为xm,则可列方程为

.

(42-2x)(20-x)=6402.如图所示,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P到达终点后,P,Q两点同时停止运动,则

s时,△BPQ的面积是6cm2.

2或33.(教材P43习题第3题变式)如图所示,要搭建一个矩形的自行车棚ABCD,一边AD靠墙MN,另三边的总长为60米.设AB的长为x米.(1)BC=

米,车棚的面积是

平方米.(用含x的代数式表示)

解:(1)(60-2x)

x(60-2x)(2)若墙MN的长为30米,则当x为多少时,矩形车棚的面积为400平方米?解:(2)依题意,得x(60-2x)=400,整理,得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.当x=10时,60-2x=40>30,不合题意,舍去;当x=20时,60-2x=20<30,符合题意.答:当x为20时,矩形车棚的面积为400平方米.(3)车棚面积能否为460平方米?若能,求出此时x的值,若不能,说明理由.解:(3)不能.理由如下:依题意,得x(60-2x)=460,整理,得x2-30x+230=0.∵Δ=(-30)2-4×1×230=-20<0,∴原方程没有实数根,∴车棚面积不能为460平方米.探究点二列一元二次方程解决数字问题例3

一个两位数的十位数字与个位数字的积为27,且十位数字比个位数字小6,求这个两位数.解:设个位数字为x,则十位数字为x-6.根据题意,得x(x-6)=27,解得x1=-3,x2=9.∵个位数字不能为负数,∴x=9.∴x-6=9-6=3.∴这个两位数为39.重点归纳常见的数字关系(1)连续整数相差1;(2)连续偶数相差2;(3)连续奇数相差2;(4)若两位数的十位数字为x,个位数字为y,则这个两位数为10x+y;(5)若三位数的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,则这个三位数为100x+10y+z.巩固训练4.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大7,且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数,则这个两位数是

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815.若一个直角三角形的三边长是连续整数,求这个三角形的三边长.解:设较长的直角边长为x,则较短的直角边长为x-1,斜边长为x+1.由勾股定理,得x2+(x-1)2=(x+1)2,解得x1=0,x2=4.∵边长为正数,∴x=4.∴x-1=4-1=3,x+1=4+1=5.∴这个三角形的三边长分别为3,4,5.22.3实践与探索

第1课时面积与数字问题基础巩固练DD3.在一次同学聚会上,参加的每个人都与其他人握手一次,共握手190次,设参加这次同学聚会的有x人,可得方程为()A.x(x-1)=190 B.x(x-1)=380C.x(x-1)=95 D.(x-1)2=380B4.如图所示,矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图,其中边AB的长为40m,边BC的长为25m,该展区内有三个全等的矩形展位,每个展位的面积都为200m2,阴影部分为宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度.若设人行通道的宽度为xm,下列方程正确的是()A.(40-3x)(25-2x)=200B.(40-4x)(25-2x)=600C.40×25-80x-100x+8x2=200D.40×25-80x-100x=600B5.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形,做成的无盖盒子容积为400cm3,则原铁皮的边长为()A.12cm B.14cm C.16cm D.18cmD6.(2025南京期中)如图所示,小华准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD,花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成,另一边AB由墙AE和篱笆BE构成,其他两边BC,CD由剩下的篱笆围成.若AF=8m,AE=4m,花圃的面积为75m2,求边BC的长度.解:设边BC的长度为xm,则AD=BC=xm,AB=CD,∴FD=AD-AF=(x-8)m.由题意,得矩形花圃的周长为28+8+4=40(m),∴CD=(20-x)m.∵花圃的面积为75m2,∴x(20-x)=75,整理,得x2-20x+75=0,解得x1=5,x2=15.当x=5时,FD=5-8=-3<0,无意义,∴x=15.答:边BC的长度为15m.能力提升练7.数学文化《增删算法统宗》中记载:“今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归室,争奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去恰方齐,请问三色各几?”其大意是今有一房门,不知宽与高,长竿横着进门,门的宽度比竿小4尺,进不了;将竿竖着进门,竿比门长2尺;将竿斜着穿过门的对角,恰好进门.试问门的宽、高和竿长各是多少?如图所示,若设竿长AC为x尺,依题意可得方程是()A.(x-4)2+(x-2)2=x2 B.42+(x-2)2=x2C.(x-4)2+(x-2)2=2x2 D.(x-4)2+22=x2A8.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小2,如果把这个数的个位上的数字与十位上的数字交换,那么所得到的两位数比原来的数小36,则原来的两位数是

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739.(2025周口期中)某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚,自行车车棚为矩形,其中一面靠墙,这堵墙的长度为12m,另外三面用现有的木板材料围成,总长为26m,且计划建造车棚的面积为80m2.(1)如图①所示,为了方便学生出行,学校决定在与墙平行的一面开一个2m宽的门,那么这个车棚与墙垂直及与墙平行的面各有多长?①解:(1)设与墙垂直的一面长xm,则与墙平行的一面长(26-2x+2)m,根据题意,得x(28-2x)=80.整理,得x2-14x+40=0,解得x1=4,x2=10.当x=4时,28-2x=20>12(不符合题意,舍去);当x=10时,28-2x=8<12,符合题意.答:这个车棚与墙垂直的面长为10m,与墙平行的面长为8m.(2)如图②所示,为了方便学生取车,施工单位又决定在车棚内修建三条等宽的小路(小路垂直或平行于墙),使得停放自行车的面积为54m2,那么小路的宽是多少?②解:(2)设小路的宽为am,根据题意,得(8-2a)(10-a)=54,整理,得a2-14a+13=0.解得a1=13(不符合题意,舍去),a2=1.