复习重难点-第06讲统计和概率高频考点突破（学生版）-新高二暑假衔接

第06讲：统计和概率高频考点突破【考点梳理】考点一．随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．考点二．用样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．考点三．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(5)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数)．考点四．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．考点五．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1考点六.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【题型梳理】题型一：随机抽样1．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181A．02 B．15 C．16 D．192．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试．已知该校高一学生360人，高二学生300人，高三学生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（

）A．60 B．54 C．51 D．453．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（

）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表第行和第行）A． B． C． D．题型二：用样本估计总体4．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（

）

A．A组打分的众数为50B．B组打分的中位数为75C．A组的意见相对一致D．B组打分的均值小于A组打分的均值5．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（

）A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多6．（2023秋·北京·高一校考期末）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（

）A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差题型三：平均数方差和百分位数8．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是（

）C．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D．乙比甲的成绩更稳定题型四：互斥事件和对立事件10．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（

）A．至少有1名男生与全是男生；B．至少有1名男生与全是女生；C．恰有1名男生与恰有2名男生；D．至少有1名男生与至少有1名女生．11．（2020春·甘肃定西·高一校考期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（

）A．② B．① C．③ D．④12．（2020秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（

）A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件题型五：随机事件的概率A．事件“是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件14．（2023春·江苏南通·高一校考期末）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（

）A． B． C． D．A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.05题型六：事件的相互独立性18．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（

）题型七：频率和概率19．（2021春·陕西咸阳·高一统考期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.620．（2020秋·辽宁大连·高一统考期末）关于频率和概率，下列说法正确的是（

）①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.A．②④ B．①④ C．①② D．②③21．（2020春·甘肃武威·高一校考期末）一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(10，50]上的频率为（

）A． B． C． D．题型八：统计和概率的综合22．（2023春·河南周口·高一校联考期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；23．（2023春·河南·高一校联考期末）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小李每轮答对的概率为．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求两人在两轮活动中都答对的概率；(2)求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；(3)求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．24．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）女生一周自读时间频率分布直方图男生一周阅读时间频数分布表小时频数92533

(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数；(3)估计总样本的平均数和方差．【专题突破】一、单选题25．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（

）．A．事件A，B互斥 B．事件A，B对立 C．事件A，B相互独立 D．事件A与不相互独立26．（2023春·河南·高一校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（

）A．144 B．145 C．148 D．153

A． B． C． D．28．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（

）A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加A． B． C． D．30．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（

）C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立31．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（

）

A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.33632．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）对于事件，，下列命题不正确的是（

）33．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（

）A． B． C． D．A．0 B．1 C．2 D．3

C．该校学生法规竞赛成绩的中位数大于36．（2023春·浙江温州·高一统考期末）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表（表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（

）表1月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月昆明9.312.416.51921.621.521.321.220.416.812.410.5郑州2.98.711.916.523.628.928.626.723.115.211.35.7B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数D．郑州月平均气温的第一四分位数为1037．（2023春·河南·高一校联考期末）2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番．为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（

）A．新农村建设后，种植收入增加了14%B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入持平D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半38．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（

）A．图中的值是0.16B．估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元C．估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D．估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20%39．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）下列说法错误的是（

）A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是三、填空题41．（2023春·河南周口·高一校联考期末）从分别写有1.2.3.4.5.6.7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________．42．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼20､运20和空警500､轰6K､红9B等主战装备集中亮相，运油20､歼16､攻击2无人机首次振翅中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为___________．44．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：学生学号12345678910数学成绩140136136135134133128127124语文成绩102110111126102134979598在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.③恰有1名学生两科均不是“A等”；④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.四、解答题45．（2023春·江苏南通·高一校考期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.

(1)求第一组、第二组的频率各是多少？(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）；

(1)求直方图中t的值：(2)根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；(3)已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．47．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：

(1)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）；(2)求89.5的百分位数．48．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举