【答案】2025 中考数学 【三角函数 重难点考法】

微信公众号：Tom张的学习资料【答案】2025中考数学【三角函数重难点考法】重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．延长CD交AB于点H，根据矩形的性质得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：延长CD交AB于点H，由题意得，四边形CMBH为矩形，∴CM=HB=20，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=∴CH=AH在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°∴tan∠ECH=∴CH=EH设AH=x米．∵AE=9，∴EH=x+9，∴x0.33解得x≈7.1，∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；答：点A到地面的距离AB的长约为27米．2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

【答案】1003【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，∴DE=DF−EF=30−20=10（米），设CD=x，则CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵MN=210米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=10033．（2024·山东潍坊·中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW⋅h⋅(1)求y关于x的函数表达式；(2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？(3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），∠AGD为太阳能板AB与水平地面GD的夹角，CD为支撑杆．已知AB=2m，C是AB的中点，CD⊥GD．在GD延长线上选取一点M，在D,M两点间选取一点E，测得EM=4m，在M,E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为30°，45°，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆CD的长．（精确到0.1m，参考数据：2≈1.414【答案】(1)y=−1100(2)30°(3)6.0【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．（1）设y关于x的函数表达式为y=ax（2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值；（3）延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH=a，根据三角函数进行计算，求出GC=AG−CA=43【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为y=ax将(0,40),(10,45),(30,49)代入，得40=c45=100a+10b+c解得a=−1∴y=−1（2）解：根据函数解析式得函数对称轴x=−b故阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大；（3）解：y=−1延长NF与过点A作AH⊥GM的线交于点H，令FH=a，∴AH=a，AN=2AH=2a，∴HN=A∵HN=HF+FN=4+a，∴3∴a=23∴AN=43延长AN交GM与J点，∵∠AJG=∠AGJ，∴AJ=AG，∵AJ=AN+NM∴AG=43∴GC=AG−CA=43∴CD=CGsin重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题1．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处．记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．请你根据以上信息解决下列问题：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．（参考数据：2≈1.41【答案】(1)30；75；5(2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理：（1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度；（2）设PD=x海里，先解Rt△PDB得到BD=x，再解Rt△APD得到AD=PDtanA=3x海里，AP=PDsinA【详解】（1）解：如图所示，过点P作PD⊥AC于D，由题意得，∠APD=60°，∴∠PAB=90°−∠APD=30°，∵一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，∴AB=10×0.5=5海里．（2）解：设PD=x海里，在Rt△PDB中，BD=PD⋅在Rt△APD中，AD=PDtan∵AD=AB+BD，∴x+5=3解得x=5∴AP=2x=5∵∠C=180°−∠A−∠APC=75°，∴∠C=∠APC，∴AC=AP=5上午9时时，船距离A的距离为10×1=10海里，∵53∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．2．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔

(1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan【答案】(1)B，C两处的距离为16海里(2)渔政船的航行时间为75【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．（1）根据题意易得AC=AB，则CE=BE，再求出BE=CE=AB（2）过点D作DF⊥BC于点F，设CF=x海里，则DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，则2.1x=0.516+x，求出x=5，进而得出【详解】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．∴∠ACE=∠ABE=30°，∴AC=AB，∵AE⊥BC，∴CE=BE，∵AB=16∴BE=CE=AB∴BC=8×2=16（海里），∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，设CF=x海里，∵∠DCF=65°，∴DF=CFtan由（1）可知，BC=16海里，∴BF=16+x∵∠DBF=27°，∴DF=BFtan∴2.1x=0.516+x解得：x=5，∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan根据勾股定理可得：BD=D∴渔政船的航行时间为215答：渔政船的航行时间为75

3．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，【答案】(1)∠CA1A2(2)2.0千米(3)2.4【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D，解Rt△CA2A（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：360°8∴∠CA1A故答案为：90,76；（2）过点A1作A1D⊥BC在Rt△CA2A1∴CA在Rt△CA1∴A答：点A1到道路BC（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A∵正八边形的外角均为45°，∴在Rt△A7∴FB=A又∵A8F=∴CB=CD+DF+FB=5+∵∠CFA∴Rt△C∴CFCB=∵2∴EB≈2.4km答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．重难点三：运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'．求堤坝高及山高DE．（sin26°35'

【答案】堤坝高为8米，山高DE为20米．【分析】过B作BH⊥AE于H，设BH=4x，AH=3x，根据勾股定理得到AB=AH2+BH2=5x=10，求得AH=6，BH=8，过B【详解】解：过B作BH⊥AE于H，

∵坡度i为1:0.75，∴设BH=4x，AH=3x，∴AB=A∴x=2，∴AH=6，过B作BF⊥CE于F，则EF=BH=8，设DF=a，∵α=26°35∴BF=DF∴AE=6+2a，∵坡度i为1:0.75，∴CE：∴a=12，∴DF=12（米），∴DE=DF+EF=12+8=20（米），答：堤坝高为8米，山高DE为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE=6.2，在Rt【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD⋅sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023·四川内江·中考真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长（结果保留根号）．

【答案】DC的长为21+23米【分析】作BN⊥AM于点N，首先根据坡度求出BN，并通过矩形的判定确定出DF=BN，然后通过解三角形求出CF，即可相加得出结论．【详解】解：如图所示，作BN⊥AM于点N，则由题意，四边形BNDF为矩形，

∵在Rt△ABN中，sin∠BAN=BNAB，∴BN=AB·sin∵四边形BNDF为矩形，∴DF=BN=15，由题意，∠CBF=45°，∠CEF=60°，∠CFB=90°，BE=4，∴△CBF为等腰直角三角形，BF=CF，设BF=CF=x，则EF=BF−BE=x−4，在Rt△CEF中，tan∴tan60°=xx−4解得：x=6+23，经检验，x=6+2∴BF=CF=6+23∴DC=CF+DF=6+23∴DC的长为21+23【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键．重难点四：12345模型1．（2021·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE=（点A，B，C，D，E是网格线交点）．【答案】45°【分析】连接AD，计算证明△ADC是等腰直角三角形，证明∠BAC+∠CDE=∠ACD，即可求解．【详解】连接AD，如图：∵AD2=1210+10=20即AD∴△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ACD=45°，∵∠BAC=∠ACF，∠CDE=∠DCF，∴∠BAC+∠CDE=∠ACF+∠DCF=∠ACD=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为．【答案】4【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=5，AB=2，∴BE=1，∴ME=BM∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AMFN∴12解得：x=4∴AF=A故答案为410【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的