高二数学上学期第二次月考模拟试卷（空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列）-人教版高二《数学》知识点同步讲与练

高二数学上学期第二次月考模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·广东肇庆·高二阶段练习）直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线的斜率，则倾斜角为.故选：C.2．（2022·河南·新安县第一高级中学高二阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，所以，解得，所以向量在基底下的坐标为.故选：A.3．（2022·河南南阳·高二阶段练习）双曲线的焦点坐标为（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】方程可化为，所以双曲线的焦点在轴上，且，，所以，所以双曲线的焦点坐标为，．故选：D．4．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线与互相平行，则，可得，所以，这两直线的方程分别为、，因此，这两条直线间的距离为.故选：C.5．（2022·广东汕头·高二阶段练习）曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【答案】D【解析】曲线表示焦点在x轴上的椭圆，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8,曲线焦点在x轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为，故选：D6．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）等差数列中，，前项和为，若，则（）A．1011B．2022C．D．【答案】B【解析】数列公差为，，，所以，则，故选：B．7．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题得，，因为直线与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，.故选：C8．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设的内切圆圆心为，且与三边相切于点，，，，由双曲线定义知：，，又，，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为，又的内切圆半径为，，设，则，，，，整理可得：，，解得：或，又，.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·广东·饶平县第二中学高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（）A．B．C．数列单调递减D．对任意，有【答案】BCD【解析】，，，B正确；而，故无法判断的正负，A错误；，数列单调递减，C正确；当时，有最大值，即，D正确.故选：BCD10．（2022·广东·鹤山市第一中学高二阶段练习）已知,.则下列说法中,正确的有（）A．若在内,则B．当时,与共有两条公切线C．若与存在公共弦,则公共弦所在直线过定点D．,使得与公共弦的斜率为【答案】BC【解析】由题知,,关于选项A，将代入可知,故选项A错误;关于选项B，当时,,,，，与相交，故与共有两条公切线,故选项B正确;关于选项C,将两圆的一般方程相减即可得公共弦所在直线方程:，将代入直线有:成立,故选项C正确;关于选项D，由选项C知,公共弦所在直线方程为,若直线方程的斜率为,则斜率存在，则有，解得,故不存在m使其斜率等于，故选项D错误.故选:BC11．（2022·河北·魏县第五中学高二阶段练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】对于选项A，正方体中，，，且，平面，平面，平面，，同理，，，且，平面，直线平面，A选项正确；对于选项B，正方体中，平面，平面，平面，点在线段上运动，到平面的距离为定值，又△的面积是定值，三棱锥的体积为定值，B选项正确；对于选项C，，异面直线与所成角为直线与直线的夹角．易知△为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为．故异面直线与所成角的取值范围是，C选项错误；对于选项D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点竖坐标为，，则，，，，所以，．由选项A正确：可知是平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D选项正确．故选：ABD．12．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点，分别过作抛物线的切线交于点则下列说法正确的是（）A．若，则直线AB的倾斜角为B．点P在直线上C．D．的最小值为【答案】BC【解析】由题可得，抛物线的焦点坐标为，对于选项A，设，则与抛物线联立方程消元化简得，所以，所以，所以解得，所以可知当时，直线AB的倾斜角为或，所以选项A错误；设，由，所以，所以，即为，同理可得，由,解得，由上知，，所以,所以点P在直线上，所以选项B正确；因为，所以，所以，所以选项C正确；因为，即为，所以，因为，所以，令，则原式.因为函数在上单调递增，所以当，即时取到最小值，其最小值为.所以选项D错误.故选:BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·福建省永春第一中学高二期中）已知方程表示圆，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意，得，化简得，解得，即实数a的取值范围为.14．（2022·山西省浑源中学高二阶段练习）已知满足，，数列的通项公式__________．【答案】【解析】根据原式，设，整理得，题干中，根据对应项系数相等得.，令，，所以是为首项，为公比的等比数列.即，.15．（2022·辽宁·营口开发区第一高级中学高二阶段练习）在直三棱柱中，，，，，，则异面直线与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】由已知可得，两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.则，，，，，由可得，，则，，，，所以，.所以，异面直线与夹角的余弦值为.16．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为5，设动圆圆心为，半径为，则，，于是，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，，，，的轨迹方程为.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）已知直线.（1）若直线l不能过第三象限求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.【答案】（1）；（2）S的最小值为4，此时直线l的方程：.【解析】（1）直线l的方程：，即，所以直线过定点，当直线l过坐标原点时，斜率，因为直线不能过第三象限，所以直线的倾斜角大于或等于过原点时直线的倾斜角或为零度，得.（2）直线l交x轴负半轴于点A，令，，，直线l交y轴正半轴于点B，令，，，由题，解得，，当且仅当时，等号成立，S最小为4，此时直线l的方程为：.18．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）记为数列的前项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）记，试判断与2的大小并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）∵，∴，∴，又∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴当时，，∴，整理得：，即，∴显然对于也成立，∴的通项公式.（2）∴∴19．（2022·湖北·沙市中学高二阶段练习）如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过作，垂足为，连，，则，作，垂足为，则，，，，所以，即，又，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图，以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，，设平面的法向量为，则，取得到法向量，设平面的法向量为，则，取得到法向量，平面与平面夹角的平面角为锐角，设平面与平面夹角为，则.20．（2021·安徽·高二阶段练习）已知半径大于1的圆C与x轴，y轴均相切，圆心C在第一象限，点在圆C上.（1）求圆C的标准方程；（2）过坐标原点的直线l与圆C相交于A，B两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意得，圆心到轴与到轴的距离相等，设，则圆的方程为，将点带入圆方程，得，整理得，，解得或，因为圆半径大于1，即，所以，所以圆的方程为；（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为，所以圆心到直线的距离，所以，整理得，解得或，所以直线的方程为或，即或.21．（2022·山西·晋城一中教育集团南岭爱物学校高二阶段练习）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则，故可设椭圆C的方程为，因为点在椭圆C上，所以，解得，所以椭圆C的方程为．（2）设，因为直线l方向向量，所以直线l的方程设为，由得(*)设，，则、是方程(*)的两个根，所以有，，所以(定值)．所以为定值．22．（2022·江苏·高二阶段练习）已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．（1）求抛物线的方程；（