高二数学上学期期末模拟试卷01（数列）-人教版高二《数学》知识点同步讲与练

高二数学上学期期末模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022春·上海浦东新·高二上海市实验学校期末）抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：．故选：B2．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知向量，，且，则实数的值为（）．A．4B．C．2D．【答案】A【解析】因为，，且，所以，解得.故选：A3．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）若直线与直线平行，则的值为（）A．B．3C．3或D．或6【答案】B【解析】直线：与直线：平行，所以，解得：或，①当时，：，：，，符合题意；②当时，：，：，均为，此时，重合，舍去，故，故选：B4．（2022春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期末）如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知,点F是侧面的中心,为中点,则.5．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为圆，所以圆心为，半径为，如图，所以圆心到直线的距离，则，又点P到直线的距离的最大值为，所以面积的最大值．故选：A.6．（2022春·陕西西安·高二期末）已知数列满足，，则（）A．1B．2C．-1D．1.5【答案】C【解析】，所以数列是周期为的周期数列，所以.故选：C7．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由题知表示焦点在轴上的椭圆,则有:,解得:或.故选:D8．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学期末）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A．8B．6C．4D．2【答案】B【解析】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即，，所以，当且仅当即等号成立，即最小值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022春·湖北武汉·高二武汉市第十一中学校联考期末）已知圆，直线，则（）A．直线恒过定点B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1C．直线与圆有一个交点D．若圆与圆恰有三条公切线，则【答案】AD【解析】对于A选项，直线，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确.对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误.对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C错误.对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得,故D项确.故选：AD10．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知等比数列的公比为，其前项之积为，且满足，，，则（）A．B．C．的值是中最小的D．使成立的最大正整数的值为4043【答案】ABD【解析】由，，得，且，对于A，，故A正确，对于B，，故B正确，对于C，当时，，当时，，故的值是中最小的，故C错误，对于D，，，故使成立的最大正整数的值为4043，故D正确，故选：ABD11．（2022春·山东潍坊·高二寿光市第一中学期末）如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．当时，，P，D三点共线B．当时，C．当时，平面D．当时，平面【答案】ACD【解析】由题意，如图建系：则，，设，，则，可得，，对于A：当时，则点P为对角线的中点，根据长方体性质可得三点共线，故A正确；对于B：当时，∴，解得，所以，则，因此不正确，故B错误；对于C：当时，，设平面的法向量为，，∴，，当时，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正确；对于D：当时，可得，，设平面的法向量为，则，，取，则，∴，而，∴，∴平面，故D正确．故选：ACD12．（2022春·湖南怀化·高二统考期末）（多选题）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点、，点在上的射影为，则（）A．若，则B．以为直径的圆与准线相切C．设，则D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条【答案】ABC【解析】对于选项A，因为，所以，则，故A正确；对于选项B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，点到直线的距离为，所以，以为直径的圆与准线相切，B对；对于选项C，因为，所以，当且仅当点、、三点共线，且点为线段与抛物线的交点时，等号成立，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过且斜率不为零的直线为，联立，可得，令，则，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2018春·湖南邵阳·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，则数列的前2017项和___________.【答案】【解析】设等差数列的公差为，由题意，故.又，故，故.∴=，则数列的前2017项和为14．（2022秋·福建漳州·高二校考期末）如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________.【答案】【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，又，则，则，又，则，解得，则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点，，画出的平面图，作于，由余弦定理得，则，，又，则直线EF与直线的距离为.15．（2019春·甘肃酒泉·高二校考期末）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________.【答案】【解析】设点，因M是线段的中点，则点，于是得，即，所以点M的轨迹方程为.16．（2021·全国·高二期末）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为_________．【答案】6【解析】由题意得，设，由可得在以为直径的圆上，又原点为圆上弦的中点，所以圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则，又可得，故圆心坐标为，所以圆的方程为，将代入可得，又，解得，则，故短轴长为.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·陕西西安·高二期末）已知数列，，数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1），，又，．（2）由（1）知，，，①，②，故①-②得．，.18．（2022春·广东佛山·高二顺德一中期末）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的的动点，且．（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）平面与平面的夹角的正切值为【解析】（1）证明：如下图，由正方体，则以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则由于，设，其中，则所以，则故；（2）要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可，由题意知，则根据二次函数的性质可得，当时，即分别为中点时的面积最大，则，设平面的法向量为，又，，则，令得，又正方体中平面，所以为平面的一个法向量，所以，则，则所以平面与平面的夹角的正切值为.19．（2021·全国·高二期末）已知直线方程为.（1）证明：直线恒过定点；（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少?（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.【解析】（1）由直线方程整理可得：，由得：，直线恒过定点；（2）由（1）知：直线恒过定点，则当与直线垂直时，点到直线距离最大，又所在直线方程为：，即，当与直线垂直时，，解得：；则最大值；（3）由题意知：直线斜率存在且不为零，令得：，即；令得：，即；又位于轴的负半轴，，解得：；，令，则，，，，，则当，即时，，，此时直线的方程为：.20．（2022春·湖北荆州·高二荆州中学期末）已知圆和直线.（1）判断直线与圆的位置关系；（2）求直线被圆截得的最短弦长及此时直线的方程.【答案】（1）相交；（2）；【解析】（1）因为直线，即恒过定点又因为圆，即即圆心，半径为因为所以点在圆内，即直线与圆相交.（2）当直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时可得弦长的一半为，即最短弦长为又因为点横坐标相同，故直线轴，则直线的斜率为，所以直线的方程为21．（2018春·福建福州·高二校考期末）已知椭圆的离心率是，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，求为坐标原点)面积的最大值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，联立，整理得，，所以，即或，则，故，点到直线的距离，则的面积，设，则，故，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为．22．（2022春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线（1）求曲线C的方程；（2）已知点，直线l不过P点并与曲线C交于A，B两点，且，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（