高二数学上学期期末模拟试卷02-人教版高二《数学》知识点同步讲与练

高二数学上学期期末模拟试卷一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022春·高二校考期末）两平行直线和间的距离是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将直线化为，所以两平行直线和间的距离，故选：A．2．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．平行或线在面内【答案】A【解析】因为，所以与共线，直线与平面垂直.故选：A.3．（2019春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，所以.故选：A4．（2021春·安徽滁州·高二校考期末）过点引圆的切线，其方程是（）A．B．C．D．和【答案】D【解析】根据题意，圆，即，其圆心为，半径r＝1；过点引圆的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k，则有，即kx－y＋3－2k＝0，则有，解得，此时切线的方程为，即12x－5y－9＝0．综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．故选：D．5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，所以，设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，，，,所以即所以；即，所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.6．（2022秋·河北石家庄·高二校考期末）设等差数列的前项和为，若，则（）A．28B．148C．168D．248【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，则．故选：C．7．（2022春·陕西渭南·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知圆：圆心，半径为4，动圆圆心为，半径为，当两圆外切时：，所以；当两圆内切时：，所以；即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，，所以动圆圆心的轨迹方程为：，故选：C.8．（2020春·广西南宁·高二南宁三中校考期末）设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】依题意得,以线段为直径的圆的方程为,双曲线的一条渐近线的方程为.由以及解得或不妨取,则.因为,所以,又,所以,所以,所以该双曲线的离心率.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022春·河北保定·高二统考期末）已知两条直线、的方程分别为与，下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则两条平行直线之间的距离为C．若，则D．若，则直线、一定相交【答案】ABD【解析】若，则，，A正确；由A知，，直线的方程可化为，故两条平行直线之间的距离为，B正确；由，则，，C不正确；由A知时，，所以时，则直线、一定相交，D正确．故选：ABD．10．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且则下列说法中正确的有（）A．B．C．平面D．直线与所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】以为空间一组基底，，，所以，A选项正确.，所以，所以，B选项错误.依题意可知，四边形是菱形，所以，由于，平面，所以平面，C选项正确.设直线与所成角为，，，，，所以，D选项正确.故选：ACD11．（2022春·山东济南·高二济南市历城第二中学期末）已知函数，则（）A．恒成立B．是上的减函数C．在得到极大值D．在区间内只有一个零点【答案】CD【解析】，该函数的定义域为，所以，由，可得，由，可得，所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，，故B选项错误，C选项正确；当时，，此时，A选项错误；由题可知函数在区间内单调递减，而，故在区间内只有一个零点，D选项正确.故选：CD.12．（2022春·山东菏泽·高二校考期末）过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（）A．C的准线方程是B．过C的焦点的最短弦长为8C．直线MN过定点(0，4)D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为【答案】AD【解析】将代入中得：，则为，所以的准线方程是，故A正确；由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为，由，可得，设交点为，则，，所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；设，，直线为，联立抛物线得：，所以，，又，所以，因为，，即，所以，整理得，故，得，所以直线为，所以直线过定点，故C不正确；当时，到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022春·陕西西安·高二期末）已知空间三点，，，设，，，且，则___________.【答案】或【解析】，由于，所以，所以，所以为或.14．（2022秋·云南昆明·高二统考期末）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则______.【答案】【解析】已知圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以.15．（2022秋·广东肇庆·高二统考期末）某学校有，两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到餐厅就餐，另一半的学生到餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅.该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到餐厅就餐的学生人数为_________人.（用整数作答）【答案】1400【解析】设第天选择餐厅就餐的学生比例为，由题意得，，，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到厅就餐的学生人数为（人）.16．（2022秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，则，当或时，，当时，，所以在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，，故的大致图像如图所示：关于的方程等价于，即或，由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，所以，解得.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．（1）求直线CD的方程；（2）求四边形ABED的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，∴直线CD的方程为，即；（2）四边形ABED为梯形，E是线段BC的中点，则，即，直线AD的方程为，即，则E到直线AD的距离为，.故四边形ABED的面积为.18．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知数列的前n项和.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，，即，当时，，时，，与不符，所以；（2）由得，而，所以当时，，当时，，当时，，当时，，所以19．（2022春·河北保定·高二统考期末）已知圆过点、，且圆周被直线平分．（1）求圆的标准方程；（2）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意得：∵，，且直线过圆心∴AB的中点坐标为又∴AB的垂直平分线方程为，即联立，解得∴圆C的圆心坐标为，则圆C的标准方程为．（2）当斜率存在时，设直线方程为，即．圆心，到直线的距离，解得∴直线l的方程为当斜率不存在时，也满足条件则直线l的方程为或．20．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（1）证明：平面；（2）若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以.又因为，，平面所以平面.（2）取中点，连接，因为，所以，由（1）得平面，又因为面，所以平面面，因为为两平面交线，所以面，以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，，，，由，得，所以，设平面的法向量为，所以，即，取，则，，所以，又因为平面的法向量，所以,因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.21．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的方程；（2）过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，定点.【解析】（1）抛物线焦点坐标为，故.设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.，由余弦定理，得.整理，得，解得或（舍去）.由椭圆定义，得，，∴椭圆的方程为；（2）设，联立，即，，代入直线方程得，，同理可得，，，令，得，所以直线MN过定点.22．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆中学校考期末）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若关于x的方程有两个不等的实数根，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2