数学平面图的题目及答案

数学平面图的题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪种图形一定是平面图？（）A.三棱柱B.四棱锥C.正方体D.正四面体答案：C2.平面图中顶点数\(V\)、边数\(E\)、面数\(F\)满足欧拉公式（）A.\(V-E+F=1\)B.\(V+E-F=2\)C.\(V-E+F=2\)D.\(V+E+F=2\)答案：C3.一个平面图有5个顶点，8条边，它的面数是（）A.3B.4C.5D.6答案：C4.完全图\(K_3\)是（）A.平面图B.非平面图C.不一定D.以上都不对答案：A5.若一个平面图的所有面的次数之和为18，边数是（）A.6B.9C.12D.18答案：B6.平面图的边数\(E\)与顶点数\(V\)满足关系\(E\leq\)（）A.\(2V-4\)B.\(3V-6\)C.\(4V-8\)D.\(5V-10\)答案：B7.以下图形中不是平面图的是（）A.三角形B.四边形C.\(K_5\)D.五边形答案：C8.平面图中一个面的次数是指（）A.面的边数B.面内顶点数C.与面关联的顶点数D.与面关联的边数（每条边计算两次）答案：D9.一个连通平面图有6个顶点，9条边，其外部面的次数是（）A.3B.4C.5D.6答案：D10.若平面图每个面的次数至少为4，则边数\(E\)与顶点数\(V\)满足\(E\leq\)（）A.\(2V-4\)B.\(3V-6\)C.\(4V-8\)D.\(5V-10\)答案：A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下属于平面图性质的有（）A.满足欧拉公式B.边数\(E\leq3V-6\)（简单连通平面图）C.存在一种平面嵌入D.所有面次数之和等于边数的2倍答案：ABCD2.下列图形中是平面图的有（）A.\(K_4\)B.树C.环图D.完全二部图\(K_{2,3}\)答案：ABCD3.关于平面图的面，正确的说法有（）A.面的边界是圈B.外部面只有一个C.内部面可以有多个D.面的次数是正整数答案：BCD4.若一个平面图\(G\)满足（），则\(G\)是极大平面图。A.\(G\)连通B.\(G\)是简单图C.每个面的次数为3D.\(E=3V-6\)答案：ABCD5.以下哪些条件能判断一个图不是平面图（）A.包含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)子图B.边数\(E>3V-6\)（简单连通图）C.不满足欧拉公式D.图中存在交叉边（无论怎样画）答案：ABCD6.平面图的相关不变量有（）A.顶点数B.边数C.面数D.面的次数答案：ABCD7.对于平面图\(G\)，以下说法正确的是（）A.对偶图也是平面图B.连通平面图的对偶图连通C.同构的平面图对偶图也同构D.平面图的对偶图面数等于原图顶点数答案：ABD8.下列关于平面图的判断方法正确的有（）A.尝试平面嵌入B.利用库拉托夫斯基定理C.计算顶点数、边数、面数是否满足欧拉公式D.看是否存在不交叉的画法答案：ABCD9.平面图中关于面和边的关系，正确的是（）A.所有面次数之和等于边数的2倍B.若每个面次数至少为\(k\)，则\(E\leq\frac{k(V-2)}{k-2}\)C.面数与边数、顶点数有关D.面的次数决定边的数量答案：ABC10.以下属于平面图应用场景的有（）A.电路布线B.地图绘制C.分子结构表示D.社交网络分析答案：ABC三、判断题（每题2分，共10题）1.任何一个简单图都是平面图。（×）2.平面图的对偶图一定是连通图。（√）3.若一个图的边数\(E=3V-6\)，则它一定是极大平面图。（×）4.平面图中所有面的次数之和一定是偶数。（√）5.完全二部图\(K_{3,3}\)是平面图。（×）6.欧拉公式对所有平面图都成立。（√）7.一个平面图可以有多个外部面。（×）8.极大平面图的每个面都是三角形。（√）9.若一个图不存在平面嵌入，则它不是平面图。（√）10.平面图的顶点数、边数、面数相互独立，没有固定关系。（×）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述平面图的定义答案：若一个图\(G\)能画在平面上，使它的边仅在端点相交，称\(G\)为平面图，即存在一种平面嵌入方式，边与边不交叉（除顶点处）。2.写出欧拉公式并说明各符号含义答案：欧拉公式\(V-E+F=2\)，其中\(V\)是平面图的顶点数，\(E\)是边数，\(F\)是面数（包括外部面）。3.如何利用面的次数判断平面图边数范围答案：设平面图所有面次数之和为\(S\)，则\(S=2E\)。若每个面次数至少为\(k\)，则\(kF\leq2E\)，结合欧拉公式\(F=E-V+2\)，可得\(E\leq\frac{k(V-2)}{k-2}\)。4.简述判断一个图是否为平面图的方法答案：可尝试平面嵌入，看能否无交叉绘制；利用库拉托夫斯基定理，检查是否含\(K_5\)或\(K_{3,3}\)子图；计算顶点数、边数、面数是否满足欧拉公式。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论平面图在实际生活中的重要性及具体应用实例答案：平面图在实际中很重要。如电路布线，可避免线路交叉短路；地图绘制，使区域关系清晰。像电路板设计，合理布局元件连接线路；城市交通规划，规划道路和路口分布，减少拥堵和混乱。2.探讨极大平面图的性质及其与一般平面图的区别答案：极大平面图性质：连通简单图，每个面次数为3，边数\(E=3V-6\)。与一般平面图区别在于它在平面嵌入时边数达到最大，不能再添加边而保持平面性，一般平面图边数相对较少，面的结构也更复杂多样。3.分析平面图的对偶图与原图之间的关系及对偶图的作用答案：对偶图与原图关系：顶点数、边数互换，面数对应。对偶图顶点对应原图面，边对应原图相邻面的公共边。作用：可用于解决一些与平面