上海七下期末解答压轴题

第第页期末解答压轴题目录：题型1：传统解答证明题题型2：证明恒等式题型3：已知等腰三角形求角度题型4：新定义题题型5：动点问题题型6：旋转问题题型7：翻折问题题型8：（类）情景探究题、数学活动题题型9：新教材——线段的垂直平分线题型10：新教材——尺规作图有关的解答证明题题型1：传统解答证明题1．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，

(1)请说明的理由；(2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数．【答案】(1)见解析(2)或．【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点．（1）首先由对顶角相等得到，然后根据即可得到；（2）根据题意分点G在点F右边和点G在点F左边两种情况讨论，首先得到，然后分别根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可．【解析】（1）∵∴∵∴∴；（2）如图所示，当点G在点F左边时，

∵∴∵∴∴∵和的角平分线交于点∴，∴∴；如图所示，当点G在点F右边时，

∵∴∵∴∴∵和的角平分线交于点∴，∴∴；综上所述，或．2．（23-24七年级下·上海·名校期末）已知：中，点D是的中点．

(1)如图1，，．垂足分别为E、F．求证：；(2)若．点E在的延长线上．且①如图2，若点F（恰好在上），求证：；②如图3，若点F在的延长线上，，，直接写出的长．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质：（1）如图1，由点是的中点．可得结合，从而可得答案；（2）①如图2，先证明为等边三角形，过作交于证明为等边三角形，证明可得从而可得结论；②如图3，由①同理可得：为等边三角形，可得再求解从而可得答案．【解析】（1）证明：如图1，连接点是的中点．，（2）解：①如图2，为等边三角形，过作交于为等边三角形，点是的中点，②如图3，由①同理可得：为等边三角形，为的中点，故答案为：题型2：证明恒等式3．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是等腰三角形且，，垂足为．(1)试说明的理由(2)猜想和的位置关系，并说明理由；(3)试说明：．【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析(3)见解析【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证；（2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论；（3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论．【解析】（1）证明：∵，∴，，∴，在和中，∵，∴；∴，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∴，∴；又∵，∴，∴，∵，∴；（3）证明：延长到，使得，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，，∵，

∴，，，∴，，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键．4．（20-21七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，AB＝AC，点D为边AC上的一点，点E为线段BD上一点．(1)如图（1），若，延长AE交BC于点F，BC边的高AG交BD于点H．①若BD为的平分线，求证：．②若BD为的中线，联结DF，求证：．(2)如图（2），若AE＝AD，过点B作，交AE延长线于点M，过点D作于Q，求证：AB＝BM＋QD．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得出，再根据角之间的关系得出，再得出，从而得出，再根据三线合一的性质得出，从而证明；②过C作交AF延长线于N，根据角之间的关系得出，再证明，从而得出，AD＝CN，再证明，从而证明；（2）过点E作于点P，证明，从而得出，，再根据角之间的关系得出，从而证明，最后得出．【解析】（1）解：∵AB＝AC，，AG是BC边上的高，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴（AAS），∴BH＝AF，∵，BE平分，∴，在与中∴≌∴∴．②过点C作交AF延长线于点N，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴（ASA），∴，AD＝CN，∵BD是中线，∴AD＝CD，∴CD＝CN，∵AB＝AC，，∴∵∴∴，在和中，∴（SAS），∴∴（2）解：过点E作于点P，∴，∵，∴∴，，∵，∴，在和中，∴（AAS），∴AP＝DQ，，∵，，∴，∵AE＝AD，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，在和中，∴（AAS），∴BP＝BM，∵AB＝BP＋AP，∴AB＝BM＋QD．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及全等的判定，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等的判定是解答此题的关键．题型3：已知等腰三角形求角度5．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，已知与都是等腰三角形，，，点D在边边上（不与B、C重合），且，交于．(1)试说明与相等的理由；(2)连接，若，说明与相等的理由；(3)若，当是等腰三角形时，直接写出的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)或【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．（1）根据等边对等角可知，，再由三角形的内角和定理即可得到，由此即可证明结论；（2）证明，可得，再根据等腰三角形三线合一即可证明结论；（3）设，则，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得，，再分三种情况讨论即可解答．【解析】（1）证明：∵，，∴，，∵，∴又∵，，∴；∴，∴.（2）证明：如图，在和中，，∴；∴，∵，∴，∵，∴.（3）解：设，则，∵，∴，∴，∴，当是等腰三角形时，有三种情况讨论：当时，，，解得：；当时，，，解得：；当时，，，此方程无解；综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形．6．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．(1)如图1，点在的内部．①当，求的度数；②当平分，判断的形状，并说明理由；(2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．【答案】(1)①；②为等边三角形，见解析(2)的度数为或．【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数；②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状；（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数．【解析】（1）解：①在中，，，，，又，，，，，在中，，，；②为等边三角形，理由如下：如图1所示：平分，设，则，在中，，，在中，，，在中，，，，，，在中，，，，，，为等边三角形；（2）解：的度数为或，理由如下：直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：①当直线与线段交于点时，如图2①所示：设，是以为腰的等腰三角形，即，，，，在中，，，，，，即，②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示：设，，，是以为腰的等腰三角形，即，，，在中，，，，，，，综上所述：的度数为或．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．7．（上海市奉贤区部分学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，．(1)如图1，点在的内部．①当，求的度数；②当平分，判断的形状，并说明理由；(2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）．【答案】(1)①②为等边三角形，理由见解析(2)的度数为或，理由见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．（1）①根据，得，进而得，再根据题意得，进而得；②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，由此可判定的形状；（2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数．【解析】（1）解：①在中，，，，，又，，，，，在中，，，；②为等边三角形，理由如下：如图1所示：平分，设，则，在中，，，在中，，，在中，，，，，，在中，，，，，，，为等边三角形；（2）的度数为或，理由如下：直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形，有以下两种情况：①当直线与线段交于点时，如图所示：设，是以为腰的等腰三角形，即，，，，在中，，，，，，即；②当直线与的延长线交于点时，如图所示：设，，，是以为腰的等腰三角形，即，，，在中，，，，，，；综上所述，的度数为或．题型4：新定义题8．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）阅读理解概念：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．完成以下问题：(1)填空：①若是“奇妙互余三角形”，，，则________②若是“奇妙互余三角形”，，，则________(2)如图，在中，，是的角平分线，请说明是“奇妙互余三角形”的理由．(3)在中，，，点P是射线上的一点，且是“奇妙互余三角形”，请直接写出的度数．【答案】(1)①；②或(2)理由见解析(3)或【分析】（1）①根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；②由“奇妙互余三角形”的定义得或，即可求解；（2）根据直角三角形的两个锐角互余得，而，所以，所以是“奇妙互余三角形”；（3）分为2种情况，当P在线段上时和当P在CB延长线上时，根据是“奇妙互余三角形”分别可解得答案．【解析】（1）①∵是“准互余三角形”，，，∴，∴，故答案为：；②是“奇妙互余三角形”，，，当时，∴∴，∴当时，∴∴，∴．故答案为：或；（2）∵，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴是“奇妙互余三角形”．（3）解：当P在线段上时，如图：，是“奇妙互余三角形”，当时，∴，∴；当时，∴，∴；当P在延长线上，是“奇妙互余三角形”，如图：∵，∴．当时，∵，∴（舍去）；当时，∵，∴（舍去）．综上所述，的度数为或．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，数形结合与分类讨论数学思想的运用、新定义问题的求解等知识与方法，准确地把握新定义的内涵并且正确地画出图形是解题的关键．9．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在锐角三角形中，点D、E分别在边上，连接，将沿翻折后，点A落在边上的点P，当和都为等腰三角形时，我们把线段称为的完美翻折线，P为完美点．(1)如图1，在等边三角形中，边的中点P是它的完美点，已知其完美翻折线的长为4，那么等边三角形的周长＝．(2)如图2，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，求此时的度数．(3)如图3，已知为的完美翻折线，P为完美点，当恰为等腰三角形的顶角时，请判断点P到边的距离是否相等？并说明你的判断理由．【答案】(1)24(2)(3)点P到边的距离相等，理由见解析【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握相关内容，根据三角形的内角和定理和外角定理构造等量关系求解．（1）根据翻折的性质可得，根据等边三角形的性质可得，则，是等边三角形，得是等边三角形，进一步得出，从而可得答案；（2）连接，设，根据三角形的外角定理和等腰三角形的性质可得，，最后根据即可求解；（3）连接，过P作于点H，于点N，设，根据可得，则为的平分线，．【解析】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵P为的完美点，∴，和是等腰三角形，∵∴和是等边三角形，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴等边三角形的周长为，故答案为：24．（2）连接，设，∵为的完美翻折线，∴，∴，∴，∴，∵和是等腰三角形，且都为顶角∴，∴，∵，∴，∴，即．（3）解：连接，过P作于点H，于点N，∵为的完美翻折线，∴，和是等腰三角形，设，∴，∴，∵为顶角，∴，∴，∴，∵，∴，∴，为的平分线，∴，所以，点P到边的距离相等．10．（23-24七年级下·上海普陀·期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．【阅读定义】如图1，内有一点P，满足，那么点P称为的“布洛卡点”，其中、、被称为“布洛卡角”．如图2，当时，点Q也是的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）问题1：等边三角形的“布洛卡点”有个，“布洛卡角”的度数为度；问题2：在等腰三角形中，已知，点M是的一个“布洛卡点”，是“布洛卡角”．（1）与的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．（2）当（如图4所示），时，求点C到直线的距离．【答案】问题1：1，30；问题2：（1），（2），【分析】问题1：根据等边三角形的性质和“布洛卡点”的定义即可知其“布洛卡点”个数和角度；问题2：（1）根据等腰三角形的性质可得，结合题意可知，则有，利用三角形内角和定理可得，即可得到；（2）过C点作与D，根据可得，且，由题意得，求得，，则有和，，继而证明，则有和，即可得到，可得点C到直线的距离．【解析】解：问题1：由题意知三角形中有两个“布洛卡点”，∵等边三角形每个角为，∴两个“布洛卡点”重合为一个，且每个角为，故答案为：1，30．问题2：（1），理由如下：∵，∴，∵M是的“布洛卡点”，是“布洛卡角”，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，（2）过C点作与D，如图，则，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查新定义下的三角形角度理解，涉及等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质和三角形内角的应用，解得的关键是对新定义的理解，以及角度之间的转化．题型5：动点问题11．（23-24七年级下·上海黄浦·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且．(1)请说明的理由；(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，求当为何值时，的面积为．(3)在(2)的条件下，点是直线上的一点且．当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？请直接写出符合条件的值．【答案】(1)见解析(2)当为或时，的面积为(3)或时，与全等【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，（1）首先推导出，通过即可证明；（2）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，②当点在射线上时，时；依据三角形面积计算公式解答即可；（3）分两种情形求解即可①如图中，当时，．②如图中，当时，．【解析】（1）如图1中，是高，，是高，，，，，在和中，，，（2）解：由（1）知，，，，由题意①当点在线段上时，，解得：；②当点在延长线上时，，，解得：，综上，当为或时，的面积为；（3）存在．①如图2中，当时，，，．，，解得，②如图中，当时，，，．，，解得．综上所述，或时，与全等．12．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)一定成立(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论；（2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案；（3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案．【解析】（1）证明：为等边三角形，，，，，，在和中，，，，，，为等边三角形，，在中，，，同理可得，，；（2）解：一定成立，理由如下：如图，延长至，使，连接，，由（1）可知：，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，故答案为：一定成立；（3）解：如图，在上截取，连接，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．题型6：旋转问题13．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在中，射线点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后，得到线段，连接、．(1)试说明的理由；(2)延长交射线于点D，在点P的移动过程中，的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出的大小(用含α的代数式表示)；(3)当时，过点Q作垂直射线，垂足为E，那么(用m、n的代数式表示)．【答案】(1)理由见解析(2)不改变，(3)【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等；（2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小；（3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可．【解析】（1）证明：根据旋转的性质得到，，∴，∴，∵，∴；（2）解：如下图所示，连接，∵，∴,∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴大小不改变，且；（3）解：如下图所示，∵，∴，∵，∴，∴是的角平分线，∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件．14．（22-23七年级下·上海·期末）已知与为等边三角形，绕着点顺时针旋转；(1)如图1，若旋转至点在同一直线上，说明的理由；(2)如图2，在旋转的过程中，与的夹角是否改变，若不改变，求出夹角的度数；若改变，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)不变，【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到；（2）设，交于，与交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据对顶角的性质得到．【解析】（1）与为等边三角形，，，，，在与中，，，，，，；（2）与的夹角不改变，理由：设，交于，与交于，由（1）知，，，，，故与的夹角不改变．15．（22-23七年级下·上海·期末）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点；(1)如图，若点在线段上，且，求证：；(2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由；(3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)或【分析】本题考查了几何变换综合题，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性质，是解题关键．（1）由，得．由，得，．由，得．故．（2）由，，得．由，得．．由，得，，得．故．（3）①当时，由，得．，，．由，得，故．②当时，如图所示．同①，．【解析】（1）证明：∵，，∴，，．，，，．，即，．在和中，，．（2）解：结论成立，理由：如图，∵，∴，∵，．，．．，，∵，，．在和中，．（3）①当时，如图所示．，．，，．，，，．②当时，如图所示．同①，．综上所述，或．16．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）在中，，以为边向外作等边和等边．

(1)如图1，连接，与相交于点O．①说明的理由．②°．（直接填答案）(2)如图2，过D做的垂线，垂足为H，连接，交于点F，与相等吗？为什么？【答案】(1)①证明见解析；②120(2)相等，理由见解析【分析】（1）①根据等边三角形的性质及角的和差，再利用证明，即可证明；②设交于点P，由全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等和三角形内角和定理可求出，进而求解即可；（2）先证明，再证明，即可求证．【解析】（1）①∵和为等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；②设交于点P，

∵，∴，在和中，∵，∴，，故答案为：120；（2）相等，理由如下：∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．题型7：翻折问题17．（23-24七年级下·上海·名校期末）如图1，在中，延长到D，使，E是上方一点，且，连接．(1)若，则______；(2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接交于F，若，求证：F是的中点；(3)在如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，（）求线段的长度．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，利用三角形内角和求出即可；（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得．【解析】（1）解：，，，，在与中，，，，∴，，，，故答案为：；（2）证明：，，，，在与中，，，，∴，如图，连接，将沿直线翻折得到，，，，即．由三线合一，得：F是的中点；（3）解：如图，连，延长交于M，根据折叠的性质，则，，，，在与中，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，，，，，在与中，，，，，．【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键．题型8：（类）情景探究题、数学活动题18．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）问题：如图，在中，，，平分，于点E，说明的理由．分析：要说明“一条线段等于另一条线段的两倍”，我们容易想到“线段的中点”和“等腰三角形的三线合一”两个基本图形．如图1，若点C是线段AB的中点，则．如图2，在中，若，于点D，则．要求：请根据上述分析完成上述问题的解答．

【答案】见解析【分析】延长，，交于点F，证明，得到，再证明，得到，等量代换即可推出．【解析】解：延长，，交于点F，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的难点在读懂材料，适当添加辅助线，构造全等三角形．19．（22-23七年级下·上海·名校期末）已知，是等边三角形，是直线上一点，以为顶点作．交过且平行于的直线于，求证：；当为的中点时，（如图1）小明同学很快就证明了结论：他的做法是：取的中点，连结，然后证明．从而得到，我们继续来研究：（1）如图2、当D是BC上的任意一点时，求证：（2）如图3、当D在BC的延长线上时，求证：（3）当在的延长线上时，请利用图4画出图形，并说明上面的结论是否成立（不必证明）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4）见解析，，仍成立【分析】（1）在AB上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；（2）在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形得出∠F=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论；（3）在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，证明△BDF是等边三角形，得出∠BFD=60°，证出∠FAD=∠CDE，由ASA证明△AFD≌△DCE，即可得出结论．【解析】（1）证明：在AB上截取AF=DC，连接FD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠BFD=60°，∴∠AFD=120°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=120°=∠AFD，而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（2）证明：在BA的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等边三角形，∴∠F=60°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=60°=∠F，而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，又∵∠ADE=∠B=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE；（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：在AB的延长线上截取AF=DC，连接FD，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∴∠FAD+∠ADB=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∵∠DBF=∠ABC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴∠AFD=60°，又∵AB∥CE，∴∠DCE=∠ABC=60°，∴∠AFD=∠DCE，∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，∴∠FAD=∠CDE，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD=DE．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．20．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）【问题情境】（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为______米．

【探索应用】（2）如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是______；【拓展提升】（3）如图3，在中，，，的延长线交于点F，求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）证明，由全等三角形的性质即可得，据此可得答案；（2）延长到点E使，再连接，由“”可证，可得，由三角形三边关系可得；（3）在上截取，易证，可得和，进而证明，可得，即可解题．【解析】解：（1）在和中，，∴，∴米；故答案为：；（2）延长到点E使，再连接，如图所示，

∵是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，∵在中，，∴，∴，故答案为：；（3）在上截取，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．21．（22-23七年级下·上海静安·期末）探究：（1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．请直接写出线段之间的数量关系是；拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，①请直接写出图3中所有全等三角形；②求证：是等边三角形．【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）①②见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．掌握一线三等角全等模型，是解题的关键．（1）证明，即可得出结论；（2）证明，即可得出结论；（3）①等边三角形的性质，推出，同（2）得到，进而推出，；②根据，得到，，推出，即可得出结论．【解析】解：（1）如图1，直线，直线，，，，，在和中，，，，，；故答案为：；（2）成立，证明如下：如图2，，，，在和中，，，，，；（3）①如图3，∵和均为等边三角形，∴，∴，∴，由（2）可知，，，，，和均为等边三角形，，，，，在和中，，，∴，∵，∴，综上：全等的图形有；②为等边三角形，理由如下：∵，，，为等边三角形．22．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）上海教育出版社七年级第二学期《练习部分》第60页习题14.6（2）第5题及参考答案．5．过下面三角形的一个顶点画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形：

参考答案：

小华在完成了以上解答后，对分割三角形的问题产生了兴趣，并提出了以下三个问题，请你解答：【问题1】如图1，中，，请设计一个方案把分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形的三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形．请直接画出示意图并标出等腰三角形顶角的度数（示意图画在答题卡上）；

【问题2】如果有一个内角为的三角形被分割成两个小三角形，其中一个小三角形三个内角的度数与原三角形三个内角的度数分别相等，另一个小三角形是等腰三角形，那么原三角形最大内角的度数所有可能的值为______；【问题3】如图2，在中，，在中，，分别用一条直线分割这两个三角形，使分割成的两个小三角形三个内角的度数与分割成的两个小三角形三个内角的度数分别相等，请设计两种不同的分割方案，直接画出示意图并标出相应的角的度数（示意图画在答题卡上）．

【答案】(1)顶角，见解析(2)(3)见解析【分析】(问题1)作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角．(问题2)根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当最大解答即可．(问题3)根据题意，利用构造角的平分线，构造等角等方法，解答即可．【解析】(问题1)如图，作的平分线，交于点D，则，，此时，是等腰三角形，此时顶角．

(问题2)根据(1)作较大内角的平分线，交于点D，则，此时，是等腰三角形．当，最大，故答案为：；(问题3)根据题意，设计如下：方案1：作的平分线，交于点M，根据题意，得，；作，交于点N，根据题意，得，．

方案2：作，交于点Q，根据题意，得，；

作，交于点O，根据题意，得，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角的平分线的作图，作一个角等于定角是解题的关键．题型9：新教材——线段的垂直平分线23．（2025七年级下·上海·专题练习）已知：如图，，，的垂直平分线分别交，于点，点，连接．(1)如图，求证：平分；(2)若点是线段上的一点（点不与点，，重合），现以为一边，作，使得点，在直线的同侧，且．①求证：、、三点共线；②试探究，与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②或，理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）①如图，连接，由（1）得，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论；②分两种情况讨论：当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图所示，当点在点右侧时，，同理可证．于是得到结论．【解析】（1）证明：，，，垂直平分，，，，，平分；（2）①证明：如图，连接，，由（1）得，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，三点共线；②或．理由：分两种情况讨论：Ⅰ如图所示，当点在点左侧时，，延长到，使得，连接，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，即；Ⅱ如备用图2所示，当点在点右侧时，，同理可证．综上所述，，与之间的数量关系为或．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．24．（2025七年级下·上海·专题练习）如图1，P是等边左侧一点，垂直平分于E点，交直线于点M，的平分线交于点F，设．(1)若，直接写出度数；(2)改变P点的位置，当时，的度数是否改变？说明理由；(3)如图2，连接，若，求的长．【答案】(1)(2)不改变，理由见解析(3)【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由线段的垂直平分线的性质可得：，再根据三角形的内角和即可解决问题．（2）在（1）的基础上，设，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和的角度计算即可解决问题．（3）在上截取（如图），易得，再根据等边三角形的性质即可．【解析】（1）解：∵是等边三角形，∴，，∵垂直平分于点，∴，，，，，，，，．（2）解：不改变，理由如下：是等边三角形，垂直平分，设，，，，，．（3）解：平分，∴垂直平分，，在上截取，，，在与中∴，，，是等边三角形，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练运用线段垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键．题型10：新教材——尺规作图有关的解答证明题25．（2025七年级下·上海·专题练习）材料呈现：如图为某版本八年级上册数学教材的部分内容．做一做：如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的角形有多少种？（1）[操作发现]如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究证明]阅读并补全证明已知：如图2，在ABC和DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）．求证：AB＝DE．证明：在BC上取一点G，使AG＝AC．∵AG＝AC，∴∠C＝．又∵∠C+∠F＝180°，而∠AGC+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝．∵AC＝DF，∴AG＝又∵∴ABC≌DEF（AAS）．∴AB＝DE．（3）[拓展应用]在ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，连结DE，DE与BC边所在的直线交于点F．①当点D在线段BA上时，如图3所示，求证：DF＝EF．②过点D作DH⊥BC交直线BC于点H，若BC＝4，CF＝1，