第2章 函数 1-2 2.2第2课时 分段函数 北师大版高中数学必修第一册课件

第二章1-22.2第2课时分段函数基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.了解分段函数的概念.2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

分段函数1.分段函数的定义如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.分段函数是一个函数而不是几个函数

2.分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.名师点睛

1.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算.2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.3.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.(

)(2)Y=|x-8|可以转化为分段函数的形式.(

)(3)分段函数

的图象可以作出来.(

)√√×2.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(2)))=

.

2解析

由题图知f(2)=0,∴f(f(2))=f(0)=4,∴f(f(f(2)))=f(4)=2.3.[人教A版教材习题]画出函数y=|x-2|的图象.(方法二

翻折法)先画出y=x-2的图象,然后把图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上面.重难探究·能力素养速提升探究点一分段函数的求值变式探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.解

∵f(x)>0,∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).规律方法

1.求分段函数的函数值的步骤(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一区间.(2)再代入该区间对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值求自变量的值的步骤(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.(2)再将函数值代入不同的解析式中.(3)通过解方程求出自变量的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.探究点二分段函数的图象【例2】

画出下列函数的图象,并写出它们的值域.(2)y=|x+1|+|x-3|.解

(1)函数

的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数

它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).规律方法

1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的虚实之分.2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再作其图象.C解析

因为当x=0时,y=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A,B;当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合题意.探究点三根据分段函数图象求解析式【例3】

已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为

.

解析

根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的一元二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3).综上可知,所求函数的解析式为变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为

.

解析

∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得探究点四分段函数在实际中的应用【例4】

某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(单位:万股)与时间t的部分数据如下表所示.第t天4101622Q/万股36302418(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数解析式.(2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数解析式.(3)在(2)的结论下,用y(单位:万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数解析式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?(2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),将(4,36)与(10,30)代入,得故日交易量Q与时间t的一次函数解析式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N+.规律方法

分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.变式训练3[人教B版教材例题]北京市居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180m3但不超过260m3的部分,综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为xm3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图象.解

如果x∈[0,180],则f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照题意有f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此注意到f(x)在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为f(180)=5×180=900,f(260)=7×260-360=1

460,由此可作出函数的图象,如图所示.本节要点归纳1.知识清单:(1)分段函数的求值;(2)作分段函数的图象;(3)分段函数在实际中的应用.2.方法归纳:数形结合法.3.常见误区:分段函数作图时定义域中端点的处理;对分段函数定义域和值域的理解;分段函数求值时,应注意自变量所在的区间.学以致用·随堂检测促达标12345B123452.函数

的图象是(

)C123453.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(单位:元)与路程x(单位:千米)之间的函数解析式是