专题24 有理数的乘除【十大题型】（举一反三）（华东师大版）

专题2.4有理数的乘除【十大题型】

【华东师大版】

♦题型梳理

【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】....................................................1

【题型2巧用分配律简化运算】..................................................................2

【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】....................................2

【题型4关于有理数乘法的新定义问题】..........................................................3

【题型5利用有理数的乘法解决实际问题】........................................................4

【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】..................................................5

【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】................................................6

【题型8巧用倒数解有关有理数除法的问题】......................................................7

【题型9运用有理数的除法化简分数】............................................................8

【题型10与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】................................................8

，举一反三

【知识点1有理数乘法的法则】

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

②任何数同零相乘，都得0.

③多个有理数相乘的法则；①几个不等于0的数相乘，积的符号山负因数的个数次定，当负因数有奇数个

时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

乘积是1的两个数互为倒数，。没有倒数；若a#）,则a的倒数是（

【题型1根据有理数的乘法法则判断不等关系】

[例1]（2023春・广东广州•七年级统考期末）如果a+b=\a\-\b\>0,ab<0,那么（）.

A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.aVO,b>0D.a<0,b<0

【变式1-1】（2023春・重庆江津•七年级校考阶段练习）已知a>b>c,且a+b+c=O,那么乘积ac的值

一定是（）

A.正数B.负数C.0D.不能确定

【变式1-2]（2023春・江苏苏州•七年级校考阶段练习）若a+b<0,且ab>0,那么a、b应满足的条件是（）

A.a>0、b>0B.a<0,b<0

C.a、b同号D.a、b异号，且负数的绝时值较大

【变式1-3】(2023春•河北邢台•七年级校考阶段练习)如图，48两点在数轴上表示的数分别是a,b,下

列式子成立的是()

__________IBIII->

・1601a

A.ab>0B.a+b>0

C.(a-l)(b+l)<0D.(a+l)(b-l)>0

【题型2巧用分配律简化运算】

【例2】(2023春.河南焦作・七年级焦作市实验中学校考期中)用简便方法计算：

(1)4x(-198)x(-0.25)

⑵(V+AJx(24)

⑶-5x(-79+7X(—7A(—12)X(-79

(4)99(-36)

【变式2-11(2023春・山西晋中•七年级统考期末)计算(—0.125)x20x(-8)x(-0.8)=[(-0.125)x(-8)]x

[20x(-0.8)]=-16,运算中运用的运算律为().

A.乘法交换律B.乘法分配律

C.乘法结合律D.乘法交换律和乘法结合律

【变式2-2](2023春•七年级单元测试)用简便方法计算：

(1)9^x(-30)；

JL3

(2)(-5)x(-39+(-7)x(-3勺+12X(一39.

【变式2-3](2023春・湖南张家界•七年级统考期中)简便计算：

⑴-24x(1+冷)

⑵(4)x(-K)+(+?)x([)1

KJIOOK#KJ

【题型3有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】

【例3】(2023春•海南省直辖县级单位•七年级校考阶段练习)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，771的

绝对值是2,求|a+b|+4m-3cd的值.

【变式3-1](2023春・重庆万州•七年级校联考阶段练习)若a,占互为相反数，c,〃互为倒数，|x-4|=3,

求吴+(Q+-21H的值•

【变式3-2](2023春・吉林白城•七年级统考期中)已知4,〃互为相反数，且QHO,c,d互为倒数，阳的绝

对值是最小的正整数，求而_衿2。；；(：了)_"的值.

I)2022

【变式3-3](2023春,贵州遵义•七年级校考阶段练习)若a、方互为相反数，c、4互为倒数，机的绝对值为

2.

(I)求a+/?,cd,，〃的值；

(2)求m+2cd-(Q+b)的值.

【题型4关于有理数乘法的新定义问题】

【例4】(2023春•江苏宿迁•七年级泗阳致远中学校考阶段练习)定义一种新运算”※:对于任意的两个有理

数a,b,。※8=-3ab.

(1)若m与一2互为倒数，几与5互为相反数，求血※ri的值；

⑵求(一3蟀[6※(一4)]的值.

【变式4-1](2023春・重庆石柱•七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习)〃，。为有理数，若规定一种新的

运算“㊉”：定义〃㊉/?=4X〃-2X(〃-a)-5,

例如：2㊉3=2x3-2(3-2)-5=6-27=-I.

请根据“㊉”的定义计算：

(1)-2㊉4：

⑵(・1㊉1)〶(-7).

【变式4-2](2023春・全国•七年级期末)在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣.对有理数

a、b、c,在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：c(a+b)=ca+cb.借助有理数的

运算，定义了一种新运算“㊉”，规则如下：Q㊉b=QXb+2xa.

(1)求2㊉(-1)的值；

(2)求一3㊉(一4㊉3的值；

(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“㊉”是否具有交换律？请写出你的探究过程.

【变式4-3](2023春・江苏无锡•七年级校考阶段练习)对于有理数a、b,定义运算：a&=axb+\a\-b.

⑴计算(-5)©的值；

(2)求[23(-3)]期的值：

(3)填空：30(-2)(-2)(88(填或“=”或"V").

星期--二三四五六日

每斤价格相对于标准价格（元）+1-2+3-1+2+5-4

售出斤数2035103015550

（I）第一周超市售出的百香果单价最高的是星期，最高单价是元；

（2）这一周超市出隹此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？

（3）都市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：

方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；

方式二：每斤售价10元；

为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱.

【知识点有理数除法的法则】

①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

【题型6巧用分配律进行有理数的四则混合运算】

【例6】（2013秋•七年级单元测试）用简便方法计算：999打（-1〉

【变式6-1】（2023春・湖南郴州•七年级校考期中）简便运算：（-：+：-白）+2

\6412/48

【变式6-2］（2023春七年级课时练习）用简便方法计算；

（1）（-81R2；4;（-16）;

44

（2）1（-住》（-玲-（-3.9）+11-介（-0.7）］}.

1164

【变式6-3］（2023春・全国•七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：

计算:专+（，*一看-表）+（:+*_5一»+专

她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地

解答了这道题.

（1）前后两部分之间存在着什么关系？

（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分.

（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果.

（4）根据以上分析，求出原式的结果.

【题型7利用有理数的四则混合运算解决实际问题】

【例7】（2023・浙江•七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为-0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒

线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5,-0.8,0,

—0,2,—0.3,0.4.

（I）经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？

（2）现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现

在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间.

【变式7-1］（2023・浙江•七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足

10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东

行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）

+4：-3：-6；+13；-10；-4；+5.

（1）计算到8：00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？

（2）求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离.

（3）若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L,每升油7元，若李师

傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少

元？

【变式7-2］（2023春.广东佛山・七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30口的

游客人数为3万人，F表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况（正数表示比前一天多

的人数，负数表示比前一天少的人数）：

日期1日2□3口4日5日6□7日

人数变化/万人+1.7+0.6+0.3-0.3-0.6+0.2-1.1

（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？

（2）与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是卜降了？变化了多少？

（3）求这7天每天平均人数是多少万人？

【变式7-3】（2023・浙江•七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，

具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且

不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，

按一级用水价格的1.8倍收取.为节约用水，小高记录了1〜7月份他家每月1号的水表读数.（注：相邻两个

月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量)

1月2月3月4月5月6月7月

水表读数(吨)433450468485500514535

(1)填空：小高家1月份的用水量______吨，1〜6月平均每月用水量为吨.

(2)已知小商家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？

(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨,

试求小高家7月份需缴纳水费多少元？

【题型8巧用倒数解有关有理数除法的问题】

【例8】(2023春・全国•七年级专题练习)阅读下列材料：计算50+([-：+看).

解法一：原式=50+：-50+，+50+*=50x3-50x4+50x12=550.

解法二：原式=50+舄一卷+^)=50^=50x6=300.

解法三：原式的倒数为(；-；+卷)+50

3412

故原式=300.

上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的.请你选择合适的解法解答下列问

题：

计算：(-》+(»裔

【变式8-1](2023・江苏.七年级假期作业)阅读下题的计算方法：

计算：(W)W+：)

分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值.

解:(T+3+(W)=0(+9*(-24)=-16+18-21=-19

所以原式=一看

根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：(-/)+(-:一"2一习

【变式8-2](2023春•辽宁鞍山•七年级阶段练习)阅读下列材料，并解答问题：

材料一：乘积为I的两个数互为倒数，械呜即若―，则

材料二：分配律：（a+b）c=ac+bc；

利用上述材料,请用简便方法计算:（一劫+

【变式8-3】（2023春・福建泉州•七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：

【题型9运用有理数的除法化简分数】

【例9】（2023春•七年级课时练习）化简下列分数：

⑴子；⑵三；（3）胃；⑷胃.

7-36-8-0.3

【变式9-1］（2023春・全国•七年级专题练习）化简下列分数：（1）二鼻（2）i（3）4.

【变式9-2］（2023春・河北唐山•七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1））=______:（2）-4-=______

6-24

（3）上一：

【变式9-3］（2023春•七年级课时练习）化简下列分数：

⑴李⑵U;

（3）.；©A■

【题型10与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】

【例10】（2023春・全国•七年级专即练习）a、b为任何非零有理数，则含十六十黑的可能取