2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）（附答案解析）

2023・2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛

数学试卷（初赛）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.（5分）如图，已知ZC=79°,DEIAB,则N。的度数为（）

B.68°C.60°D.71°

2.（5分）若L=_L,则z等于（

）

xyz

A.x-yB.C.旦D.

x-yy-x

b

3.（5分）（2022秋•宣州区校级期中）若a,b,c都是负数,并且

a+bh+cc+a

则4、6、。中（）

A.”最大B.〃最大C.c最大D.c最小

4.（5分）（2022秋•淅川县期末）如图，在NECF的边CE■上有两点A、B,边Cr上有一

点。，其中4c=4短=/»且NEB=27。，则NAOF的度数为（）

C

A.54°B.91°C.81°D.101°

5.（5分）如图，四边形A3CO中，AB=AD,AC=5,NZMB=ZDC8=90。，则四边形A8CD

的面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.17

6.（5分）（2013春•沙坪坝区校级期中）如图所示，A4BC中，点。、E、尸分别在三边

上，E是人。的中点，AD、BE、CF交于一点、G,BD=2DC，5AGec=3,SACDC=4,

则AABC的面积是（）

C.35D.40

7.（5分）（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重会

也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为5；,另两张直角三角形纸片的面积都

为邑，中间一张正方形纸片的面积为邑，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（)

C.4S2+D.3工+4s3

8.（5分）如图，边长为5的等边三角形A/3C中，M是高C4所在直线上的一个动点，连

接MB,将线段AM绕点B逆时针旋转60°得到用V,连接HN.则在点例运动过程中，线

5

C.2D.

2

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.（5分）五条长度均为整数厘米的线段：q,人见，为，%，满足4〈生＜％〈包〈4,

其中厘米，%=9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则为=—.

10.（5分）（2021春•西乡县期末）若关于x的分式方程竺二1+'=2有整数解，整数，〃

x-22-x

的值是—.

11.（5分）（2021秋•南岗区校级期中）如图，在等边A44c中，AC=10,点O在AC上,

且人0=3,点夕是上一动点，连接OP,将线段0P绕点。逆时针旋转60。得到线段

OD.要使点。恰好落在BC上，则AP的长是

12.（5分）如图，过边长为2的等边A44C的顶点C作直线然后作AA/3C关于直

线/对称的夕为线段WC上一动点，连接AP,相，则4P+P4的最小值是.

13.（5分）（2023春•泌阳县期末）在A/WC中，ZABC,NAC3的平分线交于点O,ZACB

的外角平分线所在直线与ZABC的平分线相交于点。，与ZABC的外角平分线相交于点E,

则下列结论一定正确的是—.（填写所有正确结论的序号）

®ZBOC=90°+-ZA;@ZD=-ZA:@ZE=ZA:®ZF+ZZX7F=90°+ZABD.

2-2

A

14.（5分）（2021秋•福田区校级期末）如图，把两块大小相同的含45。的三角板Ab和三

角板CF3如图所示摆放，点。在边AC上，点E在边3c上，且NCFE=13。，ZCFD=32°,

则NDEC的度数为.

c

15.（5分）（2021春•江都区期末）如图，AA8C沿17斤叠使点A落在点A处，BP、CP

16.（5分）（2020•宿州模拟）在A4BC中，己知NC4B=60。，D、石分别是边/W、4C上

的点，Fl7AED=60°,ED+DR=CE,ZCDR=2ZCDE,则//XT?等于.

三、计算与解答题（每题10分，共70分）

17.（10分）先化简后，再求值：（-^——其中。=g—3）°.

cr+2aa-+4t/+4a+2

18.（10分）（2017秋•邵阳县期末）已知abc^O,且a+b+c=O,求

«（-+-）+/?（-+-）+c（-+-）的值.

bccaab

19.（10分）（2015秋•浦东新区期末）已知：如图，RtAABC中，AC>8C,ZACB=90°,

8是AA8C的中线，点石在8上，且NAED=NB.求证：AE=BC.

20.（10分）已知AA4c和△<?£）£中，CA=CB.CD=CE,/ACB=4DCE=a,AE与BD

交于点尸.

DD

A

图1图2

（1）如图1当a=90。时.求证：AE工BD；

（2）如图2,直接写出/4也）的度数为（用含a的式子表示）.

21.（10分）如图】，在平面直角坐标系中，点4（«0）在x轴负半轴上，点3在），轴正半轴

上，设=且加一4/=0.

（1）直接写出NB4O的度数.

（2）如图2,点。为"的中点，点尸为》轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形4P0,

（1）如图1,若N£=120。，ZC=110°,求N4+"的度数；

（2）如图2,若NE=11O>,NGAE=L/BAE,ZGFE=-ZEFC,若GDIiFC,则4G/7

33

与NGZX•的数量关系是—.请写出理由.

23.（10分）如图（1）AC_LA4,BDtAB,AB=1IcniAC=BD=8<vn,点尸在线段AB

上以2r〃〃s的速度由点A向点8运动，同时，点Q在线段8D上由点8向点O运动，它们

运动的时间为"s）.

(1)若点。的运动速度与点p的运动速度相等，当/=2时，判断此时线段PC和线段PQ的

位置关系，并证明；

(2)如图(2),将图(1)中的“ACJ.八A,改为“NC4A=ND8A=50。"，其

他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得AAC尸与ABPQ全等？

若存在，求出相应的x、i的值；若不存在，说明理由.

2023・2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛

数学试卷（初赛）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.（5分）如图，已知ZC=79°,DELAB，则的度数为（）

A.79°B.68°C.60°D.71°

【答案】B

【考点】全等三角形的性质

【专题】图形的全等：推理能力

【分析】根据全等三角形的性质得到4E=4C,ZDAE=ZBAC,根据三角形内角和定理

求出NZM3,根据垂直的定义计算即可.

【解答】解：，AABC=A4Z）E,

：.AE=AC,ZDAE=ZBAC,

/.ZAEC=ZC=79°,

ZE4C=180°-79°-79°=22°,

：.ZDAB=22°,

•DE工AB,

「.ZD=90。-22。=68。，

故选：B.

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等一:角形的对应边相等、全等三角形的对

应角相等是解题的关键.

2.（5分）若则z等于（）

xyz

.y-X「冷r、町'

A.x—yBD.-------C.-------D.-------

xyx-yy-v

【答案】D

【考点】分式的加减法

【分析】先把原式进行通分，然后根据分式的特点再进行去分母，最后解出Z的值即可.

【解答】解；原式=上-土，

外移

—_y-x9

.•q=L

D'z

•z-上

），7

故选：。.

【点评】本题主要考查了分式的加减运算问题，在解得时候注意分母的同分问题.

3.（5分）（2022秋•宣州区校级期中）若a,b,c都是负数，并且」"，

ci+bb+cc+a

则a、〃、。中（）

A.4最大B.b最大C.c最大D.c最小

【考点】6C：分式的混合运算

【分析】根据不等式的性质，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变和分式的

加法法则计算即可.

【解答】解：・・,'<‘一<’一,

a+bb+cc+a

c,a,b,

-------+1<+1<+1，

a+hh+cc+a

a+b+ca+b+ca+b+c口,加日4近

二-------<--------<-------,乂a、b、c都是负数，

a+hb+cc+a

a+b<b+c<c+a,

:.b<a<cf

故选：C.

【点评】本题考查的是分式的混合运算和不等式的性质，掌握分式的加减运算法则是解题的

关键.

4.（5分）（2022秋•淅川县期末）如图，在NEC尸的边CE上有两点A、B,边CV上有一

点、D,其中8c=8O=AA且/反尸=27。，则NAZ）厂的度数为（）

E

CDF

A.54°B.91°C.81°D.101°

【答案】C

【考点】等腰三角形的性质

【专题】几何直观；等腰三角形与直角三角形

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出NAT厂的度数.

【解答】解：・.8。=瓦）="，

:"C=/BDC,ZABD=ZBAD,

•/ZABD=ZC+ZBDC,ZECF=27°,

ZADF=ZC+/BAD=3ZECF=81°.

故选：C.

【点评】考杳了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用.

5.（5分）如图，四功形AAU。中，AR=AD,AC=5,/八4/?=/"方=90。，则四功形

的面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.17

【答案】B

【考点】全等三角形的判定与性质

【专题】图形的全等

【分析】过A作AEJLAC,交C8的延长线于E,判定A4C£>=A4E8,即可得到AACE是

等腰直角三角形，四边形A3CZ）的面积与A4C£的面积相等，根据Sw£=gx5x5=12.5,

即可得出结论.

【解答】解：如图，过A作AE_LAC,交C8的延长线于

・・•ZDAB=/DCB=90°,

：.ND+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

/.ZD=ZABE,

又•.NQ44=NC4E=90。，

ZCAD=ZEAB,

乂AD=AB,

・•.A48=AA£B（/MS）,

:.AC=AE,即AACE是等腰直角三角形，

.•・四边形A5CO的面积与A4CE的面积相等,

.•SMCE=—x5x5=12.5»

四边形的面枳为12.5,

故选：B.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.在

应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造

三角形.

6.（5分）（2013春•沙坪坝区校级期中）如图所示，ZV3C中，点。、E、产分别在三边

上，£是AC的中点，AD.BE、CV交于一点G,BD=2DC,5AC£C=3,SSGDC=4,

则AA8c的面积是（）

【考点】K3：三角形的面积

【专题】11：计算题

【分析】由于BD=2DC,那么结合三角形面积公式可得S；=2S“CD，而

5A4«C=5A4BD+S^ACD»可得出工钻＜?=3§必。，而E是AC中点，故有鼠根£=,于是可

求,^AACD,从而易求S&48C，

【解答】解：BD=2DC,

•q

・・。仙现）CD

E是AC的中点,

乂S&GEC=3,S&GDC=4,

•*S&co=S^GE+SACGE+工GCO=3+3+4=10

S4庇=35A4CD=3x10=30

故选：B.

【点评】本题考杳了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算.注意同底等高的三角

形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等.

7.（5分）（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠

也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S/另两张直角三角形纸片的面积都

为$2,中间一张正方形纸片的面积为邑，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（)

C.4s2+S3D.3sl+4s3

【答案】A

【考点J平行四边形的性质

【分析】设等腰直角三角形的直角边为4,正方形边长为C,求出邑（用〃、C表示），得

出，，S2,S3之间的关系，由此即可解决问题.

【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为正方形边长为C,

贝(JS2=g(a+c)(a-c)=-go?

S->=S]—-S^f

:»=2£—2sz.

平行四边形面积=25,+25,+S、=2sl+2s2+251-25,=45,.

故选：A.

【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出5,,52,

Sj之间的关系，属于中考常考题型.

8.（5分）如图，边长为5的等边三角形中，M是高C77所在直线上的一个动点，连

接MB,将线段8W绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接"N.则在点M运动过程中，线

段"N长度的最小值是（）

A.-B.1C.2D.-

42

【答案】A

【考点】等边三角形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；旋转的性质

【专题】推理能力；平移、旋轨与对称；动点型

【分析】取C8的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得8H=8G,再求出

4HBN=/MBG,根据旋转的性质可得MB=N8,然后利用“边角边”证明A/WBG=处IBH,

再根据全等三角形对应边相等可得〃N=/WG,然后根据垂线段最短可得MG_LC”时最短,

再根据N8C"=30。求解即可.

【解答】解：如图，取4C的中点G,连接A/G,

旋转角为60°，

又r5BH+4MBe=AABC=附，

:"HBN=4GBM,

CH是等边MBC的对称轴，

2

：.HB=BG,

又MB旋转到BN,

BM=BN,

在&08G和&V3”中，

BG=BH

4MBG=4NBH,

MB=NB

：MBG三邸BH(SAS),

:.MG=NH,

根据垂线段最短，MG_LC〃时，VG最短，即”N最短,

“匕时•••N8C，=,x6()o=30。，CG=-^=-x5=-,

2222

,\MG=-CG=-,

24

4

故选：A.

N

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最

短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.

二、填空题（每小题5分，共40分）

9.（5分）五条长度均为整数厘米的线段：4,令/，%，%，满足

其中4=1厘米，%=9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则为=3.

【答案】3.

【考点】三角形三边关系

【专题】推理能力；三角形

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边解答即可.

【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条

长度均为整数厘米的线段，又则知・2.要想使4，%，公构不成三

角形，则见一句」，即叫「3；

要想使的，心构不成三角形，则%即。4，，&一%=6，

若。2，4，包构不成三角形，则生十的,4，即。3，，。4一%=4，

此时%=3或4,但当外=4时，没有任何一个整数能使生，出，处不能构成三角形，故排

除.

所以为=3.

解法二：由题意，〃1+。2，，。3，。2+。3，，4'。3+〃4，，%，

三个不等式相加得到：4+2勾++%,G+a4+,

化简得到：加2+%，%-4=8,即加2十%，8，

因为，

所以％只能取3或4,

当a=4时.因为％,6一4=5，

/.a4=5»此时外,,。4一6=1，与生=2矛盾，

当q=3时、可以找到1,2,3,5或6,9满足题意.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键.

10.（5分）（2021春•西乡县期末）若关于x的分式方程空二1+」_=2有整数解，整数机

x-22-x

的值是4或3或0.

【考点】例：解分式方程

【分析】首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解•.

【解答】解：丝二1+」_=2,

x-22—x

/nr-1-1=2（x-2）,

2

：.x=----,

m-2

而分式方程有整数解，

「."7-2=1,2二-1,rn-2=2»〃[-2二-2,

但是，〃-2=-1时，x=2,是分式方程的增根，不合题意，舍去

/./??-2=I»2=2,2=-2,

〃2=4,，九=3,m=0.

故答案为："?=4,/〃=3,〃?=（）.

【点评】此题主要考查了解分式方程，其中：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.

（2）解分式方程一定注意要验根.

11.（5分）（2021秋•南岗区校级期中）如图，在等边A4BC中，AC=10,点O在4c上,

且AO=3,点尸是上一动点，连接OP,将线段OP绕点。逆时针旋转60。得到线段

OD.要使点。恰好落在3C上，则”的长是7.

【答案】7.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质

【专题】推理填空题；平移、旋转与对称；推理能力

【分析】先计算出OC=7,根据等边三角形的性质得NA=NC=60。，再根据旋转的性质得

OD=OP,NP8=60。,根据三角形内角和平角定义得NAQP+NAPO+NAnl&F,

ZAOP+ZCOD+ZPOD=I80°,可得N4OP+ZAPO=120°,ZAOP+ZCOD=120°,利用

等量代换可得/4PO=NCOD,然后根据“A4S”判断MOPMACDO,则4P=CO=7.

【解答】解：,・・AC=10,AO=3,

.♦.OC=7,

A44C为等边三角形，

/.ZA=ZC=60°,

线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD,要使点。恰好落在BC上，

；.OD=OP,NPOD=60°,

vZAOP+ZAPO+ZA=180°,ZA<9P4-ZCOD+ZPOD=180°,

.•.NAOP+N4PO=120°,ZAOP+ZCOD=120°,

ZAPO=ZCOD,

在AAOP和AC/X）中，

4=NC

/APO=NCOD,

OP=OD

.•.AAOP=△CQO（AAS）,

:.AP=CO=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的判定与性质和全等三

角形的判定与性质.

12.（5分）如图，过边长为2的等边AA4C的顶点C作直线/_L4C,然后作AA4C关于直

线/对称的△A'9C,尸为线段4。上一动点，连接AQ,相，则AP+PA的最小值是4.

【答案】4.

【考点】轴对称的性质；等边三角形的性质

【专题】三角形：推理能力

【分析】连接利用全等三角形将幺的长转化为用的长即可解决问题.

【解答】解：连接尸8,

因为与^关于直线/对称，且MBC是边长为2的等边三角形,

所以后C=8C=2,N8GV=ZAC8=60°,

乂因为/_L8C,

贝I」ZACP=180o-2x60°=60°,

所以N/rC4'=N4CR

在△8CP和AACP中，

B'C=AC

■NB，CP=NACP,

CP=CP

所以△KCP三AACP（S4Si,

所以

所以孙+尸8=户8+心.

根据“两点之间，线段最短”可知，

当点?在点C位置时，阳+。8取得最小值为期的长度4,

所以AP+依的最小值是4.

故答案为：4.

【点评】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，能根据轴对称的性质结合全等三角形

将AP的长转化为斤P的长是解题的关键.

13.（5分）（2023春•泌阳县期末）在八短C中，ZABC,NAC8的平分线交于点O,ZACB

的外角平分线所在直线与ZABC的平分线相交于点D,与ZABC的外角平分线相交于点E,

则下列结论一定正确的是.（填写所有正确结论的序号）

®ZBOC=900+-ZA；®ZD=-ZA；®ZE=ZA；®ZE+ZDCF=9Cf+ZABD.

22

A

，D

【答案】①②④.

【考点】三角形的外角性质：三角形内角和定理

【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；三角形

【分析】由角平分线的定义可得NO8C+NOC8=1(ZA8C+ZAC3),再由三角形的内角和

2

定理可求解/30。=90。+,乙4,即可刊定①；由角平分线的定义可得N£>CF=，N/4CF,,

22

结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得ZMBC+/BCN=180°+NA,

再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得

ZE+NDC尸=90°+NO8C,结合乙钻£>=ZD3C可判定④.

【解答】解：，.NABC,ZAC3的平分线交于点O,

ZABD=NOBC=>ZABC,ZOCB=ZACO=-ZACB,

22

ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB),

2

ZA+ZABC+ZAC8=lg0。，

.\ZABC+ZACB=180°-ZA,

­.ABOC+Z.OBC+Z.OCB=180°,

ZBOC=180°-(NO8C-/OCB)=I80°--X(I800-Z/1)=90°+-Z^,故①正确，

22

CD平分NAB,

ZDCF=-Z4CF,

2

vZACF=ZABC+ZA,^DCF=NOBC+ND,

ZD=-ZA,故②正确；

2

\'ZM8C=ZA+ZACB,ZBCN=ZA+ZABC,NACB+NA+N/SC=180°,

ZMBC+NBCN=NA+/ACE+NA+NA8c=18(F+NA,

BE平分功BC,CE平分N3CV,

:.NMBC=2/EBC,/BCN=2/BCE,

ZEBC+ZBCE=90°+-ZA,

2

，ZE+ZEBC++BCE=180°t

/.NE=180°-(ZFBC++BCE)=180o-(90o+-z^)=90o--z^,故③错取；

22

•;NDCF=/DBC+/D,

ZE+/DCF=90°--Z4+ZDBC+-ZA=90°+NDBC,

22

•.ZABD=NDBC,

..ZE+ZDCF=90°+ZABD.故④正确，

综上正确的有：①②®.

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌

握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.

14.(5分)(2021秋•福田区校级期末)如图，把两块大小相同的含45。的三角板AC尸和三

角板CFB如图所示摆放，点。在边AC上，点E在边8c上，且NCF£=I3。，ZC/7)=32°,

则NDEC的度数为_64。_.

【考点】三角形内角和定理；旋转的性质

【专题】三角形

【分析】作PHJ,依交4c用H.想办法证明/DEF=ZDHF=58°=/FEB即可解决问题:

【解答】解：作H7_L正交AC用〃.

vZAFC=ZE/7/=90°,

ZAFH=/CFE=\3。,

，ZA=N「CE=45。，FA=FC,

:.SFAHwKCE、

:.FH=FE,

ZDFE=/CFE+ZDFC=13。+32。=45°,

:./DFH=NDFE=A5。、•DF=DF,

：.^DFE=ADFH,

.\ZDEF=ZDHF=ZA+^AFH=58°,

NFEB=NCFE+NFCE=5手,

/.NDEC=180°-58°-58c=64°,

故答案为64。.

【点评】本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、仝等三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三箱形解决问题.

15.（5分）（2021春•江都区期末）如图，AA8C沿所不叠使点A落在点4处，BP、CP

分别是NAB。、NA8平分线，若NP=30。，NA'EB=20。，则N/VFC=140。.

【答案】140.

【考点】三角形内角和定理

【专题】三角形；推理能力

【分析】如图，欲求Z/TPC,因为ZANC=ZA+N1=ZA+Z/V+N/T£3,所以仅需求ZA.根

据二角形外角的性质，得NA=N/W£>-44CB.因为/炉、C夕分别是乙钻/）、NAC'/）平分

线，所以N4=2NPBD-2ZPCB=2(/PBD-NPCB)=2ZP=60。，进而可■求出ZAfFC.

【解答】解：如图,

/.^PBD=-AABD,/BCP='/BCA.

22

乂ZPBD=/P+/PCB.

ZP=NPBD-NPCB=-ZABD--/BCA=-（ZABD-ZACH），

222

X\-ZABD=ZA+ZACB,

..ZABD-ZACB=ZA,

ZP=-ZA，

2

.­.ZA=2ZP=2x30°=60°,

由题意得：N/V=NA=60>,

N1=NA'+NA'=60。+20。=80°,

.•.Z/VFC=4+N1=6O0i80。=140。，

故答案为：140.

【点评】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质

以及角平分线的定义是解决本题的关键.

16.（5分）（2020•宿州模拟）在AA3c中，已知NC48=60。，。、E分别是边A3、AC1.

的点，且NA£D=60°,ED+DB=CE,NCDB=2NCDE,则NDC3等于_20。_.

【考点】全等三角形的判定与性质

【专题】计算题

【分析】延长AB到尸使=连接3,如图，先判断AADE为等边三角形得到

AD=DE=AE,ZAO£=60°,再利用NCZ?4=2NCQ£得至ljNCO£=40。，NCDB=80。，

接着证明A尸=4C,从而可判断A4FC为等边三角形，则有Cb=AC,/产=60。，然后证

明AACD^AFCB得到C8=C。，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算NXB

的度数.

【解答】解：延长AB到尸使8b=AD,连接b,如图，

•.­ZC4D=60°,ZAED=60°,

.•.A4DE为等边三角形，

：.AD=DE=AE,ZA£>E=60°,

/BDE=180°-ZADE=120°,

\NCDB=2/CDE,

3/CDE=120°,解得/CDE=40°,

:"CDB=2/CDE=8V,

BF=AD,

:.BF=DE,

DE+BD=CE,

:.BF+BD=CE,BPDF=CE,

\AF=AD+DF,AC=AE+CE,

AF—AC♦

而44c=60。，

「.AAR?为等边三角形，

..CF=AC,NF=60。,

在A4C7)和△“B中

AD=FB

，乙4二々，

AC=FC

/SACD^AFCB(SAS),

;.CB=CD,

：.ZCBD=ZCDB=S^,

:"DCB=180-(ZCBD+ZCDB)=20°.

故答案为：20°.

【点评】本题考行了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质

证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，美键是选择恰当的判定条件.解决本

题的关键是延长AI3到〃使BF=AD,构建△FCB与A4CD全等.

三、计算与解答题(每题10分，共70分)

17.(10分)先化简后，再求值：(手匚——丁匕！一)-5--,其中。=(乃-3)°.

a~+勿。~+4a+4a+2

【答案】

3

【考点】分式的化简求值

【专题】运算能力；分式

【分析】先通分，再除法，结果化为最简分式后，代入“=-3求值.

【解答】解：原式=[-^———

4(4+2)(4+2)2。+2

r(a-2)(〃+2)4(。-1)]«-4

=|--------;-----------r]+----

a(a+2)*a(a+2)，a+2

。-4a+2

=-------rx----

a(a+2)~a-4

I

~a12+32a'

,/a=(^-3)°=1,

.,.原式=——----

『+2x1

1

=­.

3

【点评】本题考查了分式的化简求值，化简分式是解决本题的关键.解决本题既可以先计算

被除式后，再做除法运算，也可先把除法变为乘法，运用乘法对加法的分配律.

18.(10分)(2017秋・邵阳县期末)已知abc^O,且a+b+c=0,求

a(-+-)+b(-+—)+(?(—+-)的值.

bccaah

【考点】6D：分式的化简求值

【分析】由题意可知：«+/?=-(?»b+c=,a+c=-b,将原式的括号去掉，然后将同

分母的相加，再利用条件式即可得出答案.

【解答】自串：由a+Z?+c=O得：a+b=—c,b+c=-aa+c=-b,

A1、,A1、A1、

•••a(-+-)+b(-+—)+c(-+-)

bccaab

aabbcc

=—4—+-F-4---1•一

bccaab

b+ca+ca+b

=----+----+----

abc

=-3；

【点评】本题考查分式的化简求值问题，需要将所求的式子进彳丁拆分重组，需要较高的观察

能力.

19.(1()分)(2015秋•浦东新区期末)已知：如图，RtAABC中，AC>BC,NACB=90。，

CD是43c的中线，点石在CD上，且求证：AE=BC.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质

【专题】14：证明题

【分析】延长C。到“使=8，连接囚尸，由CO是AA4C的中线，得到AO=AO,推

出zW)尸三MC7),根据全等三角形的性质得到/尸=/改力，月。=八尸，根据直角三角

形的性质得到CD=BD,由等腰三角形的性质得到4=/BCD，等量代换即可得到结论.

【解答】证明：延长8到/使。尸=C£>,连接A尸，

\8是AA8C的中线，

AD=BD,

AD=BD

在MDF与ABCD中，ZADF=ZBDC,

DF=DC

:.MDF=kBCD,

:./F=4BCD,BC=AF,

ZACB=90°,CD是A43C的中线,

:.CD=BD,

:"B=/BCD,

ZAED=/F,

：.AE=AF,

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性

质，正确的作出辅助线是解题的关键.

20.（10分）已知AA4C和△（?£）£中，CA=CB,CD=CE,ZACB=/DCE=a,AE与BD

交于点F.

（1）如图1当a=90。时,求证：AELBD；

（2）如图2,直接写出WD的度数为_180。-。_（用含a的式子表示）.

【答案】（1）证明见解答过程；

(2)180°-6z.

【考点】列代数式；全等三角形的判定与性质

【专题】图形的全等；推理能力

【分析】(1)利用角的和差关系可得NACE=NHa>,利用SAS证明A4CE=MC7),然后

根据相似三角形的性质得到NC4E=NCBD,根据三角形的内角和即可得到结论：

(2)由已知条件得到N4C£=N3C£>,推出A4c石兰MCZXSA5),根据全等三角形的性质

得至I]NC4E=NC8£>,根据三角形内角和可得NAfB=NAC3=a,根据平角定义可得

ZAFD=180°-cr.

【解答】(1)证明：ZACB=ZZX?E=90o,

/.ZACH+/BCE=ZDCE+NBCE，

BPZACE=/BCD,

在AACE•和ABC£)中，

AC=BC

/ACE=/BCD,

CE=CD

:自CE三帖CIXSAS),

NCAE=NCBD,

•/ZC4E+ZE4B+ZABC=90°,

ZCBD+ZEAB+ZABC=90°，

/.ZAra=90°,

.•.AELBD；

(2)解：ZACB=/DCE=a,

：.ZACB+NBCE=NDCE+NBCE，

即ZACE=4BCD,

在AACE和ABC。中，

AC=BC

/ACE=ZBCD,

CE=CD

:.MCE^ABCD(SAS),

:"CAE=NCBD,

NC4E+N£43+NABC=180°—a,

:.NCBD+NEAB+ZABC=180。一a,

:.ZAFB=ZACB=a，

ZAFD=\SO°-a.

故答案为：180。-。.

【点评】本题考杳了全等三角形的判定与性质：判断三隹形全等的方法有“SSS”、“SAS\

“ASA”、“A4S”、HL（直角三角形）；全等三角形的对应角相等，对应边相等.也考

查了等腰直角三角形的性质.

21.（10分）如图1,在平面直角坐标系中，点A（a,0）在％轴负半轴上，点8在），轴正半轴

上，设AB=〃，且药:-4/=0.

（1）直接写出NRAO的度数.

（2）如图2,点。为的中点，点尸为），轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ,

连接。。并延长交x轴于点M，若AB=6,求点M的坐标.

【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质

【专题】推理能力；等腰三角形与直角三角形

【分析】（I）证A8=2Q4,在x轴的正半轴上取点。，使OC=Q4,连接8C,再证A48c

是等边三角形，则可得出结论；

（2）连接用W,证明AA。。=AAPO（SAS）,得N4OQ=Z4OP=90。，再证AA8W为等边三

角形，得出。例=，4?=3,即可得出答案.

2

【解答】解：（1）•.•点A（w0）在x轴负半轴上，

二.AO=-a,av0,

•.方-4〃2=0,.♦力+%=0或6-加=0,

-AB=b,

：.b+2a=01

b=—2a,

/.A8=2OA，

在x轴的正半轴上取点C.使OC=Q4,连接BC,如图1所示:

•.,点3在y轴正半轴上，

:.OBLAC,

：.AB=BC»

乂•.•AC=2M

/.AC=AB,

：.AC=13C=A/3,

.•.AAHC是等边三角形，

一./班0=60°：

(2)连接AM,如图2所示：

AAPQ是等边三角形，

ZPA(2=60O,AQ=AP,

•/ZZM6>=60°，

/PAQ-NCMQ=NBAO-NQAQ,

/.ZOAP=ZDA(),

。为/W的中点，

/.AD=-AB,

2

•.•NABO=30°,

/.AO=-AB,

2

:.AD=AO,

在AAQO和AAH)中，

AQ=AP

<^DAQ=ZOAP,

AD=AO

.•.AAQD三AAPO(SAS),

ZADQ=ZAOP=90°,

即DQVAB,

.•・AA8”为等边三角形,

:.OM=-AB=3,

2

图2

图1

【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，轴对称

的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与

性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键.

22.（10分）如图，ABHCD.

(1)如图1,若NE=120。，ZC=110°,求/4+N户的度数；

(2)如图2,若NE=11OLZGAE=-ZBAE./GFE=L/EFC,若GDIIFC,则4G/7

33

与NGZX7的数量关系是_3NAG/+/68=220°一请写出理由.

【答案】（1）NA+N£FC的度数和为190。；

（2）3ZAGF+ZGDC=220°,理由见解答.

【考点】平行线的性质

【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力

【分析】（1）过点石作过点尸作厂G//A8,从而可得AB//EH//FG//CD,然

后利用平行线的性质可得NA=N1,N2=N3,Z4=180°-ZC,再利用角的和差关系以及

等量代换进行计算，即可解答；

（2）连接GE并延长，先利用三角形的外角性质可得Zi=ZAGE+ZEAG,

Z2=/EFG+/EGF,从而利用角的和差关系以及等量代换可得

ZAEF=（ZBAE+^EFC）+^AGF=110°,然后利用（1）的结论可得：

ZZME+ZEFC=Z4EF+180p-ZC,从而可得3（乙4"+180。一/0+/47尸=110。，进而

可得3NAG/-NC=4O°,最后利用平行线的性质可得NC=1800-NGDC,再利用等量代换

进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）过点石作£”//八4,过点尸作尸G//AA,

­.AB//CD,

：.AB//EH//FG//CD,

•/AB//EF,

/.ZA=Z1,

FG//EH,

..Z2=Z3,

­.FG//CD,

,-.Z4=180°-ZC,

­.ZAEF=120°,ZC=110°,

/.Z4+ZEFC=ZI+/3+N4

=Zl+Z2+1800-ZC

=ZAb?+18UU-ZC

=120o+180o-110°

=190。，

.•.ZA+NEFC的度数和为190。;

(2)3ZAGF+ZG/)C=220°.

理由：连接GEt并延长，

N1是AAEG的一个外角，

/.Z1=ZAGE+ZE4G,

・.N2是AE尸G的一个外角，

：q=/EFG+NEGF,

YNGAEaNBAE,NGFE'/EFC,ZAEF=110°,

33

.•.ZA£F=Z1+Z2

=ZAGE+ZEAG+ZEFG+ZEGF

=NGAE+NGFE+ZAGF

=-ZBAE+-ZEFC+ZAGF

33

=；(NBAE+ZEFO+ZAGF

=110°,

由(1)得：ZBAE+Z.EFC=ZAEF4-180°-ZC,

1(ZAEF+180°-ZC)+AAGF=110°,

1(110°+180°-/C