《电工基础》课件-第2章 电路的等效变换

第2章电路的等效变换2.1电阻的串、并、混联及其等效电阻由独立电源和线性元件构成的电路称为线性电路，如果构成线性电路的无源元件均为线性电阻，则称为线性电阻电路，简称电阻电路。当电路中的电源都是直源电源时称为直流电路。“等效”在电路理论中是一个重要的概念，本章着重介绍等效变换的概念及方法。本章介绍电路的等效变换。内容包括：电阻的串、并、混联及等效电阻；电阻的星形与三角形联结及等效变换；两种电源模型的等效变换及含受控源电路的等效变换。通过本章的学习，要求掌握等效的概念并能正确运用等效变换的方法化简和求解电路。2.1.1等效变换的概念对电路进行分析和计算时，有时需要对电路中的某一部分进行化简，即用一个较为简单的电路替代原电路，从而使问题得以简化。如在图2-1a、b两个电路中，虚线框内的部分具有相同的伏安特性，即u和i对应相等。当图2-1a中虚线框内部分被替代后，虚线框外电路任何部分的电压和电流都将维持与原电路相同，这就是电路的等效变换。电阻称为等效电阻，其值取决于被等效的原电路中各电阻的值以及其连接方式。当电路中的某一部分用等效电路替代后，未被替代部分的电压和电流均保持不变。用等效变换的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，这就是对外等效的概念，等效电路与被它替代的那部分电路显然是不同的。如图2-1a所示电路被简化后，可按图2-1b求得u和i，它们分别等于原电路中的u和i，但是如果要求出图2-1a中虚线框内各电阻的电压和电流，就必须回到原电路中，根据已求得的u和i求解。图2-1如果电路的某一部分只有两个端子与外电路相联，则这部分电路称为二端网络，也叫单口网络。一个二端元件就是一个最简单的二端网络。如图2-2a所示，方框内的字母“N”代表网络（Network）；内部含有电源的二端网络称为含源（Active）二端网络，方框内用字母“A”表示，如图2-2b所示；网络内不含有电源的，称为无源（Passive）二端网络，方框内用字母“P”表示，如图2-2c所示。图2-22.1.2电阻的串联及分压

几个电阻联成一串，中间没有分支，各电阻流过同一个电流的联结方式称为电阻的串联，如图2-3a是两个电阻串联的电路。

（2-2）（2-2）（2-3）图2-3a若有n个电阻串联，则第i个电阻Ri上的电压为图2-42.1.3电阻的并联及分流

几个电阻分别联结在相同的两点之间，各电阻的电压都相等的联结方式，称为电阻的并联。如图2-5a所示是两个电阻并联的电路。图2-5（2-4）式（2-4）表明，电阻并联其等效电阻的倒数等于并联的各电阻倒数之和。这一结论也同样适用于两个以上电阻的并联。若有n个电阻并联，则其等效电阻为可见，若干个电阻并联后的等效电阻总是小于其中阻值最小的那个电阻。当两个电阻并联时，其等效电阻为下面分析并联电阻的电流情况，在图2-5a所示的电路中从而得分流公式为2.1.4电阻的混联

。当电路中既有电阻串联又有电阻并联时，称为电阻混联电路。电阻混联在实际电路中经常出现，而且形式多样。分析混联电路的关键是找出电阻的串并联关系，一般可从以下三个方面入手分析。

1．分析电路的结构特点。若两个电阻联成一串即是串联；若两个电阻联结在相同的两点间就是并联。

2．分析电压电流关系。若流经两个电阻的是同一个电流，就是串联；若两个电阻承受的是同一个电压就是并联。

3．对电路联结变形。对电路作扭动变形，如左边的支路扭到右边，上面的支路翻到下面，弯曲的支路拉直；对电路中的短路线任意压缩或拉伸，对多点接地的点用短路线联结。

一般情况下，电阻的串并联关系都可以应用上述方法辨别出来图2-7例2-4

如图2-8a所示是一个常用的电阻分压器电路。分压器的固定端a、b接至直流电压源U。固定端b与活动端c接到负载。利用分压器上滑动触头c点的移动，可向负载RL输出0~U的可变电压。已知：直流电压源电压U=18V，活动触头c的位置使R1=600Ω，R2=400Ω，求输出电压U2。若用内阻RV=1200Ω的电压表测量此电压，求电压表的读数。图2-8可见：当电压表的内阻与被测电路的电阻相比不是足够大时，测量所得电压存在一定的误差。如果分压器输出端接有负载时，输出电压将随负载的大小而变化。一个电路不论其联结方式如何复杂，也不论其元件数目多少，只要能按电阻的串、并联逐步简化成一个无分支电路来计算，就称为简单电路，否则就称为复杂电路。以后将着重介绍复杂电路的分析方法。思考与练习题2-1-1你怎样理解等效的概念？两个二端网络满足怎样的条件才能彼此等效？2-1-2电阻串联和并联的特点是什么？2-1-3如图2-9所示电路，求出下列各量。

2-1-4电路如图2-10所示，求等效电阻。图2-9图2-102.2电阻的星形与三角形联结及等效变换

在电路分析中，对于一些简单的电阻电路，采用串、并联的方法来分析，但有时电路中的电阻既不是串联联结也不是并联联结，如图2-11所示是一种具有桥形结构的电路，它是测量中常用的电桥电路。当电桥不平衡时，等效电阻Req不能直接求得，须经过一种专门的变换，即电阻的星形联结和三角形联结之间的等效变换才能求出。2.21电阻的星形、三角形联结

1.电阻的星形联结如图2-12所示电路，三个电阻的一端联结在一起，另一端分别与外电路相联，这种联结方式称为电阻的星形联结，图2-12a电路的形状像“Y”形，叫Y形联结，图2-12b的形状像“T”形，也叫“T”形联结。2.三角形联结

如图2-13所示电路，三个电阻首尾相联，组成一个闭合回路，再从三个联结点分别引出三根线与外电路联结，这种联结方式称为电阻的三角形联结。图a形状像“Δ”形，称Δ形联结，图b形状像“Π”形，也称“Π”形联结。电阻的星形与三角形联结都是通过三个端子与外电路相联的，它们都是三端网络。在电路分析中，为了简化电路的分析与计算，需要将电阻的星形与三角形联结进行等效变换，把电路化简成电阻串、并联的简单形式。等效变换的条件是变换前后对应端子之间的电压不变，流入对应端子的电流分别相等。2.21星形与三角形联结的等效变换

如图2-14所示Y形和Δ形联结的两个电路，当外部电流I1，I2，I3对应相等，电压U12、U23、U31对应相等的条件下，可以推导出等效变换的公式（推导从略）。将Y形联结等效变换为Δ形联结时，已知R1、R2、R3求等效电阻R12、R23、R31的公式为将Δ形联结的电阻等效变换为Y形联结的电阻时，已知R12、R23、R31求等效电阻R1、R2、R3的公式为为了便于记忆，Y形联结电阻与Δ形联结电阻等效变换的公式可归纳为通式在进行电阻的Y形与Δ形联结等效变换时，应注意“等效”是对外部电路等效，变换时应找准与外界相联的三个端子，保证变换前后对应位置不变。当Y形联结的三个电阻都相等，即R1=R2=R3=RY等效成Δ形联结的三个电阻也相等，

R12=R23=R31=RΔ且有这种Y形或Δ形联结也称对称联结。

例2-5

计算图2-15a所示电路中的电流I1。解

此电路为电桥电路，因为所以电桥不平衡，不能用简单的电阻串、并联的关系求解。将接到1、2、3作三角形联结的三个电阻等效变换为星形联结，如图2-15b所示。将图2-15b化简为图2-15c的电路，则R4=1Ω+2Ω=3ΩR5=5Ω+1Ω=6Ω所以本题中也可将5Ω、4Ω、4Ω三个电阻等效成三角形联结来求解，同学们自己完成。在用Y-Δ等效变换的方法求解问题时，应先考虑一下如何变换较简捷，免得进行多次变换。练习与思考2-2-1将如图2-16所示电路由Y形联结等效成Δ形联结，或由Δ形联结等效成Y形联结。

2-2-2请将例2-5中的电阻做Y-Δ变换重新求解，并比较计算结果是否相同。2.3两种电源模型及等效变换2.3.1实际电源的两种模型实际电源有一定的内阻（如干电池），工作时其内部有损耗，其端口电压与输出电流要随着它所接负载情况的改变而改变。对于一个实际电源，可以用图2-17a所示电路来测量端电压和电流的伏安关系，由测量结果，得到如图2-17b所示的伏安关系曲线。由伏安特性曲线可以看出，实际电源的端电压在一定范围内随着输出电流的增大而逐渐减小，这一点既不同于理想电压源的伏安特性，也不同于理想电流源的伏安特性，写出实际电源伏安特性的直线方程为U=US–RSI上式也就是实际电源的数学模型，按照这个数学模型可以画出实际电源的电路模型如图2-18所示，这种模型用一个理想电压源和一个内阻RS的串联组合来表示，称为实际电源的电压源模型。如果对上式变形，则得到令，并代入上式得由上述数学模型，画出对应的电路模型如图2-19所示，用一个数值等于IS的理想电流源和内阻RS的并联组合来表示，称为实际电源的电流源模型。图2-18图2-19从实际电源的电压源模型可以看出，实际电源的输出电流越大，内阻RS上的压降越大，其输出电压U也就越低，若输出电流为零（外部开路）时，内阻RS上的压降也为零，此时端电压等于理想电压源的电压US。常见实际电源（如发电机，蓄电池等）的工作机理比较接近电压源，其电路模型是电压源与电阻的串联组合。光电池工作时的特性比较接近电流源，其电路模型是电流源与电阻的并联组合。例2-6

写出图2-20所示各段电路的Uab。解

图b图c图d图2-20

图2-20a

图2-20b

图2-20c

图2-20d2.3.2两种电源模型的等效变换一个实际电源既可以用电压源模型来等效代替，也可以用电流源模型来等效代替。两种电源模型反映的是同一个实际电源的外特性，只是表现形式不同而已。在对含有两种电源模型的电路进行分析计算时，为了方便，有时需将电压源等效变换成电流源，而有时又需要将电流源等效变换成电压源。再次强调，等效变换是对外电路而言的，即变换前后外电路的电压和电流关系不变。如图2-21所示电路，当实际电压源与实际电流源之间进行等效变换时，要保证通过负载的电流及其两端的电压不变，对负载来说，电压源供电和电流源供电效果是一样的。图2-21a有图2-21b有比较以上两式可得两种电源模型等效变换的公式为

或

等效变换仅对外电路成立，电源内部是不等效的。只有实际电源之间才可以进行等效变换。理想电压源与理想电流源之间不能进行等效变换，因为两者的伏安特性不同。变换时应注意电源的极性和方向，即电压源电压从负极到正极的方向与电流源的方向在变换前后应保持一致。两种电源模型的等效变换，可进一步理解为对含源支路的等效变换。即一个电压源与电阻的串联组合和一个电流源与电阻的并联组合之间可以进行等效变换，这个电阻不要求一定是电源的内阻。例2-7

求与图2-22a、c两电路对应的等效电源模型。在进行电源模型的等效变换时，应注意以下几个问题：图2-22解图2-22a是实际电压源模型，等效为实际电流源模型。则等效电源模型如图2-22b所示。图2-22c为实际电流源模型，等效为实际电压源模型。则等效电压源模型如图2-22d所示。2.3.3几种含源支路的等效变换电阻元件串并联时，可以用一个电阻来等效。同样，含源支路的串并联也可以进行等效化简。图2-23电压源串联图2-23a所示为两个电压源串联的电路，由KVL有也就是说，两个电压源串联，可以等效为一个电压源，其值U=US，如图2-23b所示。依此类推，若干个电压源串联的电路，等效成一个电压源，其电压值等于串联的各电压源电压的代数和。求代数和时，与等效电压源参考方向一致的，其电压取正号；相反则取负号。2．电流源并联图2-24a所示为两个电流源并联的电路，由KCL有图2-24即两个电流源并联，可以等效为一个电流源，如图2-24b所示。依此类推，若干个电流源并联的电路，等效成一个电流源，其电流值等于并联的各电流源电流的代数和。求代数和时，与等效电流源参考方向一致的，其电流取正号；相反取负号。3．电压源并联几个电压源，只有在各电压源的电压值相等的情况下才允许并联，而且要同极性相并，并联后等效为一个等值的电压源，如图2-25所示为两个等值电压源的并联电路。由于并联部分的电压相等，根据电压源的基本特点，所以电压值不相等的电压源绝对不允许并联。4．电流源串联

几个电流源，只有在各电流值相等的情况下才允许串联，且要同方向串联，串联后等效为一个等值的电流源，如图2-26所示为两个等值电流源串联的电路。同理，电流值不相等的电流源绝不允许串联。5．与电压源并联的任一元件或支路如图2-27a电路中的电流源IS，以及图2-27b中的电阻R都是与电压源US并联的，根据并联电路特点，它们对输出电压无影响。由等效的概念可知，这两种并联电路都可以用一个电压源来等效代替，等效电压源的电压仍为US。注意：等效电压源的电流，不等于等效前的电压源支路的电流，如图2-27c所示。图2-26

6．与电流源串联的任一元件或支路电路如图2-28a中的电压源US，以及图2-28b中的电阻R都是与电流源IS串联的，根据串联电路的特点，它们对输出电流均无影响。由等效的概念可知，这两种串联电路都可以用一个电流源来等效代替，等效电流源的电流仍为IS。但要注意，等效电流源两端的电压，不等于等效前电流源两端的电压，如图2-28c所示。图2-27图2-28含源电路的等效变换，首先应牢记等效的原则，然后根据电路的具体结构，灵活运用上述各种方法进行化简。下面举例说明。例2-8试求图2-29所示各电路的等效电路。图2-29解

图2-29a与10V电压源并联的是电流源，b与10V电压源并联的是电阻，对于a，b两端口而言，它们都等效为10V的电压源，如图e所示。图2-29c与2A电流源串联的是电压源，d与2A电流源串联的是电阻，对于a，b两端口而言，它们都等效为2A的电流源，如图f所示。例2-9

将图2-30a所示电路化简为电压源模型。解

图示电路整体为串联，局部为并联。应先将电流源模型等效为电压源模型，然后再进行合并化简。化简过程如图2-30b、c所示。例2-10将图2-31a所示电路化简为一个串联模型。解图示电路整体为并联，局部为串联。应先将电压源模型等效为电流源模型，然后进行化简，最后再等效变换为串联模型。化简过程如图2-31b、c、d所示。从上述分析过程看，利用电源模型的等效变换可以将一个较为复杂的电路等效为比较简单的电路，从而简化计算过程。但要注意的是，待求量所在的支路在化简过程中要保留，不能参与变换。解本题结构较复杂，我们从左向右逐步化简，等效变换的过程如图2-31b～f，最后将a，b端左侧的电路化简为电流源模型。利用分流公式得例2-11利用电源模型的等效变换，求图2-32a电路所示的电流I。图2-32思考与练习2-3-1理想电压源与理想电流源能否彼此等效？为什么？2-3-2某电源的开路电压UOC＝12V，短路电流ISC＝2A，求该电源的电压源模型。2-3-3化简图2-33所示各含源网络。图2-332.4受控源及含受控源电路的等效变换2.4.1受控源前面介绍的电压源和电流源，其电压或电流不受所联结的外电路的影响而独立存在，所以称为独立源。独立源常作为激励对电路起作用，在它们的作用下，电路才产生响应。在电子电路中，为了描述一些电子器件的实际性能，在电路模型中常遇到另一类电源――受控源。所谓受控源，就是它们的电压或电流受电路中其它部分的电压或电流控制的电源。当作为控制量的电压或电流消失或等于零时，受控源的电压或电流也将消失或等于零；当作为控制量的电压或电流增大、减小或改变极性时，受控源的电压或电流也将跟着增大、减小或改变极性，即受控源的电压或电流不是独立存在的，所以受控源又称为非独立电源。大家熟悉的晶体管三极管的集电极电流受基极电流控制的现象可以用受控源模型来描述。

受控源有两对端子，一对是控制端，也叫输入端；另一对是受控端，也叫输出端。输入端是控制量所在的支路，称为控制支路，输出端是受控源所在的支路。受控源有四种类型，分别是电压控制电压源（VoltageControlledVoltageSource，简称VCVS）、电流控制电压源（CurrentControlledVoltageSource，简称CCVS）、电流控制电流源（CurrentControlledCurrentSource，简称CCCS）、电压控制电流源（VoltageControlledCurrentSource，简称VCCS），这四种受控源的电路模型如图2-34所示。图2-34特别指出，受控源与独立源在电路中的作用有着本质的区别。受控源在电路中不是激励，不是真正意义上的电源，只是用来反映电路中某处的电压或电流可以控制另一处的电压或电流这一现象。而独立源作为电路的输入，代表着外界对电路的激励作用，是电路中产生响应的“源泉”。2.4.2含受控源电路的等效变换运用等效的概念同样可以解决一些含受控源电路的分析问题。受控源和独立源一样也可以进行电压源模型与电流源模型的等效变换。但受控源有两条支路，一般来说，作等效变换处理时，要保留控制量所在的支路不变，目的在于保留控制量。下面通过例题，具体介绍含受控源电路的等效变换及化简。例2-12

电路如图2-35所示，已知U＝4.9V，求US。图2-35解

把受控电流源与独立电流源一样看待，即受控电流源所在支路的电流为0.98I，由欧姆定律，5Ω电阻的电压为所以由KVL得例2-13