正式2025年1月广东省学业水平考试数学试题

2025年1月广东省学业水平考试数学试题满分100分一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分）1.已知集合M={0,2,4},N={1,2,3},P={0,3},则=（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}2.函数的定义域是（）A.B.C.D.3.设i为虚数单位,则复数=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i4.命题甲：球的半径为1cm，命题乙:球的体积为cm3，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线l过点A(1,2),且与直线垂直,则直线l的方程是（）A.y=2xB.y=-2x+4C.D.6.顶点在原点，准线为x=2的抛物线的标准方程是（）A.B.C.D.7.已知三点A(-3,3),B(0,1),C(1,0),则|QUOTE+QUOTE|=（）A.5B.4C.D.8.已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P,下列等式不正确的是A.B.C.D.9.下列等式恒成立的是（）A.()B.C.D.10.已知数列满足,且,则的前n项之和=（）A.B.C.D.11.已知实数x,y,z满足,则z=2x+y的最大值为（）A.3B.5C12.已知点A(-1,8)和B(5,2),则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.B.C.D.13.下列不等式一定成立的是（）A.()B.()C.()D.()14.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当时,,则当时,（）A.B.C.D.15.已知样本的平均数为4,方差为3,则的平均数和方差分别为（）A.4和3B.4和9C.10和3D.10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x>0,且成等比数列,则x=17.函数的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点,若|PF1|+|PF2|=4，则椭圆的标准方程是三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)证明:为等腰三角形;(2)若a=2,c=3,求sinC的值.PBCDAE21.如图,在四棱锥P-ABCD中,,,,,PA=AB=BC=2.E是PC的中点.PBCDAE(1)证明:;(2)求三棱锥P-ABC的体积;(3)证明:

2025年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0,∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=QUOTEπr3可得体积为QUOTEπcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.6.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x轴上,且-QUOTE=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】QUOTE=(3,-2),QUOTE=(1,-1),QUOTE+QUOTE=(4,-3),∴|QUOTE+QUOTE|=QUOTE=5.8.D【解析】r=QUOTE=QUOTE=3,sinα=QUOTE,cosα=QUOTE,tanα=QUOTE∴A,B,C正确,D错误,tanα=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.9.D【解析】A.QUOTE=QUOTE(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{an}为公差为2的等差数列,由Sn=na1+QUOTEd=n+QUOTE·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(QUOTE,QUOTE)=(2,5)半径r=QUOTE=QUOTE=3QUOTE所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0;B选项:x2+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE=2QUOTE≥1,其中QUOTE≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sinx.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】QUOTE,x,15成等比数列,∴x2=QUOTE×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sinxcos(x+1)+cosxsin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2x+1)最小正周期T=QUOTE=QUOTE=π.18.QUOTE【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数:1234选取个位数:234134124123结果:121314212324313234414243总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为QUOTE=QUOTE.19.QUOTE+QUOTE=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)离心率:e=QUOTE=QUOTE长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b=QUOTE=QUOTE=QUOTE∴椭圆标准方程为QUOTE+QUOTE=1.三、解答题20.(1)证明:∵QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE∴QUOTE=QUOTE,即tanA=tanB,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC9=4+4-8cosC,∴cosC=QUOTE∵C∈(0,π),∴sinC>0∴sinC=QUOTE=QUOTE.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴VP-ABC=QUOTES△ABC·AP=QUOTE×QUOTEAB·BC·sin∠ABC·AP=QUOTE×QUOTE×2×2×sin