18.5.1分式方程及其解法课件人教版八年级数学上册

18.5.1分式方程及其解法第十八章

分式【2025新教材】人教版数学

八年级上册

授课教师：********班级：********时间：********18.5.1分式方程及其解法一、教学目标理解分式方程的定义，能准确识别分式方程与整式方程，掌握分式方程的一般形式，明确分式方程中分母含有未知数这一关键特征。熟练掌握分式方程的解法，包括去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程以及检验根的有效性，理解增根产生的原因和检验根的必要性，能够正确求解各种类型的分式方程。通过解决实际问题中的分式方程，培养数学建模能力和应用意识，体会数学知识在实际生活中的广泛应用，增强分析问题和解决问题的能力，同时培养严谨的数学思维和认真细致的学习态度。二、知识回顾整式方程的概念与解法：回顾整式方程的定义，如一元一次方程\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)）、一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）等，它们的分母中不含有未知数。复习一元一次方程的解法步骤：去分母（若有分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为\(1\)，为对比学习分式方程的解法做铺垫。分式的基本性质与运算：简单回顾分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于\(0\)的整式，分式的值不变；以及分式的加减乘除运算法则，如同分母分式加减、异分母分式通分、分式乘除的计算方法等，这些知识在分式方程的求解过程中会经常用到。三、分式方程的概念实际问题引入：问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为\(30km/h\)，它以最大航速沿江顺流航行\(90km\)所用时间，与以最大航速逆流航行\(60km\)所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为\(xkm/h\)，根据时间=路程

÷

速度，可得到顺流航行时间为\(\frac{90}{30+x}\)，逆流航行时间为\(\frac{60}{30-x}\)，因为两者时间相等，所以列出方程\(\frac{90}{30+x}=\frac{60}{30-x}\)。问题2：甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做\(6\)个，甲做\(90\)个零件所用的时间和乙做\(60\)个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？设乙每小时做\(x\)个零件，则甲每小时做\((x+6)\)个零件，根据时间相等可列方程\(\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}\)。定义得出：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程。上述两个方程\(\frac{90}{30+x}=\frac{60}{30-x}\)和\(\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}\)都属于分式方程，其特点是分母中含有未知数。四、分式方程的解法基本思路：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体方法是通过去分母，在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，消除分母，将其转化为熟悉的整式方程进行求解

。求解步骤：去分母：找出分式方程中各分母的最简公分母，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。例如对于方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)，分母\(x-1\)和\(x\)的最简公分母是\(x(x-1)\)，方程两边同时乘以\(x(x-1)\)得到\(x=2(x-1)\)。解整式方程：按照整式方程的解法，如去括号、移项、合并同类项、系数化为\(1\)等步骤求解整式方程。对于\(x=2(x-1)\)，去括号得\(x=2x-2\)，移项得\(2x-x=2\)，解得\(x=2\)。检验根的有效性：将求得的整式方程的根代入原分式方程的分母中进行检验。若分母不为\(0\)，则该根是原分式方程的根；若分母为\(0\)，则该根是增根，原分式方程无解。把\(x=2\)代入原方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)的分母\(x-1=2-1=1\neq0\)，\(x=2\neq0\)，所以\(x=2\)是原分式方程的根。增根产生的原因：在去分母的过程中，方程两边同时乘以的最简公分母是一个含有未知数的式子，当这个式子的值为\(0\)时，就会产生增根。因为此时去分母的操作不符合等式的基本性质（等式两边不能同时乘以\(0\)），导致整式方程的解可能不是原分式方程的解

。五、典型例题精讲例1解方程\(\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}\)分析：先确定最简公分母为\(x(x-2)\)，然后方程两边同乘最简公分母化为整式方程，再求解并检验。解答：方程两边同时乘以\(x(x-2)\)得：\(3x=2(x-2)\)去括号：\(3x=2x-4\)移项：\(3x-2x=-4\)解得：\(x=-4\)检验：当\(x=-4\)时，\(x(x-2)=-4×(-4-2)=24\neq0\)所以\(x=-4\)是原分式方程的根。例2解方程\(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}\)分析：先对分母\(x^2-1\)因式分解为\((x+1)(x-1)\)，则最简公分母是\((x+1)(x-1)\)，去分母化为整式方程求解，最后检验。解答：方程两边同时乘以\((x+1)(x-1)\)得：\((x-1)+2(x+1)=4\)去括号：\(x-1+2x+2=4\)移项、合并同类项：\(3x=3\)解得：\(x=1\)检验：当\(x=1\)时，\((x+1)(x-1)=(1+1)×(1-1)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程无解。例3解方程\(\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)分析：最简公分母为\((x-1)(x+2)\)，去分母后求解整式方程并检验。解答：方程两边同时乘以\((x-1)(x+2)\)得：\(x(x+2)-(x-1)(x+2)=3\)去括号：\(x^2+2x-(x^2+2x-x-2)=3\)\(x^2+2x-x^2-x+2=3\)移项、合并同类项：\(x=1\)检验：当\(x=1\)时，\((x-1)(x+2)=(1-1)×(1+2)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程无解。六、课堂练习基础练习：解方程\(\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}\)，答案：\(x=2\)。解方程\(\frac{1}{x-3}=\frac{2}{x}\)，答案：\(x=6\)。解方程\(\frac{3}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{6}{x^2-4}\)，答案：无解（\(x=2\)是增根）。提高练习：解方程\(\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}=1\)，答案：无解（\(x=2\)是增根）。解方程\(\frac{2x}{x-2}=1-\frac{1}{2-x}\)，答案：\(x=-1\)。拓展练习：若关于\(x\)的分式方程\(\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}\)有增根，求\(m\)的值。（答案：\(m=-4\)或\(m=6\)）已知关于\(x\)的分式方程\(\frac{a}{x-1}+\frac{1}{1-x}=1\)的解为正数，求\(a\)的取值范围。（答案：\(a>2\)且\(a\neq3\)）七、易错点总结与规避去分母错误：在找最简公分母时出错，没有准确对分母进行因式分解或遗漏某些因式；或者在方程两边乘以最简公分母时，出现漏乘某些项的情况。找最简公分母时要仔细对分母进行分析，去分母过程中可以将各项依次乘以最简公分母，避免漏乘。解整式方程出错：在解整式方程的过程中，如去括号、移项、合并同类项、系数化为\(1\)等步骤出现计算错误。每一步计算都要认真仔细，做完后可以进行简单的验算。忽略检验：忘记对求得的根进行检验，导致把增根当成原分式方程的根。解分式方程时，检验是必不可少的步骤，要养成检验的习惯，将根代入原方程分母逐一检查。增根分析错误：不能正确分析增根产生的原因，在已知增根求参数值时出现错误。要理解增根是使分母为\(0\)的值，将增根代入去分母后的整式方程中，求解参数。八、课堂小结概念总结：明确分式方程的定义，区分分式方程与整式方程的关键在于分母是否含有未知数。解法要点：掌握解分式方程的步骤，即去分母化为整式方程、解整式方程、检验根的有效性，牢记增根产生的原因和检验的必要性。应用价值：分式方程在解决实际问题中有着广泛应用，通过建立分式方程模型，可以解决行程、工程、生产等领域的实际问题，体会数学与生活的紧密联系。九、课后作业完成教材课后相关习题，巩固分式方程的解法和检验方法。拓展作业：某车间加工\(1200\)个零件后，采用了新工艺，工效是原来的\(1.5\)倍，这样加工同样多的零件就少用\(10h\)。采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？（列分式方程求解）阅读相关数学资料，了解分式方程在其他学科领域（如物理、化学等）的应用实例，并整理成一篇小文章，阐述分式方程在这些应用中的作用和意义。这份课件围绕分式方程及其解法展开，全面覆盖知识要点与应用。若你觉得例题难度、练习数量需调整，或想补充其他内容，欢迎随时告诉我，我会进一步优化。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解学习目标理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.情境导入一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？等量关系v顺流

=v静水

+

v水流v逆流

=v静水

–

v水流如果设江水的流速为

vkm/h：速度(km/h)路程(km)时间(h)等量关系式顺流逆流30+v30–

v9060仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？知识点1分式方程的概念探究新知分母中含未知数的方程叫作分式方程.这些方程有什么共同特征？*我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.（1）是方程——含有未知数的等式；（2）是分式——分母中含有未知数.提炼分式方程必须满足的条件：练习下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________(填序号).②⑤⑦①④知识点2分式方程的解法如何解方程？思考（1）如何把它转化为整式方程？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？（4）这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？整式方程转化各个分母的最简公分母等式的性质2去分母方程两边同乘各分母的最简公分母：(30+v)(30–v)得解得

v=6检验：将

v=6代入原方程中，左边=2.5=右边，因此v=6是原方程的解.90(30–v)=60(30+v)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.结小纳归练习解下列方程：【教材P166练习第(1)(2)题】最简公分母：x(x–2)解：去分母，得解得

x=–5检验：将

x=–5代入原方程中，左边=–1=右边，因此x=–5

是原方程的解.5(x–2)=7x最简公分母：(x+3)(x–1)解：去分母，得解得

x=5检验：将

x=5代入原方程中，左边=0.25=右边，因此x=5

是原方程的解.2(x–1)=x+3解：在方程两边乘最简公分母_____________，去分母，得x+5=10解得x=5(x–5)(x+5)x=5是①的解吗？检验：将x=5代入①，分母x–5和x2–25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽然是整式方程②的解，但不是分式方程①的解.此分式方程无解.运用“去分母化为整式方程”的方法解方程探究①②比较解上面两个分式方程的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？思考最简公分母解结论(x–5)(x+5)(30+v)(30–v)x=5v=6所得整式方程的解不是②的解所得整式方程的解与①的解相同回代结果≠0回代结果=0x=5是分式方程的增根一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验:归纳将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.解：方程两边乘x(x–3)，得2x=3x–9解得

x=9检验：当x=9时，x(x–3)≠0，所以，原分式方程的解为x=9.例1

解方程例2

解方程解：方程两边乘(x–1)(x+2)，得x(x+2)–(x–1)(x+2)=3解得

x=1检验：当x=1时，(x–1)(x+2)=0所以，原分式方程无解.因此，x=1不是原分式方程的解.分式方程去分母整式方程解整式方程x=m检验x=m

是分式方程的解归纳x=m

不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0目标解分式方程的一般过程：练习解下列方程：【教材P166练习第(3)~(6)题】解：方程两边乘2x(x+3)，得x+3=4x解得

x=1检验：当x=1时，

2x(x+3)≠0，所以，原分式方程的解为x=1.解：方程两边乘3(x+1)，得3x=2x+3x+3解得

x=检验：当x=时，

3(x+1)≠0，所以，原分式方程的解为x=.解：方程两边乘(x–1)(x+1)，得2(x+1)=4解得

x=1检验：当x=1时，

(x–1)(x+1)=

0，所以，原分式方程无解.解：方程两边乘x(x–1)(x+1)，得5(x–1)–(x+1)=0解得

x=检验：当x=时，

x(x–1)(x+1)≠0，所以，原分式方程的解为x=.随堂练习1.定义一种新的运算，对于任意的非零实数x，y，若x@(x–1)=1，则x=____.解析：解得：检验：当时，x(x–1)≠0.2.已知关于x的方程的解为负数，则a

的取值范围是_____________.解析：方程两边乘x(x+1)，得x+1+x

=x+a