第14讲用一次函数解决问题一次函数与二元一次方程

思维导图第14讲用一次函数解决问题一次函数与二元一次方程思维导图一、利用一次函数解决代数型实际问题这类问题主要是利用一次函数的模型。问题中往往并没有明确告知函数类型或一次函数图像，因此需要根据实际问题从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的性质求解。同时要注意自变量的取值范围，使实际问题有意义。二、利用一次函数图像解决图像型实际问题这类问题通常涉及到一次函数的图像，需要根据图像信息来求解问题。例如，可以通过观察图像来确定一次函数的增减性，进而求解最大值或最小值问题。同时，也可以利用图像来比较不同函数值的大小，解决优化问题等。三、建立一次函数模型解决实际问题的步骤1、审题：仔细审题，理解题意。2、找关系：找出实际问题中的变量和常量，明确它们的关系。3、列表达式：建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围。4、求解：根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，即解方程的过程。5、检验：检验结果，得出符合实际的结论。四、一次函数模型的应用方法1、函数应用题通常是以贴近现实生活的话题为背景，运用函数知识来解决的一类问题。这类问题要求能依据问题的特点建立函数模型，收集信息，并加以解决。2、方案的选取是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目。其实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题。3、在求函数的最值时，应先求出函数的表达式，并确定其增减性，再根据题目条件确定出自变量的取值范围，然后结合增减性确定出最大值或最小值。这在实际问题中非常有用，如利润最大、成本最小等问题。一、一次函数与二元一次方程的关系：一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kxy+b=0的解；以二元一次方程kxy+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上。二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量。二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量的关系。二元一次方程的解要用“{”写起来，一次函数图像上的点用坐标表示。二、一次函数与二元一次方程组的联系：一般地，如果两个一次函数图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图像的交点。用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法。三、图像法求二元一次方程组解的一般步骤：变函数：把方程组化为一次函数。画图像：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图像。找交点：由图像确定两直线交点的坐标。写结论：依据点的坐标写出方程组的解。教材习题01某学校拟定购买A，B两种型号机器人模型共40台，A型号机器人模型原单价为250元，B型号机器人模型原单价为150元，商家给两种型号机器人模型均打八折优惠．设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元．(1)求与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）．(2)若B型号机器人模型数量不超过A型号机器人模型的3倍，请问购买A型号和B型号机器人模型各多少台时，总费用最少？并求出最少的总费用．（1）解：设购买了台A型号机器人模型，购买总费用为元，∴随的增大而增大．答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是5600元．教材习题02请你根据图中信息，解答下列问题：(1)求图中段y与x之间的函数关系式；教材习题03(1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；描点画出图象如下∶综上所述，t的值为或3．教材习题04(1)求b的值；考点一、把二元一次方程写成一次函数的形式【答案】D【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．通过移项，等式两边同时除以2，即可求解．故选：D．【答案】C故选：C．【答案】D【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把y看做已知，求出x即可．故选：D．考点二、两直线的交点问题【答案】B∴交点坐标为，故选：B(1)求点M的坐标；(2)2【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．（2）解：连接，如图所示：．（3）解：连接，，如图所示：考点三、图像法解二元一次方程组【答案】B【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（4，2），故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【分析】由图像可知交点的坐标就是方程组的解．【点睛】本题考查利用一次函数的交点解二元一次方程组．理解方程组的解与函数图像交点之间的关系是解决问题的关键．(1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象；【答案】(1)画图见解析；【分析】（）根据画函数图象的步骤即可求解；（）根据图象即可求出方程组的解；本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）解：列表：如图，考点四、一次函数的解决问题——利润问题1．五月的昆明沉浸在一片紫色的花海中，众多游客乘坐“蓝花楹专列”欣赏美景，拍照打卡．某文创销售店看准商机，推出“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”两种文创产品．已知销售店老板购进2个“蓝花楹棉布袋”和4个“蓝花楹笔记本”一共需要100元；购进3个“蓝花楹棉布袋”和2个“蓝花楹笔记本”一共需要90元．(1)分别求每个“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”的进货价格；(2)该销售店计划购进两种文创产品共100个，且“蓝花楹棉布袋”的数量不超过“蓝花楹笔记本”数量的一半．若每个“蓝花楹棉布袋”的售价为40元，每个“蓝花楹笔记本”的售价为30元，则购进多少个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为元，每个“蓝花楹笔记本“的进货价格元(2)购进个“蓝花楹棉布袋时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为元【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：设每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为x元，每个“蓝花楹笔记本的进货价格为y元．答：每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为20元，每个“蓝花楹笔记本”的进货价格15元．∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数．答：当购进33个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为1665元．2．为丰富同学们的体育锻炼活动，我校准备新进一批移动羽毛球网和羽毛球拍，若购进5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元．(1)请分别求出移动羽毛球网和羽毛球拍的单价．(2)若购进移动羽毛球网和羽毛球拍的数量之和为50，且羽毛球拍的数量不大于移动羽毛球网数量的3倍，购买总金额低于7280元，请问共有哪几种购买方案，哪种购买方案费用最低，最低费用为多少？【答案】(1)移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元(2)共有三种购买方案，分别是：（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040【分析】（1）设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元，根据“5个移动羽毛球网和10副羽毛球拍需2200元，若购进4个移动羽毛球网和15副羽毛球拍需2600元”列二元一次方程组解答即可；【详解】（1）解：设移动羽毛球网的单价是元，羽毛球拍的单价是元．答：移动羽毛球网的单价是200元，羽毛球拍的单价是120元．为非负整数，共有三种购买方案，分别是：（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副，（方案二）购买移动羽毛球网14个、羽毛球拍36副，（方案三）购买移动羽毛球网15个、羽毛球拍35副；∴W随m的减小而减小，∴（方案一）购买移动羽毛球网13个、羽毛球拍37副费用最低，最低费用为7040元．3．每年五月的第二个星期天是母亲节，为弘扬孝亲美德，厚植感恩情怀，昆明某学校准备采购康乃馨和萱草花，用于举办“浓情五月·致敬母爱”主题教育活动，经调查，购进康乃馨的总费用y元与购进康乃馨数量x之间的函数关系如图所示．(2)现学校准备购进康乃馨和萱草花两种鲜花共150束，已知萱草花每束22元，若购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，购进两种鲜花的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买康乃馨和萱草花两种鲜花才能使总费用最少？总费用最少为多少元？(2)当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元随的增大而减小，当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，求一次函数解析式，解题的关键是关键是根据题意列出函数解析式．考点五、一次函数的解决问题——行程问题1．小绍和小兴相约去礼品店选择母亲节礼物．小绍从甲小区骑摩托车出发．同时，小兴从乙小区开车出发，途中他去鲜花店购买鲜花后，按原来的速度继续去礼品店．已知甲、乙小区，鲜花店和礼品店之间的路程如图1所示．他们离甲小区的路程（）关于时间（）的函数图象如图2所示．(2)求线段所在直线的函数表达式；(3)求两人在鲜花店至礼品店的路上相遇的时间及此时离礼品店的距离．【答案】(1)【分析】本题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键；（1）根据函数图象，利用路程除以时间，即可求解；故答案为：．(1)A、C两地的距离为___________km，甲车行驶速度为___________km/h，乙车行驶速度为___________km/h；(2)求图中线段所在直线的函数解析式；(3)直接写出乙车出发多少小时，乙车与地的距离是甲车与地距离的2倍．【答案】(1)；；(3)小时或小时【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数应用以及一元一次方程的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键．（3）设乙车出发小时，分甲车到达B地前和甲车到达B地后两种情况，分别列方程求解即可．∵乙车比甲车早小时到达目的地，故答案为：420；100；60；（3）设乙车出发小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍，∴乙车出发小时或小时，乙车与B地的距离是甲车与B地距离的2倍．(1)求出乙车的速度．(3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量．(2)甲车行驶了【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．（1）根据速度路程时间计算即可；（3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，从而得出结论即可．乙车先到达地，答：甲车行驶了；考点六、一次函数的解决问题——方案问题1．为美化校园，学校准备购买A，B两种树苗．已知购买4棵A树苗和2棵B树苗需要52元；购买6棵A树苗和4棵B树苗需要88元．(1)求这两种树苗的单价；(2)购买时有两种方案：方案一：购买A树苗超过50棵时，超过的部分按原价的八折付款，B树苗没有优惠；方案二：两种树苗都按原价的九折付款．学校决定购买x（x＞50）棵A树苗和40棵B树苗．①求两种方案的费用y（元）与x（棵数）之间的函数关系式；②哪种方案更合算呢？【答案】(1)A种树苗每棵8元，B种树苗每棵10元【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，正确列出二元一次方程组成为解答本题的关键．（1）设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，根据“购买4棵A树苗和2棵B树苗需要52元；购买6棵A树苗和4棵B树苗需要88元”列二元一次方程组解答即可；（2）①根据方案一和方案二分别列出费用（元）与（棵树）之间的函数关系式即可；②分三种情况比较两种方案进行解答即可．【详解】（1）解：设A种树苗每棵a元，B种树苗每棵b元，答：A种树苗每棵8元，B种树苗每棵10元；（2）解：①设按方案一购买的费用为元，按方案二购买的费用为元．2．某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资(元)关于生产数量(个)的函数图象，(2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；(3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？(3)这位员工生产了30或170个零件【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，根据题意求出函数解析式是解题的关键．（1）运用待定系数法求解即可；（2）根据图象先求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解；每超过一个加计4元，综上所述：这位员工生产了30或170个零件3．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节前夕，某单位准备购买一批粽子礼盒作为福利，了解到有A、B两家超市可供选择，此款礼盒在A、B两家超市售价均为200元/盒，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案：A超市：打8折出售；B超市：100盒以内（含100盒）不打折，超过100盒后，超过的部分打7折．该单位计划购买这款粽子礼盒x盒，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元．(1)分别求出，与x之间的函数关系式；(2)若该单位准备购买200盒这款粽子礼盒，且只在其中一个超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(2)在A超市购买更划算【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式是本题的关键．（1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于100盒和大于100盒两种情况表示出关于x的函数关系式；∴该单位在A超市购买更划算．考点七、一次函数的解决问题——几何动点问题(1)求点C坐标；【分析】本题主要考查了二元一次方程组、三角形的面积、动点问题等知识点，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键．（1）直接解方程组求得a、b的值即可解答；∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，∵点P从点D沿x轴正方向每秒2个单位长度的速度运动，∵动点Q从O点出发沿y轴正方向，以每秒个单位长度的速度向终点B运动，(1)求和的值；点的坐标为_____，点的坐标为_____；【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．利用面积公式列出方程进行求解即可；分三种情况：【答案】(1)12【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的应用，∴点P运动的路程为，∵当点P运动到点D时，S最大（2）∵当点P运动到点D时，S最大考点八、一次函数中的特殊三角形(1)求点B和点C的坐标；(2)求直线的函数表达式；（2）根据待定系数法可求得直线的函数表达式；（3）解：存在，则点与点重合，【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质．分类讨论是解题的关键．(1)求正比例函数与一次函数的解析式；【分析】（1）由待定系数法即可求解；【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算等，分类求解是解题的关键．(1)求的值；【答案】(1)(2)∴的值为；此时点与点重合，【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．知识导图记忆【答案】C故选：C．【答案】A故选：A．A． B． C． D．【答案】D，故选：D．【答案】C故选：C．5．小明用相同的酒精灯分别给相同质量的煤油和水加热，它们的温度随着加热时间的变化情况如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．加热前煤油比水的温度高【答案】D【详解】解：由题图可知，加热前，煤油和水的温度是一样的，故A选项错误；故选：D．【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解图示中交点的含义是解题的关键．根据两直线交点的横坐标可得两直线交点坐标，由此即可得到二元一次方程组的解．7．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：．【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，【答案】38故答案为：38．【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．∴在第或秒时，号和号无人机飞行高度差为米.(1)求一次函数表达式；(2)求点的坐标；(3)（3）由一次函数解析式求出点的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；（4）根据两直线的交点即为方程组的解，即可求解．【点睛】本题主要考查两直线的交点问题，掌握待定系数法求解析式，两直线与坐标轴围成图形的面积计算方法，两直线交点坐标与方程组的解的关系等知识是解题的关键．(1)求该车y