专题14有理数的运算技巧

专题14.有理数的运算技巧预习目标……………………………..1题型探究……………………………..2TOC\o"13"\h\z\u题型1、凑整法 2题型2、拆项法 4题型3、分组法 6题型4、裂项相消法 8题型5、相互转化法 11题型6、倒数法 13题型7、错位相减法 16题型8、利用运算律进行简算 20题型9、利用图形进行简算 22基础通关 25拓展提优 32在有理数的运算中，若能根据题目的特征，采用适当的运算技巧，不但能化繁为简，提高运算速度，提升运算的准确率，而且会使计算过程充满乐趣。本专题重点介绍几种有理数常用的运算技巧。题型1、凑整法【解题技巧】凑整法是数学运算中通过调整数字组合使其接近整十、整百等易计算的数值，从而简化运算过程的技巧。核心思想‌：通过拆分、重组或调整运算顺序，使复杂的非整数值转化为整十、整百等便于计算的整数，从而提升运算效率和准确性。1.‌加减法凑整（中学阶段主要运用分组凑整）‌1）‌拆补凑整‌：调整某个加数使其接近整数，再通过补数修正结果。‌例‌：175+299=175+（3001）=474。2）‌借数凑整‌：通过借数调整被减数或减数。‌例‌：998+397+506=(998+2)+(397+3)+(5066)=1901。3）‌分组凑整‌：将能组合为整数的数分组计算。‌例‌：108063.5836.42=1080(63.58+36.42)=980。2.‌乘法凑整‌1）‌分解因数‌：利用乘法交换律、结合律拆分因数。‌例‌：125×25×32=(125×8)×(25×4)=1000×100=。2）‌提取公因数（乘法分配律的逆用）‌：适用于有相同因数的相关运算。‌例‌：99878×99+99878×99998×99878=99878×(99+99998)=99878×1000。例1．（2425七年级上·河北邢台·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（

）A．甲、乙都正确B．甲、乙都不正确C．只有甲正确D．只有乙正确【答案】A例2．（2425七年级上·辽宁锦州·期中）用简便方法计算【答案】（1）；（2）7.5【答案】4；；【答案】（1）；（2）变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算：题型2、拆项法【解题技巧】拆项法是一种将带分数或复杂分数表达式拆分为整数和真分数（或更简单的分数组合）进行计算的方法。‌分组优化‌：利用加法结合律、乘法分配律等数学规则重组运算顺序。上面这种方法叫拆项法．仿照上面的方法，请你计算：【答案】(1)(2)变式1.（2425七年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下面文字：______．上面这种方法叫拆项法．，变式2.（2324七年级上·安徽合肥·期中）阅读下题的计算方法题型3、分组法【解题技巧】观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。基本运算中的分组策略1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。‌示例‌：计算

10099+9897+…+21

分析：每两个相邻数为一组：(10099)+(9897)+…+(21)；每组结果为

1，共

50

组，总和为

50。2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。例1.（2425七年级·浙江·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2021+2022A．0 B．﹣1 C．2024 D．2024【答案】D【详解】解：1+234+5+678+9+101112+……+2021+202220232024=（1+234）+（5+678）+（9+101112）+……+（2021+202220232024）=（4）+（4）+（4）+（4）+……+（4）=（4）×506＝2024．故选D.【详解】将算式中的整数与整数相加，分数与分数相加，分母裂项进行相加：变式1.（2324七年级·重庆·期末）1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+20【答案】0【详解】原式＝1−3−5+7+变式2.（2324七年级·浙江·阶段练习）计算：202【答案】1012【详解】2026−2023+2020−2017+2014−2011……+16−13+10−7+4−1=每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式=3×338【答案】5055；＝5050＋5＝5055题型4、裂项相消法【解题技巧】‌裂项相消法‌是将分数表达式拆分为若干项的差值或和差形式，使得相邻项在求和时发生抵消，从而快速简化计算的策略。裂项相消法的核心是通过巧妙的代数变形，将复杂求和转化为简单抵消。掌握常见裂项公式和系数调整技巧，可快速解决分式、数列求和等问题，尤其在竞赛和考试中能大幅提升效率。裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值。裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。例1．（2425七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察下列等式：（）直接写出下列各式的计算结果：＝变式2.（2324七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下列材料：这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：【答案】【答案】；题型5、相互转化法【解题技巧】相互转化法通过形式（分数、小数、百分数）统一、结构优化和单位整合，大幅提升计算效率。重点在于灵活选择转化路径，并熟练运用运算定律（如分配律、结合律）进行简化。例1.（2425七年级·福建厦门·阶段练习）用简便方法计算：【答案】(1)(2)；变式1．（2425七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）计算（能简算的要简算）【答案】(1)(2)3(3)(4)80(5)2(6)；；；【答案】(1)；(2)题型6、倒数法【解题技巧】倒数法通过取倒数或表达式的倒数，将复杂运算转化为更易处理的形式。倒数法通过逆向转化运算逻辑，显著提升分数运算、方程求解及复杂问题的处理效率。重点在于灵活转化运算形式（如除法→乘法、分母→分子），并结合分配律、方程变形等技巧综合应用。例1.（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读材料，回答问题．故原式．；解法三：原式的倒数为(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法___________是错误的（填序号）【详解】（1）解：根据有理数的四则混合运算法则知，解法①是错误的．故答案为：①；（2）解：在正确的解法中，解法③比较简便．故答案为：③；(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析(2)【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，∴更喜欢张明的解法；(1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据上述分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析(3)另一部分的结果为【解析】解：∵乘积为1的两个数互为倒数∴先计算后面部分比较方便题型7、错位相减法【解题技巧】错位相减法通过构造等比数列的和式与其公比倍数的错位式，利用‌中间项相消的特性简化求和过程，最终导出等比数列前n项和的表达式。通过错位相减法，可直观理解等比数列求和的数学本质，并确保公式推导的逻辑严密性。实际应用中，直接套用闭合公式可高效解题，但推导过程需熟练掌握。例1．（2025·安徽·一模）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传•系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”．这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载．【问题提出】求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，a2=2，公比为q=2．根据以上材料，解答下列问题：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为_____，第5项是_____．【公式推导】如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…(2)由此，请你填空完成等比数列的通项公式：an=a1•(_____)．【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：设S=1+2+22+…+22019+22020①，则2S=2+22+…+22020+22021②，②①得2SS=S=220211，∴S=1+2+22+…+22019+22020=220211．【解决问题】(3)请仿照小明的方法求等比数列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整数，请写出计算过程)．【拓展应用】(4)计算25+252+253+…+25n的值为_____．(直接写出结果)【详解】解：(1)等比数列3，9，27，…的公比q为3，第四项为27×3=81，第五项为81×3=243，故答案为：3，243．(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3an=a1.qnan1．故答案为：qn1．(3)设S=1+a1+a2+a3+…+an①，则aS=a1+a2+a3+…+an+1②，(4)设S=25+252+253+…+25n，∴25S=252+253+…+25n+1，通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题：

新方法生成：结合图形可得：变式2．（2425七年级上·广东深圳·期中）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题(1)请按照“聪慧组”同学的思路填空(2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．题型8、利用运算律进行简算运算律法：‌变运用运算律改变运算顺序；通过改变运算顺序，简化计算步骤。‌逆正难则反，逆用运算律改变次序‌：通过逆用运算律，解决复杂问题。例1．（2425七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法）【答案】(1)(2)(3)(4)；．题型9、利用图形进行简算【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。∴可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积，【答案】【答案】1.（2324七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020值为（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．2020【答案】D【详解】解：1+234+5+678+9+101112+……+2017+201820192020=（1+234）+（5+678）+（9+101112）+……+（2017+201820192020）=（4）+（4）+（4）+（4）+……+（4）=（4）×505＝2020．故选D.【答案】B上面这种方法叫拆项法．【答案】15．（2425七年级上·安徽合肥·阶段练习）用简便方法计算：【答案】(1)2(2)；【答案】98；＝99－[（1－）＋（－）＋（－）＋……＋（－）＋（－）]＝99－[1－]＝98；【答案】(1)(2)11．（2324七年级上·浙江金华·阶段练习）用简便方法计算：【答案】(1)(2)(3)．12．（2024七年级上·广东·专题练习）用简便方法计算：【答案】5055；＝5050＋5＝5055＝4．（2425·辽宁·七年级专题练习）计算题。【答案】5055；1998；；＝5050＋5＝505519.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1＝199.8×6.8＋199.8×4.2－199.8×1＝199.8×（6.8＋4.2－1）＝199.8×10＝1998＝＝【答案】885＝0.5＋1＋1.5＋2＋2.5＋……29.5＝（0.5＋29.5）×59÷2＝30×59÷2＝1770÷2＝8856．（2425七年级上·四川成都·阶段练习）（1）请你观察：以上方法称为“裂项相消求和法”（2）．阅读下面文字：上面这种方法叫拆项法；【答案】（1）；（2）7．（2425·湖北七年级专题练习）计算：【答案】1680；；＝2016×＝1680（2）1－＋－＋＝1＋－－＋＋－－＋＋＝1＋＝8．（2425·辽宁·七年级专题练习）计算题。【答案】；；；16＝＝＝＝＝169．（2425七年级上·江苏扬州·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．因此我们解决有关“数”的问题时，可以借助“形”，让问题变的直观．【教材回顾】选自新版苏科版教材第页（1）根据情境中的等量关系列出一个等式：如图，一张正方形纸片被分割成四个部分．【习题拓展】选自配套教辅《学习与评价》第页（2）如图2，将一个边长为的正方形纸片分割成个部分，部分①的面积是边长为的正方形纸片面积的一半，部分②