专题07 等腰三角形压轴题（期末预测20题难）（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages5252页试卷第=page33页，共=sectionpages5252页学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________专题07等腰三角形压轴题（期末预测20题，难）1．在等腰△ABC中，CA=CB，点N在直线BC上，在直线AB上找一点M，使得CM=CN，连接CM、MN．(1)如图1，当点N在BC边上，点M在AB边上，若∠ACB=60°，∠MCN=20°，求出∠BMN的度数；(2)如图2，当点N在线段CB的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，请写出∠BMN与∠ACM的数量关系，并加以证明；(3)若点N在直线BC上，点M在射线BA上，∠ACM=24°，请画出草图，并直接写出∠BMN的度数．【答案】(1)20°(2)∠BMN=1(3)12°或78°或102°，图见解析【分析】（1）先求出∠A=60°，由已知可得∠ACM=40°，根据三角形外角的性质可得∠BMC=100°，然后根据CM=CN，∠MCN=20°可求出∠CMN=80°，进而可求出∠BMN的度数；（2）设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=α+β，由CA=CB得∠A=∠ABC=∠MBN=12180°-β，再由CM=CN得∠CNM=（3）分四种情况进行讨论：①当点N在CB的延长线上时，设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=α+β，∠CAB=β+24°，由CA=CB得∠CBA=∠CAB=β+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=α+β，然后根据∠CBA=∠BMN+∠CNM可求出α的度数；②当点N在BC的延长线上时，设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=α+β，∠CAB=α+24°，由CA=CB，得∠B=∠CAB=α+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=β，进而可得∠BCM=2β，∠ACB=2β-24°，然后∠ACB+∠B+∠CAB=180°可求出α+β的度数；③当点N在BC上时，设∠ACB=α，∠MCN=β，则∠ACM=∠ACB-∠MCN=α-β=24°，根据三角形内角和定理求得∠CNM和∠CBA，进而根据∠BMN=∠CNM-∠CBA即可求解；④当点N在BC的延长线上，点M在BA上时，设∠B=α，求出∠BCM=156°-2α可得∠CMN=∠CNM=78°-α，然后在△BMN中，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ACB为等边三角形，∴∠A=60°，∵∠MCN=20°，∴∠ACM=∠ACB-∠MCN=60°-20°=40°，∴∠BMC=∠ACM+∠A=40°+60°=100°，∵CM=CN，∠MCN=20°，∴∠CMN=1∴∠BMN=∠BMC-∠CMN=100°-80°=20°．（2）解：∠BMN与∠ACM的数量关系是：∠BMN=1证明如下：设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=∠MCN+∠ACB=α+β，∵CA=CB，∴∠A=∠ABC=1∴∠MBN=∠ABC=1∵CM=CN，∴∠CNM=1∴∠BMN=180°-∠MBN-∠CNM，即：∠BMN=180°-1（3）解：∠BMN的度数为12°或78°或102°．理由如下：①当点N在CB的延长线上时，设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=∠BMN+∠CMB=α+β，∵∠ACM=24°，∴∠CAB=∠CMB+∠ACM=β+24°，∵CA=CB，∴∠CBA=∠CAB=β+24°，∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN=α+β，∵∠CBA=∠BMN+∠CNM，∴β+24°=α+α+β，∴α=12°，即∠BMN=α=12°；②当点N在BC的延长线上，点M在BA延长线上时，设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=∠AMC+∠CMN=α+β，∵∠ACM=24°，∴∠CAB=∠AMC+∠ACM=α+24°，∵CA=CB，∴∠B=∠CAB=α+24°，∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN=β，∴∠BCM=∠CNM+∠CMN=2β，∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=2β-24°，∵∠ACB+∠B+∠CAB=180°，∴2β-24°+α+24°+α+24°=180°，∴α+β=78°，即：∠BMN=α+β=78°；③当点N在BC上时，设∠ACB=α，∠MCN=β，则∠ACM=∠ACB-∠MCN=α-β=24°，∵CA=CB，∴∠CBA=∠CAB=1∵CM=CN，∴∠CNM=∠CMN=1∴∠BMN=∠CNM-∠CBA=1④当点N在BC的延长线上，点M在BA上时，设∠B=α，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=α，∴∠ACB=180°-2α，∵∠ACM=24°，∴∠BCM=∠ACB-∠ACM=180°-2α-24°=156°-2α，∵CM=CN，∴∠CMN=∠CNM=1∴∠BMN=180°-∠B-∠CNM=180°-α-78°-α综上所述：∠BMN的度数为12°或78°或102°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2．如图1，∠PAQ=50°，AE平分∠PAQ，点B，C，D分别是射线AQ，AP，AE上的点（都不与点A重合），BC交AE于点G．设∠ABC=α°．

(1)如图1，当BD∥①求∠ADB的度数；②若∠DBG=∠BGD，求α的值．(2)如图2，若DB⊥AQ，是否存在α的值，使得△GDB中有两个角相等．若存在，直接写出α的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)①25°；②52.5(2)存在，40或25或32.5或122.5【分析】（1）①由角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD=25°，由平行线的性质即可得到∠ADB=∠CAD=25°；②根据三角形内角和定理可求出∠DBG=77.5°，由平行线的性质得到∠DBG=∠ACB=77.5°，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）分三种情况：当∠BDG=∠BGD时；当∠GBD=∠GDB时；当∠DBG=∠DGB时（此时应分点G线段AD上或点G在射线DE上）．根据三角形内角和定理、三角形外角性质以及等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：①∵AE平分∠PAQ，∠PAQ=50°∴∠BAD=∠CAD=1∵BD∥∴∠ADB=∠CAD=25°；②∵∠DBG=∠BGD∴∠DBG=180°-∠ADB∵BD∥∴∠DBG=∠ACB=77.5°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-50°-77.5°=52.5°，即α=52.5；（2）∵AE平分∠PAQ，∠PAQ=50°，∴∠BAD=∠CAD=1∵DB⊥AQ，∴∠ABD=90°，∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-25°-90°=65°，当∠BDG=∠BGD时，如图，

则∴∠BDG=∠BGD=65°，∵∠BGD=∠BAD+∠ABC，∴∠ABC=∠BGD-∠BAD=65°-25°=40°，即α=40；当∠GBD=∠GDB时，如图，

则∠GBD=∠GDB=65°，∴∠ABC=∠ABD-∠GBD=90°-65°=25°，即α=25；当∠DBG=∠DGB，且点G在线段AD上，如图，

∴∠DBG=∠DGB=180°-∠BDG2∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=90°-57.5°=32.5°，α=32.5；当∠DBG=∠DGB，且点G在射线DE上，如图，

∵∠ADB=∠DBG+∠DGB，即65°=2∠DBG，∴∠DBG=32.5°，∴∠ABC=∠ABD+∠DBG=122.5°，即α=122.5．综上，α的值为40或25或32.5或122.5．【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角性质、等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用所学知识并善于利用分类讨论思想解决问题．3．在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图1，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°0<x<60①如图2，当DE⊥BC时，求x的值．②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)①x=15°；②存在，22.5或45【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CAF=∠B，由折叠的性质可得∠B=∠E，从而得到∠CAF=∠E，最后根据平行线的判定即可得证；（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当∠DFE=∠FDE时；当∠DFE=∠E=30°时；当∠EDF=∠E=30°，分别进行计算即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE；（2）解：①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，由翻折可知，x=∠BAD=1②∵∠BAD=x°，∠FDE=180°-∠E-∠FAD-∠ADF=180°-∠E-∠FAD-∠B-∠BAD=180°-30°-x°-30°-x°=120°-2x°，当∠DFE=∠FDE时，即120°-2x°=30°+2x°，解得x=22.5，即x的值为22.5，当∠DFE=∠E=30°时，2x°+30°=30°，解得x=0，∵0<x<60，∴不合题意，故舍去；当∠EDF=∠E=30°，120°-2x°=30°，解得x=45，综上可知，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，x的值为22.5或45．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键．4．已知a,b,c为三角形三边，且满足a2+【答案】见解析【分析】可将题目所给的关于a、b、c的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状．【详解】解：∵a∴2a∴(a∴(a-b)∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．5．已知：DE∥PQ，点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，AC，AB平分(1)如图，求证：∠ABC=∠BAC；

(2)如图，点K为AB上一点，连接CK，若CK⊥AB，判断∠EAC与∠ACK之间的数量关系，并说明理由；

(3)在（2）的条件下，在直线DE上取一点F，连接FK，使得∠AKF=30°．若∠DAB=∠AFK+∠KCB，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠EAC=2∠ACK，理由见解析；(3)∠ACB=20°或60°．【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义即可证明．（2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求．（3）利用题中等量关系建立方程，分类求解即可．【详解】（1）证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，∵DE∥∴∠DAB=∠ABC，∴∠ABC=∠CAB．（2）∠EAC=2∠ACK，理由如下：∵DE∥∴∠EAC=∠ACB，由（1）知∠ABC=∠CAB，∴CA=CB，∵CK⊥AB，∴∠ACB=2∠ACK，∴∠EAC=2∠ACK．（3）如图：

如图1，设∠ACK=∠BCK=x，则∠ACB=2x，在△ABC中，根据内角和定理得：∠ABC=∠BAC=90°-x，∵DE∥∴∠DAB=∠ABC=90°-x，在△AFK中，∠AKF+∠AFK+∠DAB=180°，∴∠AFK=150°-90°-x∵∠DAB=∠AFK+∠KCB，∴90°-x=60°+x+x，∴x=10°，∴∠ACB=2x=20°，如图2，设∠ACK=∠BCK=x，∵DE∥∠FAC=∠ACB=2x，∠DAB=∠ABC=90°-x，∵∠AKF=30°，∠AKC=90°，∴∠FKC=60°，∵∠CAF+∠AFK=∠ACK+∠FKC，∴2x+∠AFK=60°+x，∴∠AFK=60°-x，∵∠DAB=∠AFK+∠KCB，∴90°-x=60°-x+x，∴x=30°，∴∠ACB=60°，综上所述：∠ACB=20°或60°．【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形，角平分线的定义，抓住角之间的关系是求解本题的关键．6．阅读理解：【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．【概念理解】（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，则△CBD与△ABC______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．

（2）如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=36°，∠B=48°，求证：CD为△ABC的“巧妙分割线”；

【概念应用】（3）在△ABC中，∠A=45°，CD是△ABC的巧妙分割线，直接写出∠ACB的度数．【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）105°或112.5°【分析】（1）由题意推出∠BCD=36°，∠ABC=72°，∠BDC=72°，从而得出结论；（2）根据题意，通过计算得出△BCD是等腰三角形，∠A=∠A=36°，∠ACD=∠B=48°，∠ADC=∠ACB=96°，从而得出结论；（3）根据题意，分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形两类，当△ACD是等腰三角形时，再分为：AC=AD，AD=CD，AC=CD三种情形讨论；同样当△BCD是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出∠ACB的度数即可．【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=180°-∠A∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=1∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=72°，∴∠BCD=∠A，∴△CBD与是互为“形似三角形”，故答案为：是；（2）∵在△ABC中,∠A=36°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=96°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=1∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=96°，∴∠A=∠A，∴△ACD与△ABC是互为“形似三角形”，且△BCD是等腰三角形，∴CD为△ABC的“巧妙分割线”；（3）（Ⅰ）当△ACD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图1所示：

当AD=CD时，则∠ACD=∠A=45°，∴∠BDC=∠A+∠ACD=90°，此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠B=90°-∠BCD=45°=∠A，∴∠ACB=90°舍去，②如图2所示：

当AC=AD时，则∠ACD=∠ADC=180°-45°此时，△ABC、△CBD是“形似三角形”，可知∴∠ACB=45°+67.5°=112.5°；③当AC=CD时，这种情况不存在；（Ⅱ）当△BCD是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，①如图3所示：

当CD=DB时，∠B=∠BCD=45°，同理可知∠ACB=90°舍去，；②如图4所示：

当BC=BD时，∠BDC=∠BCD，此时，△ABC、△ACD是“形似三角形”，可知∴∠BCD=∠BDC=∠ACD+∠A=∠ACD+45°，在△BCD中，由三角形内角和可知∠B+2∠BDC=180°，得∠ACD+2∠ACD+45°∴∠ACD=30°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+2×30°=105°；③当CD=CB时，这种情况不存在；综上所述：∠ACB的度数为105°或112.5°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解．7．已知△ABC是等边三角形，∠ADE=60°．(1)当点D、E分别在BC、AC上时，①如图1，请说明∠EDC=∠BAD；②如图2，若AM平分∠BAD，EN平分∠CED，请判断AM与EN的位置关系，并说明理由．(2)如图3，∠ADE在△ABC的外部，且点D在BC的延长线上，反向延长DE交射线AC于点F，若AM平分∠BAD，FN平分∠CFD，则∠MAC与∠NFC是否相等？请说明理由．【答案】(1)①见解析；②AM∥(2)∠MAC=∠NFC，见解析【分析】（1）解：①根据三角形的外角定理得出∠ADC=∠BAD+∠B，即∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B．推出∠B=60°=∠ADE，即可得出∠EDC=∠BAD．②根据角平分线的定义得出∠1=12∠BAD，∠2=12∠CED．则（2）先推出∠BAD=∠BDF．根据角平分线的定义得出∠1=12∠BAD，∠2=12∠CFD．再通过证明∠3=1【详解】（1）解：①∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠BAD+∠B，即∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B．∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，∴∠B=60°=∠ADE，∴∠EDC=∠BAD．②AM∥理由：∵AM平分∠BAD，EN平分∠CED，∴∠1=12∠BAD∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠3=∠1+∠B，∴∠3=1∵∠4=∠EDC+∠2，∴∠4=∠EDC+=∠EDC+=∠EDC+=∠EDC+60°-=1由（1）可知∠EDC=∠BAD，∴∠3=∴AM∥（2）解：∠MAC=∠NFC．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∠DCF=60°．∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADE+∠ADB+∠BDF=180°，∠ADE=60°，∴∠BAD=∠BDF．∵AM平分∠BAD，FN平分∠CFD，∴∠1=12∠BAD∵∠3=∠1+∠B，∴∠3=1∵∠4=∠CDF+∠2=∠CDF+=∠CDF+=∠CDF+=1∴∠3=∴AM∥∴∠MAC=∠NFC．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角平分线，平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题关键的掌握等边三角形三个角都是60度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的判定定理和性质．8．如图，△ABC中，∠B=∠ACB，∠A=40°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<70°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线C(1)若AB⊥CE，求∠α的度数；(2)设∠A'DB=β，探究α(3)若△A'DE【答案】(1)∠α=25°(2)2α+β=100°或2α-β=100°(3)当α=15°或α=30°或α=60°时，△A【分析】（1）根据图形翻折的性质，结合三角形的内角和定理即可解决问题．（2）根据点A'的位置，分类讨论即可解决问题．（3）根据点A'的位置，画出示意图，分类讨论即可解决问题．【详解】（1）解：∵AB⊥CE，∴∠AEC=90°．又∵∠A=40°，∴∠ACE=90°-40°=50°．由翻折可知，∠ACE=2∠α，∴∠α=1（2）解：当点A'在射线AB下方时，∵∠A=40°，∠ACD=α，∴∠CDE=α+40°．由折叠可知，∠A'=∠A=40°，∠ADC=∠A'DC，又∵∠ADC=180°-40°-α=140°-α，∠A'DC=α+40°+β，∴140°-α=α+40°+β．即2α+β=100°．当点A'在射线AB上方时，∵∠A=40°，∠ACE=2α，∴∠CEA=180°-40°-2α=140°-2α，又∵∠CA'D=∠A=40°，∴∠CEA+∠A'DB=∠CA'D，即140°-2α+β=40°，∴2α-β=100°．综上所述，α、β之间的数量关系为：2α+β=100°或2α-β=100°．（3）解：当点A'在射线AB下方时，由（2）知，β=100°-2α．又∵∠DEA'=2α+40°，∴当∠DEA'=∠A'时，则2α+40°=40°，解得α=0°（舍去）．当∠DEA'=∠EDA'时，则2α+40°=100°-2α，解得α=15°．当∠EDA'=∠A'时，则100°-2α=40°，解得α=30°．当点A'在射线AB上方时，∵∠CA'D=∠A=40°，∴∠DA'E=180°-40°=140°．故当△A'DE是等腰三角形时，只能∠A'DE=∠A'ED，∴2α-100°=140°-2α，解得α=60°．综上所述，当α=15°或α=30°或α=60°时，△A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，翻折的性质等知识，明确题意，分类讨论数学思想的巧妙运用是解题的关键．9．如图，点O是等边△ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)若∠AOB=100°，①判断△COD的形状，并说明理由；②探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(2)若∠AOB=β，∠BOC=α，当α、【答案】(1)①△COD是等边三角形，理由见解析；②当α为130°或160°或100°时，△AOD是等腰三角形．(2)当α=105°，β=150°或α=150°，β=105°或α=105°，β=105°时，△AOD是等腰直角三角形．【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论．（1）①利用旋转的性质OC=DC，∠OCD=60°，即可证明△COD是等边三角形；②分三种情况讨论，①AD=OA，②AD=OD，③AO=DO，分别计算即可求解；（2）分三种情况讨论，①AD=OA，②AD=OD，③AO=DO，分别计算即可求解．【详解】（1）①△COD是等边三角形，理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴OC=DC，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；②当α为130°或160°或100°时，△AOD是等腰三角形．∵△ADC是由△BOC旋转后得到的，∴∠BOC=∠ADC=α，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=α-60°，∵∠AOB=100°，∴∠AOD=360°-∠AOB-α-∠COD，∴∠AOD=360°-100°-α-60°=200°-α，∵在△AOD中，∠AOD+∠ADO+∠OAD=180°，∴200°-α+α-60°∴∠OAD=40°，△AOD是等腰三角形，分三种情况：①当AD=OA时，∴∠AOD=∠ADO，∴200°-α=α-60°，∴α=130°；②AD=OD，∴∠OAD=∠AOD，∴40°=200°-α，∴α=160°；③AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，∴40°=α-60°，∴α=100°，∴当α为130°或160°或100°时，△AOD是等腰三角形．（2）∵△ADC是由△BOC旋转后得到的，∴∠BOC=∠ADC=α，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=α-60°，∵∠AOB=β，∴∠AOD=360°-β-α-∠COD，∴∠AOD=360°-β-α-60°=300°-α-β，∵在△AOD中，∠AOD+∠ADO+∠OAD=180°，∴300°-α-β+α-60°∴∠OAD=β-60°，△AOD是等腰直角三角形，分三种情况：①当AD=OA，∠OAD=90°时，∴∠AOD=∠ADO=45°，∴300°-α-β=45°，α-60°=45°∴α=105°，β=150°；②AD=OD，∠ADO=90°时，∴∠OAD=∠AOD=45°，∴∠OAD=β-60°=45°，∠AOD=300°-α-β=45°∴α=150°，β=105°；③AO=DO，∠AOD=90°时，∴∠OAD=∠ADO=45°，∴∠OAD=β-60°=45°，∠ADO=α-60°=45°，∴α=105°，β=105°；，∴当α=105°，β=150°或α=150°，β=105°或α=105°，β=105°时，△AOD是等腰直角三角形．10．已知：如图1，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B．(1)若∠ADE=50°，则∠DAE=°；(2)在图1中，我们发现，无论∠ADE为何值时，总有∠ADE+1规定：若两个角α、β满足：α+1kβ=90°(k为正整数)，则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如：∵50°+12×80°=90°,∴80°是50°的“2级准余角”，若△ADE中，∠ADE=50°，∠E=80°，①下列说法正确的有．（多选题）A．50°是65°的“2级准余角”；B．30°是80°的“3级准余角”；C．若△ABC是“2级准直角三角形”，则△ABC一定是等腰三角形；D．若△ABC是“3级准直角三角形”，则△ABC一定不是直角三角形；②如图2，已知l1∥l2，∠1<∠2，若∠2是∠1的“3级准余角③如图3，B为直线DC上一点，点A在直线DC外，∠ABC=40°，在直线CD上是否存在点P，使△ABP是“2级准直角三角形”?如果存在，请直接写出∠APB的度数，如果不存在，请简要说明理由．【答案】(1)50°(2)①ABC②∠1=45°③存在，∠APB的度数分别是100°【分析】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题关键，（1）根据三角形外角的性质结合角平分线定义完成解答即可；（2）①根据k级准直角三角形定义结合三角形内角和定理判断即可；②根据k级准直角三角形定义结合平行线的性质计算即可；③根据①中结论，分两种情况分别根据k级准直角三角形定义计算即可；【详解】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∵∠EAC=∠B,∠ADE=∠B+∠BAD,∠DAE=∠CAE+∠DAC∴∠ADE=∠DAE=50°；（2）解：①A、∵65°+∴50°是65°的“2级准余角”，正确；B、∵80°+∴30°是80°的“3级准余角”，正确；C、若△ABC是“2级准直角三角形”，设∠A+12∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠C，则△ABC一定是等腰三角形，正确；D、若△ABC是“3级准直角三角形”，设∠A+13∠B=90°∵∠A+∠B+∠C=180°，∴当∠A=60°时，∠B=90°，∠C=30°，则△ABC也有可能是直角三角形，故原说法错误；故说法正确的是：ABC；②∵∴∠1+∠2=180°，∵∠2是∠1的“3级准余角”，∴1解得：∠1=45°；③存在，理由如下：当点P在AB右侧时，△ABP是“2级准直角三角形”，∠ABC=40°，由①知△ABP为等腰三角形，当AP=BP时，∠APB=180°-2×40°=100°；当AB=AP时，则∠APB=∠ABP=40°；当BA=BP时，则∠APB=∠A=70°；当点P在AB右侧时，△ABP是“2级准直角三角形”，∠ABC=40°，∴∠ABP=180°-40°=140°，由①知△ABP为等腰三角形，∴BA=BP时，∠APB=∠A=20°；综上所述，∠APB的度数分别是100°，11．已知△ABC为等腰三角形．(1)若∠A=70°，求∠B的度数；(2)若∠A=α45°<α<90，∠ABC的平分线BD与边AB的高CE交于点F，与边AC交于点D，求∠BFC的度数（用含α【答案】(1)55°或40°或70°(2)135°-α4或90°+【分析】本题考查了等腰三角形、三角形内角和、三角形外角、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质；（1）结合题意，分等腰三角形顶角为∠A、∠B、∠C三种情况，结合等腰三角形、角平分线和三角形外角的性质计算，即可得到答案；（2）分等腰三角形顶角为∠A、∠B、∠C三种情况，再根据三角形外角、三角形内角和、等腰三角形三线合一的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）当∠A为等腰三角形顶角时，得∠B=∠C=180°-∠A当∠B为等腰三角形顶角时，得∠C=∠A=70°，∴∠B=180°-∠A-∠C=40°；当∠C为等腰三角形顶角时，得∠B=∠A=70°，∴∠B的度数为55°或40°或70°；（2）当∠A为等腰三角形顶角时，∠A=α45°<α<90∴∠ABC=∠ACB=180°-∠A∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC∵CE为边AB的高，∴∠BEC=90°，∴∠BFC=∠BEC+∠ABD=135°-α当∠ABC为等腰三角形顶角时，∵∠A=α∴∠C=∠A=α∴∠ABC=180°-2α∴0°<∠ABC<90°，如图：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC∵CE为边AB的高，∴∠BEC=90°，∴∠BFC=∠BEC+∠ABD=180°-α，当∠ACB为等腰三角形顶角时，得∠ABC=∠BAC=α，∴∠ACB=180°-2α∴0°<∠C<90°，如图：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBF=∠ABC∵CE为边AB的高，CA=CB∴∠BCF=∠ACB∴∠BFC=180°-∠BCF-∠CBF=90°+α∴∠BFC的度数为135°-α4或90°+α12．已知，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明△ABE≌_____；再证明了△AEF≌_____，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为_____．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF，BE，FD之间的数量关系为_____．（不用证明）【答案】(1)图见解析，△ADG，△AGF，EF=BE+FD(2)成立，证明见解析(3)EF=BE-DF【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．（1）根据题意，画出图形，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出结论；（3）在BC上取一点G，使BG=DF，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，即可得出结论．【详解】（1）解：补全图形，如图：解题思路为：先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD；故答案为：△ADG，△AGF，EF=BE+FD；（2）解：成立，证明如下：延长FD到点G，使DG=BE，则∠ADF+∠ADG=180°，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AG=AE，∠1=∠3，∵∠EAF=1∴∠1+∠2=1∴∠3+∠2=12∠BAD∴∠EAF=∠FAG，又AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=GF，∵GF=DF+DG，∴EF=DF+BE；（3）解：在BC上取一点G，使BG=DF，∵∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF，又AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∴∠GAE=1又AE=AE，∴△AGE≌△AFE，∴EF=EG=BE-BG=BE-DF．故答案为：EF=BE-DF．13．【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【问题解决】（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，则AD，BE与DE之间满足的数量关系是________；②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD=10，BE=4，则DE的长为________．【方法应用】（2）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=6．求△BCD【拓展迁移】（3）如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=4，S△ABC=6，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请直接写出【答案】（1）①DE=BE+AD；②6；（2）18；（3）10或【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．（1）①根据AD⊥DE，BE⊥DE得到∠ADC=∠CEB=90°，结合∠ACB=90°，得到∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，从而得到∠CAD=∠BCE，即可得到△CAD≌△BCE，即可得到答案；②同理①证明△CAD≌△BCE即可得到答案；（2）作BE⊥CD，交CD于点E，证明△CAD≌△BCE即可得到答案；（3）分∠CAD=90°，∠ACD=90°两种情况讨论，根据等腰直角三角形结合（【详解】解：（1）①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△CAD和△BCE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△CAD≌△BCEAAS∴CD=BE，AD=CE，∴DE=CD+CE=BE+AD，故答案为：DE=BE+AD；②∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△CAD和△BCE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△CAD≌△BCEAAS∴CD=BE，AD=CE，∵AD=10，BE=4，∴DE=CE-CD=AD-BE=10-4=6，故答案为：6；（2）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠ADC=90°，CD=6，如图3，作BE⊥CD，交CD于点E∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△CAD和△BCE中，∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△CAD≌△BCEAAS∴CD=BE，∴S（3）以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，∠CAD=90°，如图4，作高线AE，过点D作DF⊥EA于F，∵AB=AC，BC=4，S△ABC=∴AE=3，CE=1由（1）得：△ACE≌△DAF，∴AF=CE=2，∴S以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，如图5，作高线AE，过点D作DF⊥BC于∵AB=AC，BC=4，S△ABC=∴AE=3，CE=1由（1）得：△AEC≌△CFD，∴CE=DF=2，∴S综上所述，△BCD的面积为10或4．14．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)如图1，点D在BC边上，连接AD，若∠BAD=2∠CAD，AB=BD，求∠BAC的度数．(2)如图2，点D在BC边上，以AD为边作△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，过点A作AF⊥BC与ED延长线相交于点K．连接BE，BE与AF相交于点G．若∠AKD+∠DAK=∠CAF，试说明：2AG+DF=BF．(3)在（2）的条件下，点R为边CA延长线上一点，连接BR．点P、Q为BR上两点，且BP=RQ，连接AP、AQ．在线段AR上取一点S，使RS=AB．过点S作MS∥BC交BR于点M，作NS∥BR交BC于点N，连接BS、AN，过点C做CT⊥AN于点T．若AB=5，AT=3，CT=4，SN=10021，直接写出【答案】(1)∠BAC=108°(2)证明见解析(3)175【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，设∠B=∠C=x，则∠BAC=180°-2x，再根据∠BAD=2∠CAD可得∠BAD=120°-43x，∠CAD=60°-23x，然后根据三角形的外角性质可得（2）先证出∠BAC=∠DAE=90°，再根据等腰三角形和直角三角形的性质可得AF=BF，然后在AF取一点H，使得HF=DF，连接BH，证出△BFH≌△AFD，根据全等三角形的性质可得BH=AD，∠FBH=∠FAD，然后证出△BHG≌△EAG，根据全等三角形的性质可得HG=AG，最后根据线段的和差、等量代换即可得；（3）利用过点R作LR⊥RC，过点Q作LQ∥AP交LR于点L，构造△LQR≌△APB，得出LR=RS=AB=AC=5，LQ=AP，则点L是定点，又AP+AQ=LQ+AQ，利用两点之间距离最短，则当L、Q、A依次共线时，AP+AQ=LQ+AQ最小为LA，过点B作BW⊥AN延长线于点W，利用一线三垂直全等模型得△ABW≌△CAT，得BW=AT=3，利用S△ABC=S△ABN+S△ACN，列式求出AN，通过证明△MSB≌△NSB得出MB=SN=10021，MS=BN【详解】（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，设∠B=∠C=x，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2x，∵∠BAD=2∠CAD，∴∠BAD=23∠BAC=120°-∴∠BDA=∠CAD+∠C=60°+1∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∴120°-4解得x=36°，∴∠BAC=180°-2×36°=108°；（2）解：∵∠AKD+∠DAK=∠CAF，∠AKD+∠DAK=∠ADE，∴∠CAF=∠ADE，设∠CAF=∠ADE=y，∵AB=AC，AF⊥BC，∴∠BAC=2∠CAF=2y，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAE=2y，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=y，在△ADE中，∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，即2y+y+y=180°，解得y=45°，∴∠BAC=∠DAE=90°，又∵AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°，∵AF⊥BC，∴∠BFH=∠AFD=90°，∠ABF=∠ACF=∠BAF=∠CAF=45°，∴AF=BF=CF，如图，在AF取一点H，使得HF=DF，连接BH，在△BFH和△AFD中，HF=DF∠BFH=∠AFD=90°∴△BFH≌△AFDSAS∴BH=AD，∠FBH=∠FAD，∴BH=AE，∵∠BHG=∠FBH+∠BFH=∠FBH+90°，∠EAG=∠FAD+∠DAE=∠FAD+90°，∴∠BHG=∠EAG，在△BHG和△EAG中，∠BGH=∠EGA∠BHG=∠EAG∴△BHG≌△EAGAAS∴HG=AG，∵HG+AG+HF=AF，∴2AG+DF=BF；（3）解：过点R作LR⊥RC，过点Q作LQ∥AP交LR于点L，∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴LR∥AB，∴∠LRQ=∠ABP，∵LQ∥AP，∴∠LQP=∠APQ，∴∠LQR=∠APB，又∵BP=RQ，∴△LQR≌△APB，∴LR=AB，LQ=AP，∵RS=AB，AC=AB，∴LR=RS=AB=AC=5，∴点L是定点，∵AP+AQ=LQ+AQ，利用两点之间距离最短，∴当L、Q、A依次共线时，AP+AQ=LQ+AQ最小为LA，此时如图，过点B作BW⊥AN延长线于点W，∵CT⊥AN，∠BAC=90°，∴∠AWB=∠CTA=90°，∠BAN+∠CAT=90°，∠BAN+∠ABW=90°，∴∠ABW=∠CAT，又∵AB=AC，∴△ABW≌△CAT，∴BW=AT=3，∵S△ABCS△ABC∴72得：AN=25∵MS∥BC，NS∥BR，∴∠RSM=∠ACB=45°，∠MSB=∠NBS，∠MBS=∠NSB，又∵BS=SB，∴△MSB≌△NBS，∴MB=SN=10021，∵∠RSM=∠ACB=∠ABC=45°，∴△MSR≌△NBA，∴RM=AN，∴RB=RM+BM=AN+SN=25∵RL=AB，∠LRS=∠RAB=90°，RA=AR，∴△LRA≌△BAR，∴LA=RB=175【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间的距离，熟练根据题意正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想：如图①，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B，C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是______．(2)类比探究：如图②，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，连接CE，BD，若∠DEC=60°，试证明∠ADB+∠ADE=180°；(3)解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE，BE，CE．若∠BEC=60°，AE=3，CE=2，请求出BE的长．【答案】(1)AB(2)证明见解析(3)5【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可求出∠BAC=∠ACE=60°，利用平行线的判定即可得出结论；（2）利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得出∠ADB=∠AEC=120°，进而得出∠ADB+∠ADE=180°，即可得证；（3）在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，先利用外角的性质证明∠ABH=∠ACE，再利用SAS证明△ABH≌△ACE，得出∠BAH=∠CAE，AH=AE，则可证明△AEH是等边三角形，得出AE=EH，即可求解．【详解】（1）解：AB∥∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=60°，∴∠BAC=∠ACE=60°，∴AB∥故答案为：AB∥（2）证明：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ADE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵∠AED=60°，∠DEC=60°，∴∠AEC=120°，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠ADB+∠ADE=180°；（3）解：如图③，在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60°，∵∠BEC=60°，∴∠BAO=∠OEC=60°，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，在△ABH和△ACE中，AB=AC∠ABH=∠ACE∴△ABH≌△ACESAS∴∠BAH=∠CAE，AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+EC，∵AE=3，CE=2，∴BE=3+2=5．16．如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线(1)当∠DAB与∠ECB互余（如图）时，AB与BC的位置关系是．(2)在（1）的条件下，作△BPQ，使BP=QP，∠P=90°，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将△BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A移动时，写出∠FBG∠ECB【答案】(1)AB⊥BC(2)不变，∠DMB+∠ENB=67.5°(3)∠FBG【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）延长AB交直线b于点G，得到∠DAB=∠AGC，求出∠CBG=180°-∠AGC-∠ECB=90°，即可得到AB⊥BC；（2）不变化，理由如下，过点B作BH∥a，得到∠DMB=∠MBH,∠ENC=∠HBN，得出∠DMB+∠ENB=∠MBH+∠NBH=∠MBN，求出∠MBN=67.5°，即可得到答案；（3）延长GB交b于点H，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质求出∠ECB=2∠FBG，即可得到∠FBG∠ECB【详解】（1）解：如图，延长AB交直线b于点G，∵a∥b，∴∠DAB=∠AGC，∵∠DAB+∠ECB=90°，∴∠AGC+∠ECB=90°，∴∠CBG=180°-∠AGC-∠ECB=90°，∴AB⊥BC，故答案为：AB⊥BC；（2）解：不变化，理由如下，如图，过点B作BH∥a，∵a∥b，∴BH∥a∥b，∴∠DMB=∠MBH,∠ENC=∠HBN，∴∠DMB+∠ENB=∠MBH+∠NBH=∠MBN，∵∠P=90°,BP=QP，∴∠QBP=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠QBP=∠ABP+∠CBP+∠CBP+∠QBC=∠ABP+∠QBC+2∠CBP=135°,∵BM平分∠ABP，BN平分∠QBC∴∠NBC=12∴2∠MBP+2∠NBC+2∠CBP=135°，∴∠MBP+∠NBC+∠CBP=67.5°，∴∠MBN=67.5°，∴∠DMB+∠EBN=67.5°；（3）解：如图，延长GB交b于点H，∵a∥b，∴∠FGB=∠BHC，∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠CBG，∵∠CBG=∠BHC+∠ECB，∴∠ABG=∠FGB+∠ECB=∠ABF+∠FBG，∵∠AFB=∠FGB+∠FBG，∴∠FGB+∠ECB=∠FGB+∠FBG+∠FBG，∴∠ECB=2∠FBG，∴∠FBG17．已知在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，点C是平面内一点，连接AC、BC、OC，OA=OC．(1)如图1，点O在△ABC的内部．①当∠ACO=20°，求∠OBC的度数；②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）．【答案】(1)①∠OBC=40°；②△ABC为等边三角形，见解析(2)∠OCB的度数为20°或40°．【分析】（1）①根据OA=OC，∠ACO=20°得∠CAO=∠ACO=20°，则∠AOC=140°，进而得∠BOC=100°，再根据OA=OB，OA=OC得OB=OC，进而得∠OBC=∠OCB=40°，然后根据OA=OB，∠AOB=120°得∠OBA=∠OAB=30°，由此可得∠ABC的度数；②根据CO平分∠ACB，设∠OCA=∠OCB=α，则∠ACB=2α，根据OA=OC得∠OAC=∠OCA=α，根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=α，则∠CAB=30°+α，∠CBA=30°+α，再根据三角形内角和定理得2α+30°+α+30°+α=180°，则α=30°，进而得∠ACB=2α=60°，∠CAB=30°+α=60°，∠CBA=30°+α=60°，由此可判定△ABC的形状；（2）分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB=β，则∠DOC=∠OCB=β，∠COB=β+120°，再根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β=180°，则β=20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB=θ，则∠DOC=∠OCB=θ，再求出∠BOD=60°，得∠COB=θ+60°，根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°=180°，则θ=40°，综上所述即可得出∠OCB的度数．【详解】（1）解：①在△OAC中，OA=OC，∠ACO=20°，∴∠CAO=∠ACO=20°，∴∠AOC=180°-(∠CAO+∠ACO)=140°，又∵∠AOB=120°，∴∠BOC=360°-(∠AOC+∠AOB)=100°，∵OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，在△BOC中，OB=OC，∠BOC=100°，∴∠OBC=∠OCB=1②△ABC为等边三角形，理由如下：如图1所示：∵CO平分∠ACB，∴设∠OCA=∠OCB=α，则∠ACB=2α，在△OAC中，OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=α，在△OBC中，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=α，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OBA=∠OAB=1∴∠CAB=∠OAB+∠OAC=30°+α，∠CBA=∠OBA+∠OBC=30°+α，在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°，∴2α+30°+α+30°+α=180°，∴α=30°∴∠ACB=2α=60°，∠CAB=30°+α=60°，∠CBA=30°+α=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）解：∠OCB的度数为20°或40°，理由如下：∵直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示：设∠OCB=β，∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，∴∠DOC=∠OCB=β，∵∠AOB=120°，∴∠COB=∠DOC+∠AOB=β+120°，在△OBC中，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=β，∵∠OCB+∠COB+∠OBC=180°，∴β+β+120°+β=180°，∴β=20°，即∠OCB=β=20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示：设∠OCB=θ，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，∴∠DOC=∠OCB=θ，∴∠COB=∠DOC+∠BOD=θ+60°，在△OBC中，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=θ，∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，∴θ+θ+θ+60°=180°，∴θ=40°，∴∠OCB=θ=40°，综上所述：∠OCB的度数为20°或40°．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．18．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．将△ABC绕着点A旋转．(1)当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数；(2)当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE=90°，求证：CF=DF；(3)当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：FH⊥BE．【答案】(1)135°(2)见详解(3)见详解【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线，证明三角形全等．（1）根据AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，得出∠ADE=∠AED=∠ACB=45°,∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE，得出∠AEC=∠ADB，证出∠DCE=90°，根据∠ACE=∠ACB+∠DCE=135°求解即可．（2）过点D作DH⊥AF交AF的延长线于点H，证明△AHD≌△EBA，得出AB=DH，结合AB=AC，得出DH=AC，证明△CAF≌△DHF，即可得CF=DF．（3）如图延长AF使AF=PF，连接DP，证明△CFA≌△DFP，得出∠3=4,∠5=∠P,AC=DP，结合AC=AB，得出AB=DP，根据∠PDA=∠4+∠6=180°-∠CAD，∠BAE=360°-90°-90°-∠CAD=180°-∠CAD，得出∠BAE=∠PDA，证明△BAE≌△PDA，得出∠7=∠P，即可得∠7=∠5，根据∠5+∠8=180°-∠BAC=90°，得出∠7+∠8=90°，即可得∠BHA=90°，即FH⊥BE．【详解】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠ADE=∠AED=∠ACB=45°,∠BAD=∠CAE=90°-∠BAE，在△ABD和△ACE中：AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS∴∠AEC=∠ADB，∴∠AEC+∠AED+∠CDE=∠ADB+∠AED+∠CDE=90°，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACB+∠DCE=45°+90°=135°．（2）证明：过点D作DH⊥AF交AF的延长线于点H，∵∠DAE=90°，∴∠2+∠1=90°,∠2+∠HDA=90°，∴∠1=∠HDA，在△AHD和△ABE中∠H=∠ABE=90°∠HDA=∠1∴△AHD≌△EBAAAS∴AB=DH，∵AB=AC，∴DH=AC，∵∠CAB=∠CAF=90°，在△CAF和△DHF中∠3=∠4∠CAF=∠H=90°∴△CAF≌△DHFAAS∴CF=DF．（3）证明：如图延长AF使AF=PF，连接DP，∵点F是CD中点，∴CF=DF，在△CFA和△DFP中CF=DF∠1=∠2∴△CFA≌△DFPSAS∴∠3=4,∠5=∠P,AC=DP，∵AC=AB，∴AB=DP，∵∠3+∠6=180°-∠CAD，∴∠PDA=∠4+∠6=180°-∠CAD，∠BAE=360°-90°-90°-∠CAD=180°-∠CAD，∴∠BAE=∠PDA，在△BAE和△ADP中AD=AE∠BAE=∠PDA∴△BAE≌△PDASAS∴∠7=∠P，∴∠7=∠5，∵∠5+∠8=180°-∠BAC=90°，∴∠7+∠8=90°，∴∠BHA=90°，即FH⊥BE．19．夕阳西下，初夏的海风额外清凉，小强一家要乘车回家，在公交车站，小强看见一个阿姨在兜售风车，便从中挑选一个风车，观察发现风车的基本结构可以看着是一副如图放置的三角板（图1）．回到家后，小强爸爸在纸上，画出图形，给小强布置了如下题目．已知∠A=∠GFH=90°，