2026版高三一轮复习 数学 全国 单元检测卷（五） 平面向量、复数

单元检测卷(五)平面向量、复数(分值：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.[2025·浙江名校联考]已知i为虚数单位，则eq\f(1＋2i,2＋i)在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.[2025·嘉兴模拟]在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝3eq\o(FD,\s\up6(→))，记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D.－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b3.[2025·郑州模拟]已知a＝(－3，4)，b＝(2，2)，则向量a在向量b上的投影向量为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B.(eq\r(2)，eq\r(2))C.(1，1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))4.[2025·广东六校联考]设复数z＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，其中i是虚数单位，eq\o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，下列结论中错误的是()A.zeq\o(z,\s\up6(－))＝1B.z2＝eq\o(z,\s\up6(－))C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根D.满足zn∈R的最小正整数n为35.[2025·盐城模拟]已知向量a，b满足|a－b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.eq\r(3)6.[2025·衡水三模]已知e1，e2是单位向量，e1·e2＝－eq\f(1,2)，则e1＋2e2与e2的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)7.[2025·哈尔滨模拟]复数z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，把r(cosθ＋isinθ)叫做复数a＋bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*)，例如：(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)3＝(coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3))3＝cos2π＋isin2π＝1，(1＋i)4＝(eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4)))4＝4(cosπ＋isinπ)＝－4，复数z满足：z3＝1＋i，则z可能取值为()A.eq\r(2)(coseq\f(π,12)＋isineq\f(π,12)) B.eq\r(2)(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))C.eq\r(6,2)(coseq\f(5π,4)＋isineq\f(5π,4)) D.eq\r(6,2)(coseq\f(17π,12)＋isineq\f(17π,12))8.[2025·茂名模拟]如图，已知正六边形ABCDEF的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))的取值范围为()A.[－24，16] B.[0，32]C.[－32，0] D.[－12eq\r(3)，0]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.[2025·南通模拟]已知z1，z2都是复数，下列正确的是()A.若z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则z1z2∈RB.若z1z2∈R，则z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2C.若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)D.若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，则|z1|＝|z2|10.[2025·杭州模拟]如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则()A.eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(13,2)C.eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))存在最大值D.x＋y的最大值为1＋eq\f(\r(7),7)11.[2024·潍坊二模]已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝eq\f(1,2)，则()A.1≤|c|≤eq\f(3,2)B.(c－a)·(c－b)的最大值为eq\f(1＋2\r(5),4)C.－1≤b·c≤1D.若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－eq\f(\r(5),4)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.[2025·辽阳模拟]写出一个满足①z2的实部为5；②z的虚部不为0这两个条件的复数z＝________.13.[2025·潍坊模拟]如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sinx图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝________.14.[2025·天津河西区模拟]如图，动点C在以AB为直径的半圆O上(异于A，B)，DC⊥BC，DC＝BC，AB＝2，|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________；eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)[2024·济宁模拟]已知复数z1＝t＋(t2－1)i，z2＝sinθ＋(2cosθ＋1)i，其中t∈R，θ∈[0，π].(1)若z1，z2∈R，且z1＞z2，求t的值；(2)若z1＝z2，求θ.16.(15分)[2024·聊城模拟]如图，在平面直角坐标系中，三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))满足条件：|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为α，且tanα＝2，eq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为45°.(1)求点A，B，C的坐标；(2)若点P为线段OC上的动点，当eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最小值时，求点P的坐标.17.(15分)[2025·张家口模拟]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边BC上一点，且满足(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.(1)证明：AD＝b；(2)若AD为内角A的平分线，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，求sinA.18.(17分)[2023·镇江模拟]数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知AB＝2，O为BC的中点，点P，Q分别在弧AC、弧AB上，设∠PBC＝∠ACQ＝θ.(1)当θ＝eq\f(π,6)时，求|eq\o(PQ,\s\up6(→))|；(2)求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))的取值范围.19.(17分)[2025·徐州模拟]通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1，z2)(z1，z2∈C)看作一个向量，记a＝(z1，z2)，则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a＝(z1，z2)，b＝(z3，z4)，z1，z2，z3，z4，λ∈C，我们有如下运算法则：①a±b＝(z1±z3，z2±z4)；②λa＝(λz1，λz2)；③a·b＝z1eq\o(z,\s\up6(－))3＋z2eq\o(z,\s\up6(－))4；④|a|＝eq\r(a·a).(1)设a＝(i，1＋i)，b＝(2，2－i)，求a＋b和a·b.(2)由