专题30 立体几何必刷31道大题（好题速递）（解析版）

11/11专题30立体几何必刷31道大题【题型01：空间中的距离问题】1．（24-25高二上·吉林白山·月考）如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点.

(1)求点E到直线BF的距离(2)求与平面所成角的正弦值；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到直线的距离，从而得解；（2）利用（1）中结论，求得向量与平面的法向量，利用向量法求得线面角的正弦值，从而得解.【详解】（1）因为正方体的棱长为，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，所以，，则在的投影长度为，且，所以点E到直线BF的距离为.（2）由（1）得，，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设与平面所成角为，，则，所以与平面所成角的正弦值为.2．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点.

(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值；(2)求点B到平面CDE的距离；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，利用异面直线所成角的空间向量计算方法即可解答.（2）先求出平面CDE的法向量和；再根据点到直线距离的空间向量计算方法即可求解.【详解】（1）因为底面，，所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，，是棱的中点，，则，，，，，.则，.所以，，.设异面直线AE和PD所成角为，则.（2）因为，，，所以，.设平面的法向量为，则，取，可得，，则.又因为，所以点B到平面CDE的距离为.3．（24-25高二上·云南楚雄·月考）如图，在长方体中，，，，求：

(1)点到直线的距离；(2)平面与平面间的距离.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据条件求得，，再利用点线距的向量法，即可求解；（2）根据条件得到平面平面，从而将面面距转化成点面距，求出平面的一个法向量及，再利用点面距的向量法，即可求解.【详解】（1）以点为坐标原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，因为，，，则，，，所以，，所以点到直线的距离为.

（2）由（1）知，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，得到，取，得到，所以，易知，面，面，所以面，又，面，面，所以面，又，面，所以平面平面，所以平面与平面间的距离即为点到平面的距离，又点到平面的距离为，所以平面与平面间的距离为.4．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若，且点到平面的距离为，求的值．【答案】(1)证明见解析(2)；(3)．【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值；（3）由（2）可得，再由求解即可.【详解】（1）如图，连结，交于点，连结，因为点是的中点，底面为矩形，所以点是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，则，，设平面的法向量，则，令，，，所以平面的法向量，且平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.（3）由（2）可得，，，，，，平面的法向量，故，设点与平面的距离为，则，解得．【题型02：求线面角】5．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图，正三棱柱的所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过点在平面内作于，连接，推导出四边形为平行四边形，可得出，由中位线的性质得出，则，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）过点在平面内作于，连接，在直三棱柱中，平面，平面，故，在平面内，因为，，故，因为为的中点，故为的中点，所以，因为，，为的中点，所以，，所以，，故四边形为平行四边形，所以，由题意可知，为的中点，所以，故为的中点，又因为为的中点，所以，故，因为平面，平面，所以平面.（2）由已知得，如图，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，，所以.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.6．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，点在棱上，．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法证明线面平行；（2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可.【详解】（1）如图，取的中点，连接，则，且，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，建立如图空间直角坐标系，由，得，则，由，得，即，得，解得，即.所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，有，则，又平面，所以平面.（2）由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，设与平面所成角为（为锐角），则，所以，即与平面所成角的余弦值为.7．（24-25高二下·江苏连云港·月考）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点.(1)求证：平面平面；(2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，可得答案；（2）由（1）的空间直角坐标系，求得平面的法向量与直线的方向向量，可得答案.【详解】（1），，所以，又，，又，，，.在直四棱柱中，平面，又平面，所以，，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，.，，，设为平面的一个法向量，令，得，.设平面的一个法向量，则，取，又平面与平面不重合，平面平面.（2）当时，为平面的一个法向量，，则，设，，，设直线与平面所成角为，，当且仅当时，等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【题型03：已知线面角求其他量】8．（24-25高二下·江苏南京·月考）如图，在棱长为2的正方体中，P为棱的中点，Q为棱所在直线上一点，且（）.(1)若，求直线与所成角的余弦值；(2)若直线与平面所成角为45°，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，再根据向量的夹角公式求出两向量夹角的余弦值，进而得到异面直线与所成角的余弦值；（2）同样先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标，再求出平面的法向量，最后根据直线与平面所成角的向量公式列出方程，求解得到的值.【详解】（1）建立空间直角坐标系并求点的坐标：以为正交基底，建立空间直角坐标系.已知正方体棱长为，则，，.因为为棱的中点，，，所以点坐标为；又因为，，所以点坐标为.所以，.根据向量的夹角公式，，，所以.因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.（2）因为，，所以点坐标为.那么，，.

设平面的法向量为，有，即.令，得，解得；把，代入得，解得.所以.

已知直线与平面所成角为，根据线面角向量关系（为线面角），则.等式两边同时平方得.化简：，即.展开得.移项整理得，又因为，所以，解得.

9．（24-25高二下·河南洛阳·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，，，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上.

(1)求证：；(2)是否存在点Q，使DC与平面DEQ所成角的正弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，或.【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OB，结合等边三角形的性质利用线面垂直的判定定理得平面PBO，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，设，，则，求出平面DEQ的法向量，利用线面角的向量公式列方程求出，即可得解.【详解】（1）证明：取AD中点O，连接OP，OB.∵，∴，在菱形ABCD中，，可得为等边三角形，∴，又∵PO，平面PBO，且，∴平面PBO，∵平面PBO，∴.

（2）解：∵，平面平面ABCD，平面平面，且平面PAD，∴平面ABCD，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，假设存在点Q满足题意，设，，则，∴，，，，设平面DEQ的法向量为，则令，则，，∴.设DC与平面DEQ所成角为，则，解得或.∴存在点Q，使得DC与平面DEQ所成角的正弦值为，此时或.10．（24-25高二下·天津河东·期末）如图，在多面体ABCDPE中，已知平面PDCE⊥平面ABCD，其中四边形PDCE为矩形，底面四边形ABCD满足，AB⊥AD，∥(1)求证：平面(2)求三棱锥外接球的体积：(3)F为PA的中点，点Q在线段EF上，若直线BQ与平面PBC所成角的大小为求FQ的长．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由面面垂直的性质定理及判定定理即可证明；（2）根据几何体外接球半径的求法，结合球的体积公式即可求解；（3）建立空间直角坐标系，设，根据向量的线性运算可得，再利用线面角的向量法求出，再根据空间向量的模长公式即可求解.【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）知平面，平面，所以，所以Rt的外心为的中点，所以，所以平面，因为，所以Rt的外心为的中点，所以点为三棱锥外接球的球心，，所以外接球的半径，则三棱锥外接球的体积为；（3）因为平面，所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，所以设线段上存在一点，使得与平面所成角的大小为，设，则，所以，，设平面的法向量为，则，取，则，则，因为与平面所成角的大小为，所以，即，整理得，所以，此时点与点重合，所以，则．【题型04：求二面角或平面与平面所成角】11．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图（1），在平面四边形中，，，形如这样的四边形称为“筝形”，将沿着翻折得到三棱锥，如图（2），设的中点为.(1)证明：平面平面；(2)在图（2）中，若，，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过线面垂直可证明面面垂直；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算两平面夹角的余弦值.【详解】（1）由题意得，，，为的中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）过点作于点，由得为中点.因为，，所以,,,所以.由（1）得，平面平面，又平面平面，平面，所以平面.如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的法向量为，则，取,则.设平面的法向量为，则，取,则.因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.12．（24-25高二下·广西崇左·期末）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，．(1)证明：底面．(2)过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积．(3)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见详解(2)点在中点，理由见详解；(3)【分析】（1）根据勾股定理可得和，再利用线面垂直的判定即可证明；（2）由题知点在中点，先证平面，得到，又，即可证平面，即点在中点；由底面，点为中点，得到即可求得四面体的体积；（3）以为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用二面角与平面法向量的关系即可求解.【详解】（1）证明：，，，即，又，，为正三角形，所以，，即，又平面，所以底面（2）点在中点，理由如下，底面，底面，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又为中点，，所以，又平面，所以平面，故点在中点，，，，底面，，所以四面体的体积为.（3）设中点为，连接，，，即，，底面，所以以为原点建立空间直接坐标系，，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，，，所以二面角的正弦值为.13．（24-25高二下·云南丽江·期末）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若且，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接，，即证，利用线面平行的判断定理即可求解；（2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1）如图，连接，，由已知得四边形是矩形，故与交于点，且点为中点，又是的中点，所以．又平面内，平面，所以平面；（2）由于在直三棱柱中，平面底面，且平面平面故过在平面内作直线，所以直线平面，又，平面，所以，，由于直线，，两两垂直，故分别以直线，，为轴、轴、轴，建立如图所示坐标系．

由于，设，则，故，，，，设点，由于，，，所以，即，故，设平面的法向量为，，，由于，所以令，则，即，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，则，由于，所以，所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围是．【题型05：已知二面角求其他量】14．（24-25高二下·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点．(1)证明：平面；(2)当二面角的余弦值为时，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在四棱锥中由勾股定理计算可证明，，结合线面垂直判定定理可得出结论；（2）建立空间直角坐标系分别求出平面和平面的法向量，设，再利用二面角的余弦值解方程可得.【详解】（1）在四棱锥中，由，，，，得，，则，，又，且，平面，所以平面．（2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：则，可得，，，设（），则，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量为，由，解得，令，，得，由二面角的余弦值为，得，即，整理得，解得，所以．15．（24-25高二下·湖南·月考）如图，是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面．(1)求证：；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）过点作于，应用面面、线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论；（2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于，建立合适的空间直角坐标系，应用向量法，结合面面角的余弦值，求解即可.【详解】（1）过点作于，由平面平面，平面平面，平面，平面，平面，故，又为直径，易知，且由于，，则不可能重合，重合的话，与三角形内角和矛盾.则平面，所以平面，平面，，且，平面，，平面，平面，故.（2）由（1）知，当时，取到最大值，过点作于，建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴的空间直角坐标系，如下图所示：设平面与平面的法向量分别为，易知平面的法向量可取，则，设，则，则，所以，则，令，可得，由于平面与平面夹角的余弦值.则，因此，即，即，即，解得或(舍去).此时，，则.故线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值等于，且.16．（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直.（2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值.（3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值.【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，.因为，，，，且，所以，，.因为，所以.

所以图2中，，，平面，所以平面.平面.所以.（2）又因为，由，即，所以.所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，，，.因为为中点，所以.所以，，.设平面的法向量为，则，取.设直线与平面所成的角为，则.（3）因为，所以所以，即.则，，，.设平面的法向量为，则，取.设平面的法向量为，则,取.设二面角为，由得：.即，整理得：，解得：或.【题型06：平行中的探索性问题】17．（24-25高二上·广东广州·月考）在四棱锥中，面面，，，，，．(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，的值为【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直.（2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可.【详解】（1）平面平面且平面平面，平面平面平面又，平面.平面平面平面.（2）假设在棱上是否存在点，使得平面取中点，连接，，如下图，，，，从而，故平面，又平面平面且平面平面，平面，以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图：由题意可知，，，，，设点在棱上，故，，故设平面的法向量为故，令，则，从而平面的法向量可以取平面，解得，故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时即，从而18．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，.【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可.【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，因为线段点，所以为线段的中点，所以中，，因为平面，平面，所以平面；（2）因为平行四边形中，，所以四边形是菱形，则，垂足为，所以，，因为平面，平面，所以是二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，即，如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系，线段上存在点，使得平面平面，设，，因为，所以，由设平面的法向量为，则，令，则，由，设平面的法向量为，则，令，则可得，则，解得，即为线段的中点，此时.【题型07：垂直中的探索性问题】19．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点，为侧棱上的动点.(1)求证：平面平面；(2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可.【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面，，，为的中点，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，设，则，，，若，则，解得，所以存在，使得直线，此时.20．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可；（2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可.【详解】（1）证明：设的中点为，连接，因为P为的中点，Q为的中点，所以，，，在直三棱柱中，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.（2）在直三棱柱中，平面，，故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，，又，则，所以，若平面，则，则，解得，所以线段上存在点P，使得平面，此时.21．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.

(1)证明：；(2)求点到平面的距离；(3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，答案见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离.（3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解.【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得，又平面平面，平面平面，面ABC，则平面，又平面，于是，而，则，又，平面，因此平面，又平面，所以

（2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高，由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为，设点到平面的距离为d，由，得，而，，则的面积，由，，得，又，，则，又，，由余弦定理得，则，的面积，则，即，所以点到平面的距离为.（3）

取的中点为，连接，因为四边形是菱形，且，所以，，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，，即，如图，以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，，所以，可得，，设平面的法向量为，则，可得，，设平面的法向量为，则，可得，使得平面平面，则，解得，故上存在一点，当时，平面平面.【题型08：距离中的探索性问题】22．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．(1)求线段的长度；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度；（2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值；（3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论.【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以；因为平面平面，又平面平面，又面，所以平面；取边的中点记为，则；以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以；（2）由（1），，，，所以，，，记平面的法向量为，所以，不妨取，得，所以为平面的一个法向量；记直线与平面的所成角为，则，所以，直线与平面的所成角的正弦值为；（3）设，其中，，，，，，记平面的一个法向量为，则有，不妨取，解得，即；则点到平面的距离，整理得：即，解得或（舍去），所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．23．（24-25高二下·湖北·月考）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，（I）求三棱锥的体积；（II）试问在侧面内是否存在一点，使得平面?若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)（I）8；（II）存在，【分析】（1）通过证明平面可完成证明；（2）（I）在平面内作于，连接，由面面垂性质可得平面，据此可得，，即可得体积；（II）方法1，以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，假设在侧面内存在点，设，由平面，可得点N坐标，然后由向量知识可得答案；方法2，由题可得点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，由（I）可得，然后由图及勾股定理可得答案.【详解】（1）由四边形是直角梯形，，，可得，，从而是等边三角形，，BD平分.∵E为的中点，，，又，，平面，平面平面，平面，所以平面平面.（2）（I）在平面内作于，连接，由（1）有平面，又平面，∴平面平面.因为平面平面，平面，平面为与平面所成的角，则，由题意得，，，为的中点，.又，所以三棱锥P-BDC的体积为；（II）方法一：（向量法）以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，由题意得，，，，由，得，解得，，满足题意，，点N存在.，，，所以，，，所以点到直线PC的距离方法二：（传统方法）由条件可知，，且三角形为，的等腰锐角三角形，所以点B在三角形内的射影N为等腰锐角三角形的外心，所以点N必在侧面PCD的内部.由（I）知三棱锥的体积为，，由体积转化可得，，在直角中，由勾股定理可得，E为PC的中点，所以点到直线PC的距离【题型09：线面角、二面角中的探索性问题】24．（24-25高二上·广东·期中）如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．(1)证明：在翻折过程中总有平面平面；(2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为上靠近的三等分点.【分析】（1）先证平面，结合面面垂直的判定定理证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置.【详解】（1）折叠前，四边形是菱形，所以，由分别是边的中点，所以，故，折叠过程中且都在面，所以面，故面，面，所以面面.（2）当面面时，由面面，面，，所以面，又面，故，综上，可建立如下空间直角坐标系，则，所以，设，则，所以，则，，设面的法向量为，则，取，则，而面的一个法向量为，若面与面的夹角为，则，解得，所以为上靠近的三等分点，满足题设要求.25．（24-25高二下·四川南充·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点．(1)求证：平面平面；(2)二面角的大小；(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角为．若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用中位线的性质证得，再利用线面垂直证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角；（3）利用向量法结合空间向量的线性运算表示出线面角，求出的系数不符合题意，即可得到结论.【详解】（1）连接与交于点，连接，底面为菱形，点为的中点，点为的中点，又平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面，且底面为菱形，两两垂直.以为原点，以向量方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，底面为菱形，且，则为等边三角形，，，分别为的中点，，则，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，底面为菱形，，平面平面，且平面平面平面，平面，为平面的一个法向量，设二面角大小为，则．所以二面角的大小为；（3）不存在，理由如下：因为点在线段上，设，由可得，则，则，则，由题意，若直线与平面所成夹角为，则，整理得，解出又因为，所以不符合题意，故线段上不存在这样的点．26．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离；(3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可；（3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可.【详解】（1）由平面平面，则，又，由，且平面，所以面，又面，所以平面平面.（2）由（1）易知，又，过作于，由面面，面面面，所以面，过作，易知，故可构建如图示空间直角坐标系.又，则，所以，若是面的一个法向量，则解得，所以点到平面的距离.（3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量设，于是，，设是平面的一个法向量，则，令，因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，整理得，即或（舍）故，所以27．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.(1)证明：无论取何值，总有；(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值；(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)；(3)存在；点的位置在【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值；（3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，即，，∵，∴，所以无论取何值，.（2）∵是平面ABC的一个法向量.∴∴当时，取得最大值，此时，，.（3）假设存在，则，因为，设是平面的一个法向量.则，解得，令，得，，∴，∴，化简得，解得，∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在.【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度.【题型10：折叠问题】28．（24-25高二下·广东深圳·期末）如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点.(1)证明：平面平面：(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用已知条件及面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而可求解.【详解】（1）连接，交于点，连接，，在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，又，是等边三角形，，，又，，平面，平面，平面，，，又是的中点，，又，、平面，平面，平面，平面平面；（2）在边长为2的菱形中，，，以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，，，解得，又折叠过程中，，，解得，，，，由（1）知平而，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取，则，，，设平面与平面夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为.29．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析；【分析】（1）根据全等三角形性质，利用线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得；（2）利用空间向量，求出平面法向量以及直线的方向向量，根据线面角与空间向量之间的关系即可求得结果；（2）设，利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度．【详解】（1）在图1连接交于点，在图2中，知、都是等边三角形，得，，又，平面，可得平面；又直线平面，所以.（2）因为，，则在中，由，由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，，如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，因此，设平面的法向量为