2012年湖南长沙市中考数学试题【含答案解析】

试卷第=page66页，共=sectionpages66页试卷第=page11页，共=sectionpages66页2012年湖南长沙市中考数学试题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算不正确的是（

）A． B．C． D．2．下列四个图案中，是轴对称图形的为（

）A． B． C． D．3．截至2013年3月底，某市人口总数已达到4230000人.将4230000用科学记数法表示为A．0.423×107 B．4.23×106 C．42.3×105 D．423×1044．下列运算正确的是（）A． B． C． D．5．某函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，则该函数的表达式可能是（

）x012y0246A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（

）A． B． C． D．7．不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（

）A． B．C． D．8．下列事件是必然事件的是（）A．某种彩票的中奖率是10%，则买这种彩票100张一定中奖B．如果有两个角是同位角，那么这两个角一定相等C．三角形的内角和180°D．打开电视机，它正在播放动画片9．下列各数中：+5、-2.5、、2、、-（-7）、0、，负有理数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10．下列事件是必然事件的是（

）A．任意一个三角形，它的内角和等于B．掷一枚硬币，正面朝上C．明天早上会下雨D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等11．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页?如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是【

】A． B．C． D．12．如图,等边的边长为，D是上一点，过D作的垂线，与的另一边交于点E，设线段的长度为，的面积为，则s关于x的函数图象大致为（

）A． B． C． D．二、填空题13．某村小卖部一星期的营业额如图所示，这组数据的中位数是．14．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按2元收费；用水超过10吨，超过10吨的部分按每吨3元收费．王老师家九月份水费为（）吨，则王老师应付水费为元．15．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是．16．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．三、解答题17．计算：(1)；(2)．18．先化简，再求值：其中是二元－次方程组的解．19．已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：．20．在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动，活动中为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，学生会在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择并且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．(1)这次调查中，一共调查了___名学生．(2)求扇形统计图中“D”所在扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；(3)若全校有名学生，请估计喜欢B类书籍的学生约有多少名？21．问题提出（1）如图①，在等腰中，，在的边上存在一点，使得，则此时面积为_____；问题探究（2）如图②，在中，，，点是平面内一点，且，请在图中作出满足条件的所有点，并求出面积的最大值；问题解决（3）如图③，是某小区一块空地，为了提高小区居民的生活质量和社区的整体形象，物业计划将这块空地打造成一个宜人舒适的休闲场所，为满足居民的多样化需求，现要在内部规划一个花园和一个休息区，其余部分设计为娱乐区，在点处分别设置一个出水口方便花园浇水，为花园水管管道，根据设计要求，且，根据实际需求，要令休息区的面积尽可能大，而管道的长度尽可能短．已知，，米，求面积的最大值及线段长的最小值．（管道宽忽略不计，结果保留根号）22．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进种型号的衣服9件，种型号的衣服10件，则共需1810元；若购进种型号的衣服12件，种型号的衣服,8件，共需1880元；已知销售一种种型号衣服可获利18元，销售一种种型号衣服可获利30元，要时这次销售获利不少于699元，且种型号衣服不多于28件.（1）求型号的衣服进价各是多少元？（2）已知购进型号衣服是型号衣服的2倍还多4件，则商店这次进货中一共有几种方案.23．已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D．

(1)若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为______；(2)若折叠后点B落在边OA上的点为，设，，试写出y关于x的函数关系式，并确定y的取值范围；(3)若折痕经过点O，请求出点B落在x轴上的点的坐标；(4)若折叠后点B落在的x轴上的点为，且使是直角三角形，直接写出点C的坐标．24．如图，二次函数的图象与轴交于点A，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形．(1)点A的坐标为_____；(2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标；(3)若矩形的面积为10，则的最大值是_____．25．如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于．(1)当时，求线段的长；(2)在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．(3)设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围．答案第=page88页，共=sectionpages2424页答案第=page99页，共=sectionpages2424页《初中数学中考试卷》参考答案题号12345678910答案ABBBACCCBA题号1112答案AC1．A【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘除、合并同类项．根据有理数的乘方、有理数的乘除、合并同类项的运算法则计算即可求解．【详解】解：A、，本选项符合题意；B、，本选项不符合题意；C、，本选项不符合题意；D、，本选项不符合题意；故选：A．2．B【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：B【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．3．B【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．【详解】4230000一共7位，从而4230000＝4.23×106．故选B．4．B【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则逐项判断即可．【详解】解：A．原式，错误；B．原式，正确；C．原式不能合并，错误；D．原式，错误，故选：B．5．A【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是关键．将点代入解析式不能满足选项B、D，选项C自变量x不能为0，即可确定正误．【详解】解：A、将表格中的对应值代入验证都满足关系式，故符合题意；B、将代入解析式，左边，右边，不满足解析式，故不符合题意；C、函数的自变量x不能取0，故不满足解析式，不符合题意；D、将点代入解析式，左边，右边，不满足解析式，不符合题意．故选：A．6．C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出．【详解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案为：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是，在数轴上表示出不等式组的解集为：故选：C．8．C【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断.【详解】A、是随机事件，故选项错误；B、两直线平行同位角才一定相等，故选项错误；C、是必然事件，故选项正确；D、是随机事件，故选项错误.故选C.【点睛】本题考查了随机事件，解题的关键是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.9．B【分析】利用负有理数的定义判断即可．【详解】解：负数有理数有：-2.5、、，共3个．故选：B．【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握负数的定义是解本题的关键．10．A【分析】根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可．本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：A、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意；B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；C、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意；D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意；故选：A．11．A【详解】如果设读前一半时，平均每天读x页，则后一半平均每天读页，两周内读完，据此可列方程，故选A12．C【分析】本题是动点问题的函数图象探究题．考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的相关知识，根据动点到达临界点前后的图形变化，列出函数解析式，进而即可判断．【详解】解：当时，，当时，，，，综上所述，函数图象在时，是开口向上的抛物线的一部分，当时是开口向下的抛物线的一部分，故选：C．13．80【解析】略14．【分析】根据收费标准“每月用水不超过10吨，按每吨2元收费，超过10吨，超过10吨的部分按每吨3元收费”列式即可．【详解】解：依题意得：故答案为：【点睛】本题考查的是列代数式的内容，关键是理解题目意思，找出等量关系．15．【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式，其中为底面圆的半径，为圆锥母线长，是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式，计算求解即可．【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积为，故答案为：．16．8,,【分析】分3种情况分析：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；sin∠OAH=sin∠PAG，，PG=，∠AOH=∠P，cos∠AOH=cos∠P，，BC=PC－2PG；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，cos∠APC=cos∠AOK，，，BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∠C=∠CAB，BC=AB．【详解】解：（1）当AB=AP时，如图（1），作OH⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；∵AB=AP，∴，∵AO过圆心，∴AG⊥PB，∴PG=BG，∠OAH=∠PAG，∵OH⊥AB，∴∠AOH=∠BOH，AH=BH=4，∵∠AOB=2∠P，∴∠AOH=∠P，∵OA=5，AH=4，∴OH=3，∵∠OAH=∠PAG，∴sin∠OAH=sin∠PAG，∴，∴PG=，∵∠AOH=∠P，∴cos∠AOH=cos∠P，，∴，∴BC=PC－2PG=；（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．故答案为或或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质；解直角三角形．17．(1)(2)【分析】题目主要考查实数的混合运算，完全平方公式及平方差公式，熟练掌握各个运算法则是解题关键．（1）利用负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方法则计算即可求出值；（2）利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【详解】（1）解：；（2）．18．，【分析】本题考查分式化简求值，加减法解二元一次方程组，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．先根据分式混合运算法则和顺序计算，将分式化简，然后用加减法解二元一次方程组得到，然后整体代入计算即可．【详解】解：原式由方程组，得．原式19．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，得到，从而得出，再证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．【详解】证明：在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．20．(1)(2)，统计图见解析(3)估计喜欢B类书籍的学生约有人【分析】（1）利用A类的学生人数和人数占比即可求出总人数；（2）用乘以D类的人数占比即可求出对应的圆心角度数；先求出C类的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用乘以样本中B类的人数占比即可得到答案．【详解】（1）解：人，∴这次调查中，一共调查了名学生，故答案为：；（2）解：，∴D所在的扇形圆心角的度数为，人，∴C类的学生人数为人，补全统计图如下所示：（3）解：人，∴估计喜欢B类书籍的学生约有人．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．21．（1）4，（2）图见解析，，（3）面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米【分析】（1）由题意得，得到，代入数据求解即可；（2）以为边作等边，等边，作，的外接圆．则满足条件的点或在，上，当点与或点与重合时，，的面积最大，据此求解即可；（3）先判断点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大．在延长线上截取，连接．可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当，，三点共线时最短，据此求解即可．【详解】解：（1）∵等腰，∴，∵，∴，即，∴，∴，故答案为：4；（2）如图②，以为边作等边，等边，作，的外接圆．，满足条件的点或在，上，当点与或点与重合时，，的面积最大，面积的最大值=．面积的最大值为；（3），．．，，点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，作的外接圆，连接，，，则，要使面积最大，则点到的距离最大即可．当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大．设时与交于点，则．，，．．．．则，．在延长线上截取，连接．，，．，．．．由前述可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当，，三点共线时最短，此时，，．，，在中，，，，当最小时，，．综上所述，面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．22．（1）型号的衣服进价分别是元/件和元/件；（2）共有3种进货方案.【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价=1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价=1880；（2）根据：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．【详解】解：⑴.设型号A,B的衣服进价分别是元/件和元/件，则根据题意可列：

解得：答：A,B型号的衣服进价分别是元/件和元/件.⑵.设购进型号衣服件，则购进型号衣服件，由题意得：解得∵是整数∴可取10,11,12∴对应的分别为24,26,28.答：共有3种进货方案.【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的实际运用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系与等量关系．23．(1)，(2)，(3)点坐标(4)或【分析】（1）根据对折得出，根据求出点C的坐标即可；连接，推出，设则在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；（2）连接，得出在中，由勾股定理得出方程，由（1）即可得出y的范围，求出即可；（3）根据已知得出，即可得出答案；（4）连接，和相似，求出的坐标，再利用求出点C的坐标即可．【详解】（1）如图（1），

∵，延折叠后使点B与点O重合，∴，∴C的坐标是，如图（2）连接，

∵，延折叠后使点B与点A重合，∴，推出，设在中，设则在中，由勾股定理得：，，解得：，即C，故答案为：，．（2）如图（3）连接，

∵延折叠后使点B与点重合，∴在中，由勾股定理得：，∴，即，y的取值范围是．（3）如图（4）

∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点，∴，即的坐标是．（4）如图（5）连接，，则，，

当时，∵，∴∴,∴,解得，，∴在中，由勾股定理得：，解方程得：，∴C的坐标是．当时，

∵，∴∴,∴,解得，，∴在中，由勾股定理得：，解方程得：，∴C的坐标是．综上所述，C的坐标是或．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度，