《函数的应用（一）》教学设计

《函数的应用（一）》教学设计教学设计一、谈话导入因为函数可以描述一个量依赖于另外一个量变化而变化的情况，所以函数的知识在实际生活中有着广泛的应用，下面来看几个例子.二、例题讲解例1为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.分档户年用水量/综合用水单价/（元·）第一阶梯0-220（含）3.45第二阶梯220-300（含）4.83第三阶梯300以上5.83记户年用水量为时应缴纳的水费为元.（1）写出的解析式；（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？想一想：如何来解决这个实际问题呢？解（1）不难看出，是一个分段函数，而且：当时，有；当时，有；当时，有.因此（2）因为，所以，因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元.说明：通过例1，使学生感受生活中处处有数学，教师引导学生讨论、分析题目中涉及哪些数量关系，如何建立数学模型，并能给出问题的解答.解答例1应注意：（1）建立分段函数模型.（2）注意字母的实际意义，各段函数中自变量的取值范围.教师、学生总结求解实际问题的步骤；（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原.例2城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第（限定）年的城镇常住人口为亿.写出的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数.教师引导学生学习例2，本题是建立一次函数模型，需要通过题意列出方程组，求出，.解因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以是一次函数，设，其中，是常数.注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此即解得，.因此，且.又因为2017年是1978年后的第2017-1978=39年，而且，所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿.想一想：例2中我国2017年的城镇常住人口数的估算还有其他算法吗？请同学们作为课后作业分析、讨论.例3某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？分析可以通过试算来理解题意，如下表所示.提价/元每间房单价/元客房出租数租金总收入/元02001603200020220150330004024014033600602601303380080280120336001003001103300012032010032000解设每间房单价提高个20元时，每天客房的租金总收入为元.因为此时每间房单价为元，而客房出租数将减少间，即为间，因此.从而可知，当时，.因此每间房单价为200+20×3=260元时，每天客房的租金总收入最高.例4某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？解设矩形的长为时，场地的面积为.因为矩形的周长要为，所以矩形的宽为，由可解得.又因为，所以当时，，此时矩形的宽为.即所围矩形是长、宽都为的正方形时，场地面积最大.说明：例3以农家旅游公司的客房价格为背景、例4以矩形场地的面积为背景考查二次函数模型的实际应用.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求二次函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.例5已知某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为时的平均成本为.（1）求的解析式；（2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值.解（1）将，代入中，可得，从而，于是.因此.（2）因为，且，即时，上述等号成立，因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60.说明：例5以某产品的年产量、成本为背景考查对勾函数模型的实际应用，需要利用均值不等式求最值.教师提醒学生注意：（1）本题中的自变量是.（2）本题是对勾函数模型，即形如：.（3）利用均值不等式求最值，要注意等号是否成立.三、课堂练习教材第124页习题3-3A第1，2题.学生独立完成练习，再讨论交流，教师讲解评价.四、课堂小结1.常见函数模型：（1）（为常数，）；（2）（，为常数，）；（3）（，，为常数，）；（4）（5）.2.求解实际问题的思路：五、布置作业教材第124页习题3-3A第3题；教材第124页习题3-3B第2题.板书设计3.3函数的应用（一）例1为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.分档户年用水量/综合用水单价/（元·）第一阶梯0-220（含）3.45第二阶梯220-300（含）4.83第三阶梯300以上5.83记户年用水量为时应缴纳的水费为元.（1）写出的解析式；（2）假设居住在上海的张明一家2015年共用水260，则张明一家2015年应缴纳水费多少元？例2城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第（限定）年的城镇常住人口为亿.写出的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数.例3某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？例4某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总