2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《概率初步》

第28页（共28页）2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《概率初步》一．选择题（共10小题）1．（2025春•宝丰县期中）若n为整数，关于代数式（3n+3）（2n+2）﹣6的值，下列说法属于随机事件的是（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除2．（2025春•织金县期中）下列成语所描述的事件中，是必然事件的是（）A．水中捞月 B．旭日东升 C．一步登天 D．守株待兔3．（2025•沈阳一模）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（）A．12 B．13 C．14 4．（2025春•沈阳期中）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若a是有理数，则|a|≥05．（2025•西丰县校级二模）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（）A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次6．（2025•天心区校级模拟）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl（盐酸），H2SO4（硫酸），NaOH（钠碱），KOH（钾碱），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（）A．12 B．13 C．16 7．（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点8．（2025•乌当区二模）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（）A．抽10次奖必有一次抽到一等奖 B．抽一次不可能抽到一等奖 C．抽10次也可能没有抽到一等奖 D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖9．（2024秋•迪庆州期末）下列事件是必然事件的是（）A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明 D．打开电视机，正在播放动画片10．（2025•东台市一模）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（）A．16 B．13 C．12 二．填空题（共5小题）11．（2025春•重庆期中）现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是．12．（2025•厦门模拟）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为13，则布袋中黑球的个数为13．（2025•新疆三模）随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为．14．（2025•南安市模拟）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是．15．（2025•南山区模拟）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：种子数307515020040080012002500发芽数286914119238877811672435发芽频率0.9330.9200.9400.9600.9700.9730.9730.974根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是．（结果精确到0.01）三．解答题（共5小题）16．（2025•威远县校级模拟）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是°；（2）请将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．17．（2025春•高新区校级期中）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去．（1）求抽到印有4的卡片的概率；（2）你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平．18．（2024秋•万全区期末）“记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部万全区非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为A﹣旧堡戏装，B﹣龙池屯打棍，C﹣洗马林麻叶制作技艺，D﹣高庙堡缸坊酒酿造技艺．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台．（1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是事件．（填“不可能”“随机”或“必然”）（2）补全下列表格，并求出淇淇选择“A﹣旧堡戏装”和“C﹣洗马林麻叶制作技艺”两个短视频观看的概率．19．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝，b＝；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？20．（2024秋•安顺期末）某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从学生成绩都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95．八（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数32ab2【分析数据】八（1）班和八（3）班20名学生成绩分析表平均数中位数众数方差八（1）班91n9536.5八（3）班9190p26.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图，并求出n＝，p＝；（2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？（3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．

2025年暑期新高一数学人教新版学困生专题复习《概率初步》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABCDADDCBA一．选择题（共10小题）1．（2025春•宝丰县期中）若n为整数，关于代数式（3n+3）（2n+2）﹣6的值，下列说法属于随机事件的是（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除【考点】随机事件；多项式乘多项式．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据多项式乘多项式把原式化简，再根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：（3n+3）（2n+2）﹣6＝6n2+6n+6n+6﹣6＝6n2+12n＝6（n2+2n），∵n为整数，∴6（n2+2n）能被6整除，∴代数式（3n+3）（2n+2）﹣6的值被9整除是随机事件，被6整除、被3整除、被2整除是必然事件，故选：A．【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（2025春•织金县期中）下列成语所描述的事件中，是必然事件的是（）A．水中捞月 B．旭日东升 C．一步登天 D．守株待兔【考点】随机事件．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】B【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，不是必然事件，不符合题意；B、旭日东升是必然事件，符合题意；C、一步登天是不可能事件，不是必然事件，不符合题意；D、守株待兔是随机事件，不是必然事件，不符合题意，故选：B．【点评】此题考查了随机事件，熟知必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．3．（2025•沈阳一模）某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考点】列表法与树状图法．【专题】常规题型．【答案】C【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出从入口1进入并从出口A离开的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：画树状图得：所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=1故选：C．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．（2025春•沈阳期中）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．打开电视频道，正在播放足球赛 D．若a是有理数，则|a|≥0【考点】随机事件；绝对值；非负数的性质：绝对值．【专题】概率及其应用．【答案】D【分析】根据事件发生可能性的大小进行解题即可．【解答】解：A、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；B、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；C、是可能发生也可能不发生的事件，属于不确定事件，不符合题意；D、是必然事件的是：若a是实数，则|a|≥0，符合题意；故选：D．【点评】本题考查绝对值、必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．5．（2025•西丰县校级二模）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（）A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中3次 D．小星定点投篮3次，一定投中1次【考点】概率的意义；利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】A【分析】根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可．【解答】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，A正确，B错误；小星定点投篮10次，不一定投中3次，C错误；小星定点投篮3次，不一定投中1次，D错误．故选：A．【点评】本题主要考查了概率的意义，利用频率估计概率，熟知以上知识是解题的关键．6．（2025•天心区校级模拟）酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl（盐酸），H2SO4（硫酸），NaOH（钠碱），KOH（钾碱），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（）A．12 B．13 C．16 【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】统计与概率；数据分析观念．【答案】D【分析】会发生中和反应的有HCl和NaOH，HCl和KOH，H2SO4和NaOH，H2SO4和KOH，列表可得出所有等可能的结果数以及会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有4瓶溶液标签缺失，已知其分别为HCl（盐酸），H2SO4（硫酸），NaOH（钠碱），KOH（钾碱），若从中任取2瓶混合，根据题意可得列表如下：HClH2SO4NaOHKOHHCl（HCl，H2SO4）（HCl，NaOH）（HCl，KOH）H2SO4（H2SO4，HCl）（H2SO4，NaOH）（H2SO4，KOH）NaOH（NaOH，HCl）（NaOH，H2SO4）（NaOH，KOH）KOH（KOH，HCl）（KOH，H2SO4）（KOH，NaOH）共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率为23故选：D．【点评】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．7．（2025•鞍山模拟）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点【考点】游戏公平性；三角形的角平分线、中线和高；线段垂直平分线的性质；概率公式．【专题】几何图形；应用意识．【答案】D【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解．【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行，∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．故选：D．【点评】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键．8．（2025•乌当区二模）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（）A．抽10次奖必有一次抽到一等奖 B．抽一次不可能抽到一等奖 C．抽10次也可能没有抽到一等奖 D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【考点】概率的意义．【答案】C【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为0.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，故选：C．【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．9．（2024秋•迪庆州期末）下列事件是必然事件的是（）A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明 D．打开电视机，正在播放动画片【考点】随机事件；三角形内角和定理．【专题】概率及其应用；三角形．【答案】B【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意；B．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，符合题意；C．小明和小红玩“石头剪刀布”的游戏，小红每次都赢小明是随机事件，不符合题意；D．打开电视机，正在播放动画片是随机事件，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．10．（2025•东台市一模）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（）A．16 B．13 C．12 【考点】几何概率．【专题】计算题．【答案】A【分析】由于转盘被等分成6个扇形区域，则转动转盘，转盘停止后，指针指向的区域有6种等可能的结果，而黄色区域占其中的一个，根据概率的概念计算即可．【解答】解：∵转盘被等分成6个扇形区域，而黄色区域占其中的一个，∴指针指向黄色区域的概率=1故选：A．【点评】本题考查了几何概率的计算方法：先计算出整个图形的面积n，再计算出某事件所占有的面积m，然后通过P=m二．填空题（共5小题）11．（2025春•重庆期中）现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小育从中随机抽取两张刮开，则小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率是13【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】13【分析】先列表展示所有等可能的结果，再找出小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可．【解答】解：列表如下：第一张第二张表扬卡1表扬卡2加分卡零食卡表扬卡1表扬卡1表扬卡2表扬卡1加分卡表扬卡1零食卡表扬卡2表扬卡2表扬卡1表扬卡2加分卡表扬卡2零食卡加分卡加分卡表扬卡1加分卡表扬卡2加分卡零食卡零食卡零食卡表扬卡1零食卡表扬卡2零食卡加分卡由表格可知：小育抽到一张是“表扬卡”和一张是“加分卡”的概率=4故答案为：13【点评】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．12．（2025•厦门模拟）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为13，则布袋中黑球的个数为8【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】8．【分析】设黑球的个数为x，则根据题意列出关于x的分式方程，解方程即可求解．【解答】解：设黑球的个数为x，则根据题意可得：摸到白球的概率为44+解得x＝8，经经验，x＝8是原方程的解，∴黑球个数为8，故答案为：8．【点评】本题主要考查已知概率求数量，以及分式方程的实际应用，能够根据题意列出方程是解题的关键．13．（2025•新疆三模）随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率为23【考点】列表法与树状图法．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的有4种情况，∴随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发光的概率为：46故答案为：23【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2025•南安市模拟）化学实验课上，张老师带来了Mg（镁）、Al（铝）、Zn（锌）、Cu（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：Mg、AI、Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是916【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】916【分析】利用画树状图法解答即可．【解答】解：设Mg用A表示、AI用B表示、Zn用C表示，Cu用D表示，根据题意，画树状图如下：由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的有9种，∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是916故答案为916【点评】本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．15．（2025•南山区模拟）2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：种子数307515020040080012002500发芽数286914119238877811672435发芽频率0.9330.9200.9400.9600.9700.9730.9730.974根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97．（结果精确到0.01）【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用频率估计概率求解即可．【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，故答案为：0.97．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三．解答题（共5小题）16．（2025•威远县校级模拟）某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为20人；扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是36°；（2）请将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）20；36；（2）见解析；（3）见解析，12【分析】（1）由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中B类学生的百分比即可求得参与调查的总人数；由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360°的积即为所求的结果；（2）根据两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图；（3）画树状图即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果数，从而可求得概率．【解答】解：（1）由题意得：B类学生共有6+4＝10（人），B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：10÷50%＝20（人），D类学生所占的百分比为：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360°×10%＝36°，故答案为：20；36；（2）C等级的人数有：20×25%＝5（人），C等级的女生人数有：5﹣2＝3（人），D等级的男生人数有：20﹣（1+2+6+4+5+1）＝1（人），补全统计图如下：（3）从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，作树状图如下：从树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一名男生和一名女生的结果共有3种．所以P（所选两位同学恰好是一位男生和一位女生)=3【点评】本题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，条形统计图，概率公式，解答本题的关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息．17．（2025春•高新区校级期中）垃圾分类是建设生态文明的重要举措，为提高大家对垃圾分类的认识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，小红提出一个方法：从正面印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片（卡片除所印数字不同，其他均相同）中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；否则，小亮去．（1）求抽到印有4的卡片的概率；（2）你认为这个规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并修改规则，使其对双方都公平．【考点】游戏公平性；概率公式．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据概率公式求解，即可得到答案；（2）分别求出小明去和小亮去的概率，比较大小可得方法不公平，再修改出公平的规则即可．【解答】解：（1）因为8张卡片中，有2张是印有4的，所以P（抽到印有4的卡片）=2（2）不公平．理由：根据题意，得P（小明去）=38，P（小亮去）因为38修改规则如下：从印有1，2，3，4，4，5，6，7的8张卡片中任取一张，抽到所印数字比4大的卡片，小明去；抽到所印数字比4小的卡片，小亮去；抽到印有4的卡片重新抽．（答案不唯一）【点评】本题考查了概率公式，游戏公平性的判断，掌握其性质是解题的关键．18．（2024秋•万全区期末）“记录永恒经典，传承非遗文化”，嘉嘉组织并拍摄了4部万全区非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为A﹣旧堡戏装，B﹣龙池屯打棍，C﹣洗马林麻叶制作技艺，D﹣高庙堡缸坊酒酿造技艺．为保证视频质量，嘉嘉邀请淇淇从4部作品中随机选择两部试看，并上传到自媒体平台．（1）淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是不可能事件．（填“不可能”“随机”或“必然”）（2）补全下列表格，并求出淇淇选择“A﹣旧堡戏装”和“C﹣洗马林麻叶制作技艺”两个短视频观看的概率．【考点】列表法与树状图法；随机事件；概率公式．【专题】统计的应用．【答案】（1）不可能；（2）表格见解析，16【分析】（1）根据事件的分类解答即可；（2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到选择A和C的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【解答】解：（1）∵四个视频中没有“蔚县剪纸”，∴淇淇选中“蔚县剪纸”非遗视频观看是不可能事件．故答案为：不可能；（2）补全表格如下：ABCDABACADABABCBDBCACBCDCDADBDCD由表格可知，共有12种等可能的结果，其中符合条件的结果有2种，所以淇淇选择“A﹣旧堡戏装”和“C﹣洗马林麻叶制作技艺”两个短视频观看的概率P=【点评】本题考查了事件的分类，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．19．（2024秋•宝应县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率ma0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案为：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；故答案为：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．20．（2024秋•安顺期末）某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从学生成绩都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95．八（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表分数80859095100人数32ab2【分析数据】八（1）班和八（3）班20名学生成绩分析表平均数中位数众数方差八（1）班91n9536.5八（3）班9190p26.5【应用数据】根据以上信息，回答下列问题．（1）请补全条形统计图，并求出n＝92.5，p＝90；（2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？（3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．【考点】列表法与树状图法；中位数；众数；方差．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）见解析，92.5；90；（2）八（1）班，见解析；（3）13【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，即可补全条形统计图，再由中位数和众数的定义求解即可；（2）根据中位数、众数、平均数分析即可得解；（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【解答】解：（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统计图如图所示：（1）数据排列：80，80，80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，95，100，100，故中位数n=由八（3）班20名学生成绩可得90出现的次数最多，故p＝90，故答案为：92.5，90；（2）八年级（1）班和（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此（1）班成绩较好．（3）设八年级（1）班的两名100分的学生用A、B表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况列表如下：（1）班（3）班ABXYAABAXAYBBABXBYXXAXBXYYYAYBYX由表格数据可知：一共有12种等可能的结果，其中两名同学在同一个班级的有AB、BA、XY、YX共4种，∴P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）=4【点评】本题考查了中位数、众数、条形统计图、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．

考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．4．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．5．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．6．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．7．扇形统计图（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．（3）制作扇形图的步骤①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．8．条形统计图（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．（3）制作条形图的一般步骤：①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．9．中位数（1）中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．10．众数（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中