高等数学（工科类专业适用）教案 7.2参数估计2

7.2参数估计（2）教学目标：理解参数估计的基本思想，理解总体均值的区间估计。教学重点： 正态总体的均值或方差作区间估计； 教学难点： 正态总体的均值或方差作区间估计。授课时数：2课时.教学过程过程备注7.2.3区间估计探究以样本的某一个统计量的值来估计正态总体中未知参数，参数的估计值一般是的一个近似值.在实际问题中，不仅需要求出的近似值，还希望求出它的一个范围，并且知道这个范围包含真值的可信程度，这种形式的估计就是区间估计，这样得到的区间就是置信区间.讲授5′新知识设总体的未知参数为，是总体的一个样本，对于给定的，如果根据样本构造的统计量和，使得（7.9）成立，则区间叫做参数的置信水平为的置信区间，叫做置信下限，叫做置信上限，叫做置信水平或置信度.式（7.9）的含义是：如果由容量为的一个样本确定了一个区间，这个区间包含真值的可信度为.例如，当取时，反复抽样100次，则得到100个区间，包含真值的区间约为个，这100个区间约有5个不包含真值.下面对正态总体的均值或方差作区间估计.讲授15′1．总体方差已知，求总体均值的置信区间新知识设是总体的一个样本，为样本均值.因为由样本均值构成的统计量服从标准正态分布，存在标准正态分布的临界值，有，即.成立，其中临界值可以通过查标准正态分布表得到.由于于是，正态总体均值的置信区间为（7.10） 当一次抽样后，样本均值为具体的数值，于是，正态总体均值的置信区间为在介绍统计量的时候，我们已经介绍了确定标准正态分布临界值的方法.根据关系式和正态分布函数表（见附录2）可以得到标准正态分布的临界值，从而确定正态总体均值的置信区间.这样，已知正态总体方差，求总体均值的置信区间步骤为（1）由样本观测值，求出；（2）根据给定的，查标准正态分布表得临界值，并计算；（3）写出均值的置信区间．讲授30′知识巩固例5设某种零件的长度服从方差为的正态分布，现从该产品中随机抽取9件，测得平均长度为,假定置信度为0.95,求这批零件平均长度的置信区间.解由题意知，，，.由于总体方差已知，所以取统计量.当时，..因此，这批零件平均长度的置信区间为（21.302，21.498）.例6某商店购进一批食盐，已知这批食盐的重量服从正态分布，现从中随机抽取8袋进行重量测试，结果如下（单位：克）：502、505、499、501、498、497、499、501试求该批食盐的平均重量的置信区间（）．解由已知得到样本的均值与方差，.当时，..因此这批食盐的平均重量的置信区间为（497.92，502.58）．引领讲授完成40′2.总体方差未知，求总体均值的置信区间新知识设是总体的一个样本，为样本均值，为样本方差.因为由样本均值与样本方差构成的变量服从自由度为的t分布，即，所以，可以利用T变量确定正态总体均值的置信区间.对于给定的置信度，有，即.由于.在一次抽样后，样本均值为具体的数值，样本方差也是具体的数值，于是，正态总体均值的置信区间为.（7.11） 在介绍统计量T的时候，我们已经介绍了确定t分布临界值的方法，可以通过查t分布的临界值表（见附录2）求得临界值.从而确定正态总体均值的置信区间.这样，未知正态总体方差，求总体均值的置信区间步骤为（1）由样本观测值，求出及；（2）根据给定的，及自由度，查分布表求得临界值，并计算；（3）写出均值的置信区间．讲授55′知识巩固例7某电话咨询服务中心，在每次呼叫结束后做一次记录，记录本次电话咨询服务所用的时间，假设所用时间服从正态分布，现从以往的记录中随机抽取9份，并计算出平均时间为，方差为.试求该电话咨询服务中心每次平均咨询时间的置信区间（）．解因为总体服从，方差未知，样本均值为，样本方差.根据，查t分布表，得.所以.因此，该电话咨询服务中心每次平均咨询时间的置信区间为（1.429，2.771）．引领讲授完成65′3．总体均值未知，求总体方差的置信区间新知识设是总体的一个样本，为样本方差.因为由样本方差构成的统计量服从自由度为的分布，即，所以，利用变量可以确定正态总体方差的置信区间. 对于给定的置信度，存在分布的临界值，有即，由.从而得到.在一次具体抽样后，样本方差是具体的数值，于是有因而，正态总体方差的置信区间为：.（7.12）前面已经介绍了，在分布上侧分位表中，在第1列中找到自由度，再分别在第1行找到，行列交叉处即可得到分布的临界值.这样，求总体方差置信区间的一般步骤为（1）由样本观测值，求出；（2）根据给定的，查分布表得临界值和的值；（3）写出方差的置信区间.讲授75′知识巩固例8设某零件的长度服从正态分布，从一批产品中随机抽取16件，测得长度的样本均值为，方差为.试求该批零件长度的方差的置信水平为95%的置信区间．解因为，，样本均值为，样本方差，.查分布表，取自由度为15，由得；由得.所以，；.因此，这