2025年度八年级数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）

2025年八年级数学第二学期期末模拟试卷及答案（二）一、选择题（12分）1．在数﹣，0，1，中，最大的数是（）A． B．1 C．0 D．2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤33．点P（4，3）到原点的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．74．下列计算错误的是（）A．3+2=5 B．÷2= C．×= D．=5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD6．在共有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差7．一次函数y=﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1≥y28．一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A． B． C． D．9．九年级（3）班和（5）班的第一次模拟考试的数学成绩统计如下表：班级参加人数中位数方差平均分（3）班50120103122（5）班48121201122根据上表分析得出入下结论：①两班学生成绩的平均水平相同；②（5）班的两极分化比较严重；③若考试分数≥120分为优秀，则（5）班优秀的人数一定多于（3）班优秀的人数．上述结论正确的（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③10．如图，在矩形ABCD中，下列结论不正确的是（）A．△AOB的等腰三角形B．S△ABO=S△ADOC．AC⊥BDD．当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形11．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A．当x=2时，y=5 B．矩形MNPQ的面积是20C．当x=6时，y=10 D．当y=时，x=1012．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形MNPQ的顶点P的坐标为（2，0），点N的坐标为（0，1），点M在第一象限，对角线NQ与x轴平行，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，将菱形MNPQ沿x轴向左平移k个单位，当点M落在△AOB内部时（不包括三角形的边），下列数据中不可能为k的值的是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．已知数据2，5，3，3，4，5，3，6，5，3，则这组数据的众数为______．14．已知一次函数y=kx+10过点P（2，4），则k=______．15．将直线y=2x+1向下平移2个单位，所得直线的表达式是______．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=______．17．如图，正方形PQMN和正方形MABC中，点N在CM上，QM=2，AM=6，D是PB的中点，那么DM的长是______．三、解答题（共8小题，满分64分）18．计算：（1）（2）．19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．20．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是______（2）函数值y的取值范围是______；（3）当x=0时，y的对应值是______；（4）当x为______时，函数值最大；（5）当y随x增大而增大时，x的取值范围是______；（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是______．21．“勤劳”是中华民族的传统美德，我校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务，王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如表：时间分组0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5频数2025301510（1）抽取样本的容量是______．（2）样本的中位数所在时间段的范围是______．（3）若我学校共有学生1600人，那么大约有多少学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？22．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司可按分段收费标准收费，如图反映的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小聪家五月份用水6吨，应交水费______元；（2）请你求出当用水量x≥10（吨）时，每月水费y（元）与用水量（吨）之间的函数关系．23．如图，在5×7的网格中的每个小正方形的边长都为1单位，动点P、Q分别从点A、D同时出发向右平移，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到B时，两个点都停止运动．（1）请在网格图1中画出运动时间t为2秒时的线段PQ，并求出线段PQ的长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，PQ=CQ会成立吗？若能，请求出相应的运动时间t，若不能，请说明理由．24．（10分）（2010春•招远市期末）如图，正方形ABCD的两条对角线交于点O．（1）若H为OC上一点，过A作BH的垂线，垂足为E，AE与BO相交于点G．试探索OH与OG的数量关系，并证明；（2）若点H在OC的延长线上，过A作BH的垂线，交HB的延长线于点E，直线AE与OB相交于点G．（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．25．（10分）（2016春•洛江区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=x交于点A．（1）点A的坐标是______；点B的坐标是______；点C的坐标是______；（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题（12分）1．在数﹣，0，1，中，最大的数是（）A． B．1 C．0 D．【考点】实数大小比较．【分析】先将四个数分类，然后按照正数＞0＞负数的规则比较大小．【解答】解；将﹣，0，1，四个数分类可知1、为正数，﹣为负数，且＞1，故最大的数为，故选：A．【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，边的数总比左边的数大．2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．3．点P（4，3）到原点的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．7【考点】勾股定理；坐标与图形性质；两点间的距离公式．【分析】先画图，根据图可知道OA=4，AP=3，再利用勾股定理可求OP．【解答】解：如图所示，∵P点坐标是（4，3），∴OA=4，AP=OB=3，∴OP==5．故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题比较简单．注意数形思想的应用．4．下列计算错误的是（）A．3+2=5 B．÷2= C．×= D．=【考点】二次根式的混合运算．【分析】利用二次根式加减乘除的运算方法逐一计算得出答案，进一步比较选择即可．【解答】解：A、3+2不能在进一步运算，此选项错误；B、÷2=，此选项计算正确；C、×=，此选项计算正确；D、﹣=2﹣=．此选项计算正确．故选：A．【点评】此题考查二次根式的混合运算，掌握运算方法与化简的方法是解决问题的关键．5．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【考点】矩形的判定．【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．【解答】解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．6．在共有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，因此选手要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差【考点】统计量的选择．【分析】此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名．【解答】解：15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数，所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名．故选：C．【点评】考查了中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．7．一次函数y=﹣x+6的图象上有两点A（﹣1，y1）、B（2，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1≥y2【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】k=﹣1＜0，y将随x的增大而减小，根据﹣1＜2即可得出答案．【解答】解：∵k=﹣1＜0，y将随x的增大而减小，又∵﹣1＜2，∴y1＞y2．故选A．【点评】本题考查一次函数的图象性质的应用，注意：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0），当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．8．一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】一次函数的图象．【分析】首先根据k的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．【解答】解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．9．九年级（3）班和（5）班的第一次模拟考试的数学成绩统计如下表：班级参加人数中位数方差平均分（3）班50120103122（5）班48121201122根据上表分析得出入下结论：①两班学生成绩的平均水平相同；②（5）班的两极分化比较严重；③若考试分数≥120分为优秀，则（5）班优秀的人数一定多于（3）班优秀的人数．上述结论正确的（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【考点】方差；中位数．【分析】根据平均数可分析两个班的平均水平，根据方差可判断出哪个班两极分化比较严重，根据中位数可判断优秀人数．【解答】解：由两班的平均数可得两班学生成绩的平均水平基本一致，故①正确；（5）班方差大于（3）班，因此（5）班的两极分化比较严重，故②正确；（5）班中位数为121，（3）班比（1）班少1人，无法判断哪个班优秀的人数多故③错误．故选：B．【点评】本题主要考查了方差、平均数、中位数，掌握方差、平均数、中位数的定义是关键．10．如图，在矩形ABCD中，下列结论不正确的是（）A．△AOB的等腰三角形B．S△ABO=S△ADOC．AC⊥BDD．当∠ABD=45°时，矩形ABCD会变成正方形【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．【分析】依据矩形的对角线的性质可证明OA=OB，故此可对A作出判断，证明用含AB、AD的式子表示△ABO和△ADO的面积，从而可判断B，依据矩形的对角线的性质可对C作出判断，可证明AB=AD，从而可证明ABCD为正方形，故此可对D作出判断．【解答】解：∵ABCD为矩形，∴AO=AC，BD=BD，AC=BD．∴OA=OB．∴A正确，与要求不符．如图所示：取AB、AD的中点F、E．∵AF=BF，AO=OC，∴FO是△ABC的中位线．∴OF∥BC，OF=BC．∵BC⊥AB，FO∥BC，∴OF⊥AB．∴S△AOB=AB•FO=AB•CB．同理：S△ADO=AB•CB．∴S△AOB=S△ADO．∴B正确，与要求不符．∵矩形的对角线不一定相互垂直，∴C错误，与要求相符．∵∠ABD=45°，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴AD=AB．又∵ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形．∴D正确，与要求不符．故选：C．【点评】本题主要考查的是矩形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判断，将△AOB和△AOD的面积转化为矩形面积的是解题的关键．11．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法不正确的是（）A．当x=2时，y=5 B．矩形MNPQ的面积是20C．当x=6时，y=10 D．当y=时，x=10【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图2可知：PN=4，PQ=5，然后根据三角形的面积公式求解即可．【解答】解；由图2可知：PN=4，PQ=5．A、当x=2时，y===5，故A正确，与要求不符；B、矩形的面积=MN•PN=4×5=20，故B正确，与要求不符；C、当x=6时，点R在QP上，y==10，故C正确，与要求不符；D、当y=时，x=3或x=10，故错误，与要求相符．故选：D．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图2求矩形的长和宽是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形MNPQ的顶点P的坐标为（2，0），点N的坐标为（0，1），点M在第一象限，对角线NQ与x轴平行，直线y=x+8与x轴、y轴分别交于点A、B，将菱形MNPQ沿x轴向左平移k个单位，当点M落在△AOB内部时（不包括三角形的边），下列数据中不可能为k的值的是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】连接MP、NQ，交于点E，过M作y轴垂线，交y轴于点C，交直线AB于点D，如图所示，由菱形MNPQ，根据P与N的坐标确定出M坐标，进而求出CM与DM的值，确定出当点M落在△AOB的内部时k的范围，即可求出k的可能值．【解答】解：连接MP、NQ，交于点E，过M作y轴垂线，交y轴于点C，交直线AB于点D，如图所示，∵菱形MNPQ的顶点P的坐标为（2，0），点N的坐标为（0，1），点M在第一象限，对角线NQ与x轴平行，∴ME=PE=1，CM=2，即MP=2PE=2，∴M（2，2），当C与M重合时，k=CM=2；当M与D重合时，把y=2代入y=x+8中得：x=﹣6，即k=DM=CM+CD=8，∴当点M落在△AOB的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜8，故选：D．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，以及一次函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．已知数据2，5，3，3，4，5，3，6，5，3，则这组数据的众数为3．【考点】众数．【分析】根据众数的定义进行解答即可．【解答】解：∵数据3出现了4次，最多，∴众数为3，故答案为：3；【点评】此题考查了众数的知识，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能不唯一．14．已知一次函数y=kx+10过点P（2，4），则k=﹣3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把P（2，4）代入一次函数y=kx+10，求出k的值即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+10过点P（2，4），∴2k+10=4，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．将直线y=2x+1向下平移2个单位，所得直线的表达式是y=2x﹣1．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y=2x+1﹣2=2x﹣1，即．所得直线的表达式是y=2x﹣1．故答案为：y=2x﹣1．【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么联系．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【考点】菱形的性质．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．17．如图，正方形PQMN和正方形MABC中，点N在CM上，QM=2，AM=6，D是PB的中点，那么DM的长是2．【考点】正方形的性质．【分析】连接PM、BM，根据正方形的性质求出PM、BM，并判断出△PMB是直角三角形，再利用勾股定理列式求出PB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：如图，连接PM、BM，在正方形PQMN和正方形MABC中，PM=QM=2，BM=AM=6，∠PMN=∠CMB=45°，∴∠PMB=45°+45°=90°，∴△PMB是直角三角形，由勾股定理得，PB==4，∵D是PB的中点，∴DM=PB=2．故答案为：2．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．三、解答题（共8小题，满分64分）18．计算：（1）（2）．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先用平方差公式去括号、计算零指数幂，再计算乘方、加减法即可．【解答】解：（1）原式=4+3﹣2+4=7+2；（2）原式=22﹣（）2+1×1=4﹣3+1=2．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，∴ED=BF，又∵AD∥BC，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．20．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是﹣4≤x≤3（2）函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4；（3）当x=0时，y的对应值是3；（4）当x为1时，函数值最大；（5）当y随x增大而增大时，x的取值范围是﹣2≤x≤1；（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3．【考点】函数的图象．【分析】根据自变量的定义，函数值的定义以及二次函数的最值和增减性，观察函数图象分别写出即可．【解答】解：（1）自变量x的取值范围是﹣4≤x≤3；（2）函数y的取值范围是﹣2≤y≤4；（3）当x=0时，y的对应值是3；（4）当x为1时，函数值最大；（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是﹣2≤x≤1．（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3；故答案为：（1）﹣4≤x≤3；（2）﹣2≤y≤4；（3）3；（4）1；（5）﹣2≤x≤1（6）﹣4≤x≤﹣2和1≤x≤3．【点评】本题考查了二次函数的性质，函数图象，熟练掌握函数自变量的定义，函数值的定义以及函数的增减性并准确识图是解题的关键．21．“勤劳”是中华民族的传统美德，我校要求同学们在家里帮助父母做些力所能及的家务，王刚同学在本学期开学初对部分同学寒假在家做家务的时间进行了抽样调查（时间取整数小时），所得数据统计如表：时间分组0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5频数2025301510（1）抽取样本的容量是100．（2）样本的中位数所在时间段的范围是40.5～60.5．（3）若我学校共有学生1600人，那么大约有多少学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间？【考点】频数（率）分布表；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；中位数．【分析】（1）各组的频数的和就是样本容量；（2）确定第50和51位处于哪组，即可确定；（3）用1600乘以这组所占的比例即可求解．【解答】解：（1）20+25+30+15+10=100．故答案是：100；（2）中位数在40.5～60.5段．故答案是：40.5～60.5；（3）1600×=880人．答：大约有880名学生在寒假做家务的时间在40.5～100.5小时之间．【点评】本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．22．为鼓励市民节约用水，某市自来水公司可按分段收费标准收费，如图反映的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小聪家五月份用水6吨，应交水费13.2元；（2）请你求出当用水量x≥10（吨）时，每月水费y（元）与用水量（吨）之间的函数关系．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）从函数图象可知10吨水以内的价格是每吨2.2元，小聪家五月份用水6吨，应交水费可计算得到；（2）设x＞10时的函数关系式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出函数关系式【解答】解：（1）从函数图象可知10吨水应交22元，那么每吨水的价格是：22÷10=2.2（元）小聪家五月份用水5吨，应交水费：6×2.2=13.2（元）故答案为13.2；（2）设x＞10时的函数关系式为y=kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（10，20），（20，57），∴，解得，所以当用水量x≥10（吨）时，每月水费y（元）与用水量（吨）之间的函数关系为：y=3.5x﹣13【点评】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析10吨水以内和超过10吨水价格的不同分别求出解析式．23．如图，在5×7的网格中的每个小正方形的边长都为1单位，动点P、Q分别从点A、D同时出发向右平移，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到B时，两个点都停止运动．（1）请在网格图1中画出运动时间t为2秒时的线段PQ，并求出线段PQ的长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，PQ=CQ会成立吗？若能，请求出相应的运动时间t，若不能，请说明理由．【考点】作图-平移变换．【分析】（1）运动时间t为2秒时，DQ=2，AP=4，然后画出线段PQ，再利用勾股定理计算PQ的长；（2）设相应的运动时间t，则DQ=t，AP=2t，CQ=7﹣t，作QH⊥AB于H，如图2，PH=2t﹣t=t，利用勾股定理得到PQ=，则解方程=7﹣t求出t即可．【解答】解：（1）如图1，PQ为所作；PQ的长为=；（2）能．设相应的运动时间t，则DQ=t，AP=2t，CQ=7﹣t，作QH⊥AB于H，如图2，PH=2t﹣t=t，PQ=，∵CQ=PA，∴=7﹣t，解得t=，即点P、Q运动秒时，PQ=CQ．【点评】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点．利用代数法解决动点问题．24．（10分）（2010春•招远市期末）如图，正方形ABCD的两条对角线交于点O．（1）若H为OC上一点，过A作BH的垂线，垂足为E，AE与BO相交于点G．试探索OH与OG的数量关系，并证明；（2）若点H在OC的延长线上，过A作BH的垂线，交HB的延长线于点E，直线AE与OB相交于点G．（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB与OA相等且垂直，又因为AG垂直于BH，根据直角三角形的两锐角互余得到：∠OAG+∠OGA=90°，∠OBH+∠BGE=90°，再根据等角的余角相等得到∠OAG=∠OBH，从而利用“ASA”证出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的对应边相等得到OG=OH；（2）根据正方形的性质得到OB与OA相等且垂直，根据直角三角形的两锐角互余得到：∠H+∠HBO=90°，∠G+∠EBG=90°，再根据等角的余角相等得到∠G=∠H，从而利用“AAS”证出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的对应边相等得到OG=OH．【解答】解：（1）OH=OG．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AO=B0，B0⊥AC（正方形两条对角线相等，互相垂直平分），∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）则∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，∴∠AEB=90°，则∠OBH+∠BGE=90°，而∠OGA=∠BGE，∴∠OAG=∠OBH，（4分）∴△OAG≌△OBH（ASA），则OH=OG；（6分）（2）OH=OG成立．（无此步不扣分）（7分）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AO=BO，BO⊥AC，∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）则∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，∴∠GEB=90°，则∠G+∠GBE=90°，又∠HBO=∠GBE，∴∠H=∠G（9分）∴△AOG≌△BOH．（AAS）则OG=OH．（11分）【点评】本题考查正方形的性质，以及三角