3.3　勾股定理的应用举例 教案 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

3.3勾股定理的应用举例第1课时勾股定理的实际应用(一)课标摘录探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.教学目标1.能运用勾股定理解决几何体表面两点间的最短路程问题.2.会利用勾股定理的逆定理验证垂直关系.3.在勾股定理的实际应用中,渗透数学建模的思想.体会转化的数学思想在解决实际问题中的应用.教学重难点重点:把立体图形中的问题转化为平面图形的问题.难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题.教学策略1.通过展开圆柱体的侧面,引导学生分析不同的路径,比较、归纳,运用两点之间线段最短来解释所得结论,体现知识的联系和连贯性.2.注重数形结合思想,让学生经历动手操作,进一步巩固勾股定理及其逆定理的应用;在学习过程中,注重转化思想的运用.情境导入香肠放在B处,小狗从A点跑到B点,怎么跑最近?新知初探任务一探究圆柱体表面两点间的最短路线活动1:有一个圆柱体,它的高等于12cm,底面圆的周长为18cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?问题1:同学们可以自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?问题2:将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?问题3:蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?总结:求圆柱上两点之间的最短路程,可转化为求一个平面图形上对应线段的长.一般步骤:(1)将圆柱的侧面展开为一个长方形;(2)确定相应点的位置;(3)连接相应点,构造直角三角形;(4)利用勾股定理求解.设计意图:先让学生自己制作一个圆柱体,从圆柱侧面画路线,经过不断的探索交流,发现几何体表面两点之间有时不能直接连接,因此考虑把圆柱体的侧面展开,画出不同的路径,根据“两点之间线段最短”,通过比较寻求最短路线,渗透化曲为直的思想和转化的思想.例如图,一只蜗牛从圆柱的点A出发,绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的中点E处,若沿AD将圆柱侧面剪开并展开,所得侧面展开图的示意图是(C)ABCD【即时测评】见导学案设计意图:通过例题更好的巩固“化曲为直”的解题思想,加深对几何体表面“最短路线”的求法的理解,通过构造直接三角形解决问题,对于提高学生的空间想象能力也是一种帮助.任务二探究勾股定理逆定理的应用活动2:如图,装修工人李叔叔想要检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB.问题1:如果李叔叔随身只带了卷尺,那么你能替他想办法完成任务吗?问题2:李叔叔测得边AD长30cm,边AB长40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗?问题3:如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺,那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗?设计意图:通过问题串的形式,一步步把问题引申出来,针对问题学生不断的探究、整理、思考解决问题的方法,调动学生学习的主动性,通过测量、计算,加深对勾股定理逆定理的理解,感受数学与实际生活的密切联系.当堂达标课堂小结板书设计勾股定理的实际应用(一)1.几何体表面两点之间的最短路线2.勾股定理逆定理的实际应用教学反思本节课从生动有趣的问题情境出发,通过学生自主探究,运用勾股定理解决几何体表面两点间的最短路线问题,运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题提高了分析问题和解决问题的能力.第2课时勾股定理的实际应用(二)课标摘录探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.教学目标1.能运用勾股定理解决古代数学问题.通过古代数学问题提高学生学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,让学生体验数学学习的实用性.2.能运用勾股定理及其逆定理解决生活中与梯子、折叠有关的实际问题.体会方程思想的运用.教学重难点重点:利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题.难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理或逆定理解决实际问题.教学策略采用启发式教学法和师生互动式教学模式,培养学生的数形结合思想.情境导入如图,学校旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗?新知初探任务一探究古代数学问题例1今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何.(选自《九章算术》)题目大意:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?(1丈=10尺)(1)根据1丈=10尺,你知道AC的长度是几尺吗?(2)图中有哪两条线段的长度相等?你是怎么得到的?(3)△AOC的三边满足什么关系?如何利用这个关系求解问题?【即时测评】见导学案任务二探究利用“勾股定理模型”解决实际问题例2如图,某单向隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形,一辆高3.6m、宽3m的卡车能通过这个隧道吗?【即时测评】见导学案当堂达标课堂小结板书设计勾股定理的实际应用(二)1.解古代数学问题2.利用勾股定理模型解题教学反思本节课从常见的测量旗杆高