2026届高考数学总复习（第1轮）基础版专题3　三角函数

专题3三角函数

考点考情考向考频

2022年新课标Ⅰ卷T6

2022年新课标Ⅱ卷T9

三角函数的图象与2023年新课标Ⅰ卷T15

3年7考

性质2023年新课标Ⅱ卷T16

2024年新课标Ⅰ卷T7

三

2024年新课标Ⅱ卷T6、T9

角

2022年新课标Ⅰ卷T18

函

2022年新课标Ⅱ卷T6、T18

数

2023年新课标Ⅰ卷T6、T8、T17

三角恒等变换3年12考

2023年新课标Ⅱ卷T7、T17

2024年新课标Ⅰ卷T4、T15

2024年新课标Ⅱ卷T13、T15

三角函数的应用3年0考

近三年的高考命题，本专题重点考查三角函数的基础公式及应用、三角函数

的图象与性质及应用、三角恒等变换(求值)等，以容易题、中档题形式进行考查，

主要考查简单的三角恒等变换能力，三角函数的解析式、图象、性质的相互转化

能力，同时也渗透到解三角形、函数、导数等其他知识中考查．

从近几年高考试题来看，本章的考点为高考的考查热点，考题难度以中档题

为主，常以客观题形式出现，分值为5～10分．

三角函数的客观题主要考查三角函数的求值(求角)、三角函数的图象变换、三

角函数的图象与性质及应用等．运用三角函数公式进行恒等变换的技能常常渗透

到解三角形模块的解答题中进行考查，近年来备受命题者的青睐．

三角函数是刻画周期现象的数学模型，是中学数学中一类重要的函数，在数

学、其他学科和生产实践中有着广泛的应用，是培养学生推理能力的良好素材．在

复习时应注意以下几点：

1．培养基本的三角变换技能．

三角变换是三角函数的基础，没有三角恒等变换就谈不上三角函数的图象和

性质的应用，所以要立足于课本，掌握三角变换的基本公式(同角三角函数的基本

关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等基本三角函数公式)，

同时要掌握变换的基本思想(统一角、统一函数、统一结构)，做到变换时方向清楚、

目标明确．

2．培养三角函数的概念、图象和性质的应用技能．

三角函数的性质是学习高等数学和应用技术的基础，是解决生产实际问题的

工具，因此三角函数的性质是复习的一个重点．在复习时应考虑数形结合，利用

图象直观展现函数的性质，这样既有利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运

用数形结合的思想方法．

3．培养三角函数的应用意识．

三角函数是以角为自变量，又以实数为自变量的函数，它产生于实践，是客

观实际的抽象，同时，又广泛地应用于客观实际，因此应树立三角函数的应用意

识．

第16讲任意角的三角函数

[课标要求]1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度

制的互化．2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三

角函数的象限符号规律及三角函数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式．

授课提示：听课手册P67

1．角的概念

(1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的

射线OA叫做角的__始边__，射线的端点O叫做角的__顶点__．一条射线绕其端

点按__逆__时针方向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫

做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个__零__角．

(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边

与__x轴的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限

角．

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

__S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}__或__S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}__，即任一与角α终

边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1弧度的角．以

弧度作为单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__．

正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度

数是__0__．

(2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad，

π180

1°＝____rad，1rad＝__()°__．

180π

(3)扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__αR__，

1

S＝__lR__．

2

3．任意角的三角函数

设α是任意一个角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么，

y

sinα＝__y__；cosα＝__x__；tanα＝____(x≠0).

x

1．任意角的三角函数(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，

yxy

sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0).

rrx

2．三角函数值的符号规律

三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限

sinα＋＋－－

cosα＋－－＋

tanα＋－＋－

可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α∈[0°，360°))的形式是()

A．－165°＋(－2)×360°

B．195°＋(－3)×360°

C．195°＋(－2)×360°

D．165°＋(－3)×360°

解析：B由α∈[0°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故选

B.

2．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于

1

第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则cosα＝()

2

11

A．B．－

22

33

C．D．－

22

313

解析：D依题意，得P(－，)，根据三角函数的定义，得cosα＝－.

222

故选D.

3．(教材母题必修5.2.1练习T4)已知点P(tanα，cosα)在第四象限，则角α

的终边在()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

tanα>0，

解析：C因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α的终边

cosα<0，

在第三象限．故选C.

4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是

________．

解析：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}

观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．

2π8π

5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，

33

则该扇形的面积为________．

16π

解析：设扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S.

3

8π2π

由弧长公式l＝αr，可知＝r，解得r＝4，

33

18π16π

所以扇形的面积S＝××4＝.

233

授课提示：听课手册P68

探究点1任意角及其表示

【例1】(1)(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()

A．α＋β＝180°

B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)

C．α＋β＝k·360°(k∈Z)

D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)

ααα

(2)设角α是第三象限角，且|sin|＝－sin，则角是第________象限角．

222

解析：(1)AD假设α，β为0°～180°内的角，如图所示．

因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；

结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所

以D满足条件，B、C都不满足条件．故选AD.

3ππα

(2)四由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<<kπ＋

222

3π

(k∈Z)，

4

所以α是第二或第四象限角．

2

ααα

再由|sin|＝－sin知sin<0，

222

所以α只能是第四象限角．

2

(1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向．

(2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非

象限角．

α

(3)α所在象限与所在象限的关系：

2

α

当α属于第一、第二象限时，属于第一或第三象限；

2

α

当α属于第三、第四象限时，属于第二或第四象限．

2

变式探究

1．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．

解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}

30°角的终边所在直线上的角的集合为

S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，

180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为

S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，

因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为

{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．

π

2．(2024·广东佛山一模)若点A(cosθ，sinθ)关于原点对称的点为B(cos(－θ)，

6

π

sin(－θ))，则θ的一个取值为__________．

6

7π7π

解析：(答案不唯一，θ＝＋kπ，k∈Z均可)

1212

ππ

因为A(cosθ，sinθ)和B(cos(－θ)，sin(－θ))关于原点对称．

66

π

所以θ与－θ的终边在一条直线上．

6

π7π

即θ＝－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.

612

7π

令k＝0得θ＝.

12

探究点2弧度制的应用

【例2】(1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉

璜”(图1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造

型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8cm，AD≈2

3

cm，AO≈5cm.若sin37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为()

5

A．6.8cm2B．9.8cm2

C．14.8cm2D．22.4cm2

(2)(2024·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有

一动点P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B是P关于原点O的对称点，分别连接PA，

PB，AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面

积之和的点P的个数是()

A．0B．1

C．2D．3

解析：(1)C显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB＝5cm，AB＝8cm，

1

AB4

则cos∠OAB＝2＝，

OA5

33

sin∠OAB＝，又sin37°≈，

55

所以∠OAB≈37°，

53π

于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝，

90

1153π

所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选

2290

C.

(2)C设射线OP对应的角为θ且θ∈(0，π)，

1

故区域Ⅰ的面积为2××1×1×sinθ＝sinθ，

2

11θ1

区域Ⅱ的面积为×θ×12－×1×1×sinθ＝－sinθ，

2222

11π－θ1

区域Ⅲ的面积为×(π－θ)×12－×1×1×sin(π－θ)＝－sinθ.

2222

π－θ1θ1

由题设有sinθ＝－sinθ＋－sinθ，

2222

π

整理得sinθ＝，因为θ∈(0，π)，

4

故此时θ仅有两解，故选C.

在解决扇形问题时要注意：

l

(1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：|α|＝.

r

|α|1

(2)扇形的面积S与圆心角α、弧长l、半径r之间的关系：S＝πr2＝lr.

2π2

(3)扇形的周长为C＝2r＋l.

变式探究

3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10cm，则扇形的弧

长l为________cm.若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为________弧度时，

这个扇形的面积最大，最大面积是________cm2.

10π

解析：225

3

π

因为α＝60°＝rad，

3

π10π

所以l＝αR＝×10＝(cm).

33

由已知得，l＋2R＝20(cm)，

11

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

22

所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2.

4．设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图，放置边长为2的正方

形ABCD(实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上).现将正方形ABCD

沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路

径的长度为()

A．(1－22)πB．(2＋2)π

2

C．4πD．(3＋)π

2

解析：B由图可知，圆O的半径为r＝2，正方形ABCD的边长为a＝2，

以正方形的边为弦所对的圆心角为π，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示，

3

当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈，共12次．

设第i次滚动时，点A的路程为mi，

πππ2

则m1＝×|AB|＝，m2＝×|AC|＝π，

6363

ππ

m3＝×|AD|＝，m4＝0，

63

因此，点A所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋2)π.故选B.

探究点3任意角的三角函数

3

【例3】(1)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝x，则tanα

6

＝_____________.

(2)(2024·河南一模)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落

在直线y＝x上，则有()

2

A．sinα＝－

2

2

B．cosα＝

2

C．sinα＋cosα＝±2

D．tanα＝±1

5

解析：(1)±因为P(x，－2)(x≠0)，

5

所以点P到原点的距离r＝x2＋2.

3x3

又cosα＝x，所以cosα＝＝x.

6x2＋26

因为x≠0，所以x＝±10，

所以r＝23.

6

当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－，

6

sinα5

tanα＝＝－；

cosα5

5

当x＝－10时，同理可求得tanα＝.

5

π5π

(2)C因为角α的终边落在直线y＝x上，故α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z.

44

π2

对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sinα＝，A错误；

42

5π2

对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z时，cosα＝－，B错误；

42

π22

对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sinα＝，cosα＝，则sinα＋cosα＝

422

5π22

2，当α＝＋2kπ，k∈Z时，sinα＝－，cosα＝－，则sinα＋cosα＝－2，

422

C正确；

π5π

对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z时，tanα＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z时，tanα

44

＝1.D错误．故选C.

(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利

用角的终边上一点的坐标进行定义．

(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，

要注意角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨

论．

(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α的意义，注意角的始边及旋转方

向．

变式探究

5π5π

5．已知角α的终边上一点P的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为

66

()

π2π

A．B．

63

7π5π

C．D．

63

5π5π

解析：D因为sin>0，cos<0，

66

所以角α的终边在第四象限，

5π3

根据三角函数的定义，可知sinα＝cos＝－，

62

π5π

故角α的最小正值为α＝2π－＝.故选D.

33

6．已知角θ的终边经过点P(sin84°，cos84°)，则cos(θ＋24°)＝()

13

A．B．

22

13

C．－D．－

22

解析：Br＝sin284°＋cos284°＝1，sinθ＝cos84°，cosθ＝sin84°，cos(θ＋

3

24°)＝sin84°cos24°－cos84°sin24°＝sin60°＝.故选B.

2

4

7．在平面直角坐标系中，点P在射线y＝x(x>0)上，点Q在过原点且倾斜角

3

π

为θ(θ为锐角)的直线上．若∠POQ＝，则tanθ＝________.

4

14ππ4

解析：设射线y＝x(x>0)的倾斜角为θ1，且<θ1<，tanθ1＝，

73423

π

由题意可得θ＝θ1－，

4

πtanθ1－11

所以tanθ＝tan(θ1－)＝＝.

41＋tanθ17

授课提示：训练手册P344

1．集合A＝{α|α＝－2025°＋k·180°，k∈Z}中的最大负角α为()

A．－2025°B．－225°

C．－45°D．－25°

解析：C因为－2025°＝－45°－11×180°，所以集合A＝{α|α＝－2025°＋

k·180°，k∈Z}中的最大负角α为－45°.故选C.

2．给出下列命题：

①－3π是第二象限角；

4

②4π是第三象限角；

3

③－400°是第四象限角；

④－315°是第一象限角．

其中正确命题的个数是()

A．1B．2

C．3D．4

3π5π5π

解析：C因为－＝－2π＋，而是第三象限角，所以①不正确；

444

4ππ

因为＝π＋是第三象限角，所以②正确；

33

因为－400°＝－360°－40°是第四象限角，所以③正确；

因为－315°＝－360°＋45°是第一象限角，所以④正确．

故②③④正确，选C.

3

3．若角α的终边过点P(8m，－3)，且tanα＝，则m＝()

4

11

A．－B．

22

33

C．－D．

22

－331

解析：A因为tanα＝＝，所以m＝－，故选A.

8m42

2π2π

4．（2024·安徽模拟预测）已知角α终边上有一点P（sin，cos），则π－

33

α为()

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

2π2π31

解析：C已知角α终边上有一点P（sin，cos），即点P（，－），

3322

π7π

所以α＝－＋2kπ(k∈Z)，所以π－α＝－2kπ(k∈Z)为第三象限角．故选C.

66

ππ

5．（2024·贵州贵阳期末）已知集合A＝{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}，B＝{α|kπ

42

ππ

＋≤α≤kπ＋，k∈Z}，则()

42

A．ABB．BA

C．A＝BD．A∩B＝

ππ

解析：A当k＝2n，n∈Z时，B＝{α|2nπ＋≤α≤2nπ＋，k∈Z}＝A，

42

ππ

当k＝2n＋1，n∈Z时，B＝{α|2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，k∈Z}，所以AB.

42

故选A.

6．（2025·四川月考）已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧

长为()

A．4B．4π

C．12D．12π

1

解析：C设该扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S，由S＝αr2

2

1

得24＝×3r2，解得r＝4，所以l＝αr＝12，故选C.

2

7．（多选）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非

负半轴重合，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是()

sinα

A．B．cosα－sinα

tanα

C．sinαcosαD．sinα＋cosα

sinα

解析：AB由题意知，sinα<0，cosα>0，tanα<0.对于A，>0；对于B，

tanα

cosα－sinα>0；对于C，sinαcosα<0；对于D，sinα＋cosα的符号不确定．故选

AB.

5

8．（2024·全国专题练习）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，

13

则1＋1＝Ｗ．

sinαtanα

25

解析：－因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，

313

－x5

所以cosα＝＝－，

(－x)2＋(－6)213

55

解得x＝或x＝－.

22

5

因为点P的纵坐标为－6，且cosα＝－<0，所以角α的终边落在第三象限，

13

55

所以x＝，即P（－，－6），

22

12y12

所以sinα＝－，tanα＝＝，

13x5

111352

所以＋＝－＋＝－.

sinαtanα12123

9．（2025·重庆渝中阶段练习）已知角α的终边经过点P(1，2sinα)，则sinα

的值不可能是()

3

A．B．0

2

31

C．－D．

22

2sinα

解析：D由定义，sinα＝，当sinα＝0时，符合题意；当sinα≠0

1＋4sin2α

33

时，化简得sin2α＝，由于横坐标1>0，角的终边在一、四象限，所以sinα＝±.

42

故选D.

10．（2025·湖南九校联盟一）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所

示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为2cm，

则大轮每秒转过的弧长是()

A．12πcmB．6πcm

ππ

C．cmD．cm

105

解析：D由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮

15×103×2ππ

每分钟转的圈数为＝3，因此大轮每秒钟转的弧度为＝，所以大轮每

506010

ππ

秒转过的弧长是×2＝cm.故选D.

105

11．（多选）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A

ππ

在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝.质点A以rad/s的角速度按顺时

66

π

针方向运动，质点B同时以rad/s的角速度按逆时针方向运动，则()

12

5π

A．经过1s后，扇形AOB的面积为

12

︵2π

B．经过2s后，劣弧AB的长为

3

31

C．经过6s后，质点B的坐标为（－，）

22

22

D．经过s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇

3

πππ5π

解析：BD对于A，由题意可知，经过1s后，∠AOB＝－（－）＋＝，

661212

115π5π

所以此时扇形AOB的面积为α·r2＝××12＝，A错误；

221224

πππ2π

对于B，经过2s后，∠AOB＝－2×（－）＋2×＝，

66123

︵2π

所以此时劣弧AB的长为αr＝，B正确；

3

ππ

对于C，经过6s后，质点B转过的角度为6×＝，结合题意，此时质点B

122

ππ2π13

为角＋＝的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为（－，），C错误；

62322

2222π11π

对于D，经过s后，质点B转过的角度为×＝，质点A转过的角度

331218

22π11π11π11ππ22

为×（－）＝－，因为－（－）＋＝2π，所以经过s后，质点A，

36918963

B在单位圆上第一次相遇，D正确．故选BD.

12．以Ox为始边作锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(x1，y1).将角α的终边

π

逆时针旋转得到角β，角β的终边与单位圆相交于点Q(x2，y2)，则y1＋y2的取值范

3

围为.

3π

解析：（，3]根据三角函数的定义得y1＝sinα，α∈（0，），

22

π

由于角α的终边逆时针旋转得到角β，

3

ππ

故β＝α＋，所以y2＝sinβ＝sin（α＋），

33

π33π

所以y2＋y1＝sin（α＋）＋sinα＝sinα＋cosα＝3sin（α＋），

3226

πππ2π

因为α∈（0，），所以α＋∈（，），

2663

π13

所以sin（α＋）∈（，1]，即y1＋y2∈（，3].

622

13．如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴的非负半轴为

π

始边作锐角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P.若α＝，β

3

πππ

＝，则扇形OA1P1的面积为；若α＝，β＝，则四边形OAPA1的面积

634

为.

2＋6－2

解析：π

128

由题意，得圆的半径r＝1，∠AOP1＝α，∠AOA1＝β，∠AOP＝α－β.

ππ

因为α＝，β＝，

36

πππ

所以∠P1OA1＝α－β＝－＝，

366

1π2π

所以扇形OA1P1的面积S＝××1＝.

2612

ππ

因为α＝，β＝，

34

ππππ

∠AOP＝α－β＝，∠A1OP＝－＝，

124126

11π1ππ

S四边形OAPA1＝S△OAP＋S△OA1P＝×1×1×sin(α－β)＋×1×1×sin＝sin（－）

226234

12＋6－2

＋＝.

48

14．（2024·江西阶段练习）如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位

圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设

两质点运动xs时这两质点间的距离为f(x).

则f(x)的解析式为

______________________________________________________________________

__；

这两质点从点P出发后第n次相遇的时间xn（单位：s）为

Ｗ．

*

解析：f(x)＝2|sinx|(x≥0)xn＝nπ(n∈N)

由质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，

得xs时质点A，B的坐标分别为(cos3x，sin3x)，(cos5x，sin5x)，

则f(x)＝

(cos3x－cos5x)2＋(sin3x－sin5x)2

＝2－2cos3xcos5x－2sin3xsin5x

＝2－2cos2x＝2|sinx|，

所以f(x)的解析式为f(x)＝2|sinx|(x≥0).

因为两质点从点P出发后每相遇一次即对应函数f(x)的一个零点，

因此xn为f(x)在区间(0，＋∞)上第n个零点，

由f(xn)＝2|sinxn|＝0，得sinxn＝0，

*

解得xn＝nπ(n∈N)，

*

所以两质点从点P出发后第n次相遇的时间xn＝nπ(n∈N)(s).

第17讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

[课标要求]1.理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基

本关系式．2.借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式.3.能运用诱导公式及

同角三角函数关系进行有关化简和求值．

授课提示：听课手册P70

1．同角三角函数的基本关系式

平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__．

sinα

商数关系：__tanα＝__．

cosα

2．诱导公式

公式一：(其中k∈Z)

sin(2kπ＋α)＝__sin_α__，cos(2kπ＋α)＝__cos_α__，tan(2kπ＋α)＝__tan_α__．

公式二：

sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__，tan(π＋α)＝__tan_α__．

公式三：

sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__，tan(－α)＝__－tan_α__．

公式四：

sin(π－α)＝__sin_α__，cos(π－α)＝__－cos_α__，tan(π－α)＝__－tan_α__．

公式五：

ππ

sin(－α)＝__cos_α__，cos(－α)＝__sin_α__．

22

公式六：

ππ

sin(＋α)＝__cos_α__，cos(＋α)＝__－sin_α__．

22

1．同角三角函数关系的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα＝1±sin2α.

(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.

(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα＝2sin2α.

2．诱导公式的记忆

(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前

面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

π3π

(2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把

22

α看成锐角时原函数值的符号．

可利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．

π2

1．(教材母题必修习题5.2T6)已知角α∈(－，0)，cosα＝，则tanα＝()

23

13