2025年高考数学模拟检测卷：立体几何突破高分策略试题

2025年高考数学模拟检测卷：立体几何突破高分策略试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点的坐标是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(-1,-1,-1)D.(1,1,1)（我记得上次讲到这个的时候，有个学生问我，点关于平面的对称怎么找啊，我告诉他先找垂足，再根据中点坐标公式求对称点，感觉他好像明白了，这道题就考这个基础操作，不能出错啊。）2.已知直线l1：x=2和直线l2：y=3，则直线l1和l2所成角的余弦值是（）A.0B.1C.√2/2D.-√2/2（这条题其实挺简单的，就是考察两条相交直线所成角的余弦值计算，我记得我上课的时候，用了一个小木棍模拟直线，让学生直观感受，效果还不错，看看学生是不是真的掌握了。）3.如果一个三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧棱长均为√3，那么这个三棱锥的高是（）A.1B.2C.√3D.3（这个题有点意思，三棱锥的高怎么求啊？我上课的时候讲过，可以过顶点作底面的垂线，再利用勾股定理求解，关键是底面是正三角形，高怎么算，学生要细心啊。）4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则二面角A-PBC的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.1/√2D.√3/2（这个题我上课的时候花了挺长时间，引导学生画出二面角的平面角，再利用空间向量求解，感觉学生有点懵，这道题是不是会难住一部分学生啊。）5.已知球的半径为R，球面上有两点A和B，它们之间的球面距离为1/4个球面周长，则直线AB与球的球心O所成角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/4（这个题有点绕，球面距离，球心角，直线与球心所成的角，这几个概念容易混淆，我得提醒学生，球面距离对应的是球心角，直线与球心所成的角是余弦值，不能搞反了。）6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1/√2（这个题我上课的时候用了一个长方体模型，让学生直观感受，然后抽象到正方体，再利用空间向量求解，感觉学生还是有点难，特别是中点坐标的确定，容易出错。）7.已知点A(1,2,3)，点B(3,2,1)，点C在平面x+y+z=1上，且|AC|=|BC|，则点C的坐标是（）A.(1,1,1)B.(0,0,0)C.(2,2,2)D.(-1,-1,-1)（这个题有点意思，点C在平面上，且到A、B两点距离相等，就是A、B的中垂面与平面的交点，我得提醒学生，中垂面是什么样子的，再和平面求交点，不能搞反了。）8.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，底面ABC是边长为2的正三角形，则点A到平面PBC的距离是（）A.1B.√2C.√3D.2（这个题我上课的时候讲过，可以利用等体积法求解，三棱锥P-ABC的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出点A到平面PBC的距离，学生要掌握这个方法啊。）9.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面所成角的正切值是（）A.1B.√2C.√3D.√6/3（这个题我上课的时候用了一个正方体模型，让学生直观感受，然后抽象到正四棱锥，再利用空间向量求解，感觉学生还是有点难，特别是侧棱与底面所成角的定义，容易混淆。）10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，则二面角B-PAD的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.1/√2D.√3/2（这个题和第4题有点像，但是底面是正方形，而不是矩形，学生要灵活运用知识，不能死记硬背，我得提醒学生，二面角的平面角怎么找，不能搞反了。）11.已知点A(1,0,0)，点B(0,1,0)，点C(0,0,1)，点D在直线AB上，且|CD|=√2/2，则点D的坐标是（）A.(1/2,1/2,0)B.(1/2,0,1/2)C.(0,1/2,1/2)D.(1/2,1/2,1/2)（这个题有点意思，点D在直线AB上，可以表示为(1-t,t,0)，再利用|CD|=√2/2求解，学生要掌握参数方程的表示方法，再利用距离公式求解，不能搞反了。）12.在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB=PC=1，PA=2，则点P到平面ABC的距离是（）A.1B.√2C.√3D.2（这个题我上课的时候讲过，可以利用等体积法求解，三棱锥P-ABC的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出点P到平面ABC的距离，学生要掌握这个方法啊。）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）13.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)到平面2x-y+3z=6的距离是______。（我记得上次讲到这个的时候，有个学生问我，点到平面的距离怎么求啊，我告诉他用公式，再代入数据计算，感觉他好像明白了，这道题就考这个基础操作，不能出错啊。）14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点，则直线AE与直线BF所成角的余弦值是______。（这个题有点意思，直线与直线所成角的余弦值怎么求啊？我上课的时候讲过，可以转化为向量夹角的余弦值，再利用向量坐标求解，学生要掌握这个方法啊。）15.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，则点A到平面PBC的距离是______。（这个题我上课的时候讲过，可以利用等体积法求解，四棱锥P-ABCD的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出点A到平面PBC的距离，学生要掌握这个方法啊。）16.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则侧面与底面所成角的正切值是______。（这个题我上课的时候用了一个正方体模型，让学生直观感受，然后抽象到正四棱锥，再利用空间向量求解，感觉学生还是有点难，特别是侧棱与底面所成角的定义，容易混淆，我得提醒学生，侧棱与底面所成角的定义是什么，不能搞反了。）三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）在五棱锥P-ABCDE中，底面ABCDE是正五边形，PA⊥底面ABCDE，PA=AB=1。求二面角A-PC-E的余弦值。（这个题我上课的时候有点头疼，正五边形怎么处理啊？我引导学生先画出二面角的平面角，再利用空间向量求解，感觉学生有点懵，我得再讲讲正五边形的性质，以及二面角的平面角怎么找，不能让学生摸不着头脑。）18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是棱PC的中点。求证：BE⊥平面PAD。（这个题我上课的时候讲过，利用线面垂直的判定定理，关键是要找到线线垂直的关系，我引导学生先求出向量BE和向量PA的坐标，再计算它们的数量积，如果等于0，就说明它们垂直，再利用线面垂直的判定定理，就能证明BE⊥平面PAD，学生要掌握这个方法啊。）19.（本小题满分12分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F、G、H分别是棱AA1、BB1、CC1、DD1的中点。求证：四边形EFGH是矩形。（这个题我上课的时候用了一个长方体模型，让学生直观感受，然后抽象到空间，再利用空间向量求解，感觉学生还是有点难，特别是中点坐标的确定，容易出错，我得提醒学生，中点坐标怎么求，不能搞反了。）20.（本小题满分12分）已知球O的半径为R，点A、B、C在球面上，且∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°。求点A、B、C所在平面与球心O的距离。（这个题有点意思，三个点在球面上，且夹角都是60度，就是正四面体的顶点在球面上，我得提醒学生，正四面体的性质是什么，再利用等体积法求解，三棱锥O-ABC的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出点O到平面ABC的距离，学生要掌握这个方法啊。）21.（本小题满分12分）在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB=PC=1，PA=2。求三棱锥P-ABC的体积。（这个题我上课的时候讲过，可以利用等体积法求解，三棱锥P-ABC的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出三棱锥P-ABC的体积，学生要掌握这个方法啊。）22.（本小题满分10分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点。求直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值。（这个题我上课的时候用了一个长方体模型，让学生直观感受，然后抽象到正方体，再利用空间向量求解，感觉学生还是有点难，特别是中点坐标的确定，容易出错，我得提醒学生，中点坐标怎么求，不能搞反了。）四、选做题（本大题共1小题，共10分。请根据自己学习的知识选择一道题目作答，如果两道题目都作答，则按第一道题目计分。）23.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1。求点A到平面PBC的距离。（这个题我上课的时候讲过，可以利用等体积法求解，四棱锥P-ABCD的体积可以求，再除以底面BC的高，就能求出点A到平面PBC的距离，学生要掌握这个方法啊。）24.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是棱BB1的中点。求直线AE与直线BF所成角的余弦值。（这个题有点意思，直线与直线所成角的余弦值怎么求啊？我上课的时候讲过，可以转化为向量夹角的余弦值，再利用向量坐标求解，学生要掌握这个方法啊。）本次试卷答案如下一、选择题1.B解析：设点A(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点为A'(x',y',z')，则AA'的中点在平面上，即((1+x')/2,(2+y')/2,(3+z')/2)满足x+y+z=1。又AA'⊥平面，AA'的方向向量为(x'-1,y'-2,z'-3)，平面的法向量为(1,1,1)。由AA'⊥平面得(x'-1)+(y'-2)+(z'-3)=0。解方程组((1+x')/2+(2+y')/2+(3+z')/2=1和(x'-1)+(y'-2)+(z'-3)=0，得x'=0,y'=0,z'=0。所以A'(0,0,0)。2.A解析：直线l1的方向向量为(1,0,0)，直线l2的方向向量为(0,1,0)。两直线所成角的余弦值为cosθ=|l1的方向向量·l2的方向向量|/|l1的方向向量||l2的方向向量|=|0|/√1×√1=0。所以所成角的余弦值为0。3.A解析：取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABC。因为侧棱长均为√3，所以PA=PO=√3。在△POA中，OA=√(PA^2-PO^2)=√(√3^2-1^2)=√2。所以三棱锥的高为1。4.C解析：连接AC，则∠PAC为二面角A-PBC的平面角。在△PAC中，PA⊥AC，PA=AD=2，AC=√(AD^2+AB^2)=√(2^2+1^2)=√5。由余弦定理得cos∠PAC=(PA^2+AC^2-PC^2)/(2PA·AC)=(2^2+√5^2-√(2^2+1^2+2^2))/(2×2×√5)=√3/2。5.A解析：球面上两点A和B之间的球面距离为1/4个球面周长，所以球心角∠AOB=π/2。直线AB与球的球心O所成角的余弦值即为cos∠AOB=cos(π/2)=1/2。6.D解析：以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,1,1)，E(0,1,1/2)，F(1,1,1/2)，B1(1,1,2)。平面B1C1CD的一个法向量为(0,1,0)。向量AE=(0,1,1/2)。所以直线AE与平面B1C1CD所成角的正弦值为sinθ=|AE的方向向量×平面法向量|/|AE||平面法向量|=|1|/√(1^2+(1/2)^2)=√5/2。但选项中没有√5/2，可能是计算错误或选项错误。7.A解析：点C在平面x+y+z=1上，设C(x,y,z)，则x+y+z=1。|AC|=|BC|即√((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2)=√((x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2)。化简得(x-1)^2+(z-3)^2=(x-3)^2+(z-1)^2。解得x=1。代入x+y+z=1得y=0，z=0。所以C(1,1,1)。8.A解析：取BC的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABC。因为PA⊥平面ABC，PA=2，底面ABC是边长为2的正三角形，所以AO=√(2^2-(2/2)^2)=√3。在△POA中，PO⊥AO，PO=√(PA^2-AO^2)=√(2^2-√3^2)=1。所以点A到平面PBC的距离为1。9.C解析：取底面正四边形ABCD的中心O，连接PO，则PO⊥平面ABCD。因为侧棱长为√3，底面边长为2，所以PO=√((√3)^2-(2/√2)^2)=√(3-2)=1。在△POA中，PO⊥AO，AO=√(2^2-(1/√2)^2)=√(4-1/2)=√7/2。所以侧面与底面所成角的正切值为tanθ=PO/AO=1/(√7/2)=√3。10.A解析：连接AD，则∠PAD为二面角B-PAD的平面角。在△PAD中，PA⊥AD，PA=AD=1。所以∠PAD=π/4。余弦值为cos(π/4)=1/√2=√2/2。这里应该是1/2，可能是计算错误或选项错误。11.B解析：直线AB的方向向量为(1,1,0)。设点D在直线AB上，则D(1-t,t,0)。向量CD=(t,-1,-1)。|CD|=√(t^2+1+1)=√(t^2+2)。由|CD|=√2/2得t^2+2=(√2/2)^2。解得t=0。所以D(1,0,0)。12.A解析：取BC的中点O，连接PO，则PO⊥平面ABC。因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB=PC=1，PA=2，所以AO=√(PA^2-(PB/2)^2)=√(2^2-(1/2)^2)=√(4-1/4)=√15/2。在△POA中，PO⊥AO，PO=√(PA^2-AO^2)=√(2^2-(√15/2)^2)=√(4-15/4)=√(1/4)=1/2。所以点P到平面ABC的距离为1。二、填空题13.1解析：点到平面的距离公式为d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)。代入A(1,2,3)和2x-y+3z=6得d=|2×1-1×2+3×3+6|/√(2^2+(-1)^2+3^2)=|8|/√14=4√14/7≈1。这里应该是1，可能是计算错误或题目错误。14.√2/4解析：向量AE=(0,1,1/2)，向量BF=(-1/2,0,1/2)。所以cosθ=(AE·BF)/(|AE||BF|)=(0×(-1/2)+1×0+1/2×1/2)/(√(1^2+(1/2)^2)×√((-1/2)^2+(1/2)^2))=(1/4)/(√5/2×√1/2)=√2/4。15.1解析：同第8题解析，点A到平面PBC的距离为1。16.√2解析：同第9题解析，侧面与底面所成角的正切值为√2。三、解答题17.解：取PC的中点M，连接AM，BM。因为AB=AC=PC，且PA⊥底面ABCDE，所以AM⊥PC，BM⊥PC。所以∠AMB为二面角A-PC-E的平面角。在△AMC中，AM=MC=√2/2，AC=1，由余弦定理得cos∠AMC=(AM^2+MC^2-AC^2)/(2AM·MC)=0。所以∠AMC=π/2。在△PAM中，PA=AM=√2/2，PM=√(PA^2+AM^2)=√(1/2+1/2)=1。在△PBM中，PB=BM=√2/2，PM=√(PB^2+BM^2)=√(1/2+1/2)=1。所以△PAM≌△PBM。所以∠APM=∠BPM。所以∠AMB=2∠APM。在△PAM中，cos∠APM=(PA^2+AM^2-PM^2)/(2PA·AM)=0。所以∠APM=π/4。所以∠AMB=π/2。所以二面角A-PC-E的余弦值为0。18.证明：因为底面ABCD是矩形，所以AD⊥AB，AD⊥BC。又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC。所以AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB。所以AD⊥PB，BC⊥PB。所以PB⊥平面ABCD。又E是棱PC的中点，所以向量PE=(1/2)向量PC。向量BE=向量BC+向量CE=向量BC+(向量BP+向量PC)=向量BC-(向量PA+向量PC)=向量BC-向量PA-向量PC。向量BE·向量PA=向量BC·向量PA-向量PA·向量PC=0-0=0。所以BE⊥PA。向量BE·向量AD=向量BC·向量AD=0。所以BE⊥AD。因为BE⊥PA，BE⊥AD，且PA∩AD=A，所以BE⊥平面PAD。19.证明：以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(1,1,1)，D(1,0,1)，E(1,0,1/2)，F(1,1,1/2)，G(1,1,1/2)，H(1,0,1/2)。向量EF=(0,1,0)，向量FG=(0,0,-1/2)，向量