2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省潮州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，在复平面内，复数z=i⋅(3+i)，则z对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是(

)第一组第二组第三组合计投篮次数100200300600命中的次数66126183375命中的频率0.660.630.610.625A.0.61 B.0.63 C.0.625 D.0.663.在△ABC中，已知A=45°,a=2，则△ABC的外接圆直径为(

)A.2 B.2 C.12 4.平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，则实数t=(

)A.2 B.−2 C.±2 D.5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为5，则圆台的侧面积为(

)A.π B.16π C.17π D.25π6.已知a=(0,6),b=(1,1)，向量a在b上的投影向量的坐标为A.(1,1) B.(−3,3) C.(3,3) D.(−3,−3)7.如图，△O′A′B′是△OAB用“斜二测画法”画出的直观图，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，则△OAB的周长是(

)A.22+2

B.42+28.在△ABC中，已知AB=2，BC=3，B=π3，点M为AC上的点，且AM=3MC，则A.316 B.174 C.1716二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；在35～75μg/m3，空气质量为二级；超过75μg/m3为超标.如图是某地12月1日至10A.这10天PM2.5的日均值逐日增大

B.这10天中PM2.5日均值的平均值是48.8

C.从PM2.5日均值看，前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差

D.这10.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(

)A.PB⊥AC

B.PC⊥BC

C.平面ABC⊥平面PAC

D.平面PBC⊥平面PAC11.口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件A=“第一次取出的是红球”，B=“取出的两球同色”，C=“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是(

)A.P(A)=12 B.B与C互为对立事件

C.A与B互斥 D.A与三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。12.已知i是虚数单位，复数z满足|z−2i|=1，请写出一个满足条件的复数z=______．13.假设事件A与B相互独立，且P(A)=0.8，P(B)=0.5，则P(A∪B)=______．14.二面角α−l−β的大小是30°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为60°，则AB与平面β所成的角的正弦值是______．四、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

已知|a|=1,|b|=2,a⋅b=1．

(1)求a与b的夹角θ16.(本小题8分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．

(1)求证：17.(本小题8分)

为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据(单位：cm)按[140,150)、[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图

(1)求a值，并估计这100名学生身高的第45百分位数；

(2)在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在[150,170)的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人身高都不低于160cm的概率．18.(本小题10分)

如图，A，B，C，D四点在同一个圆上，BA=BC=5，AD=2，∠BAD为钝角，且sin∠BAD=35．

(1)求CD；

(2)记∠BDC为α，求19.(本小题10分)

为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为310，每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为12．

(1)求p和q的值；

(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．

答案解析1.【答案】B

【解析】解：z=i⋅(3+i)=−1+3i，在复平面内，复数z对应的点是(−1,3)，在第二象限．

故选：B．

先根据复数乘法计算出复数值，然后根据定义判断．2.【答案】C

【解析】解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，

所以合计列对应的频率最为合适．

故选：C．

根据频率和概率的关系即可判断．

本题考查频率与概率的关系，属于基础题．3.【答案】A

【解析】解：由题意可得asinA=2R，其中R为三角形外接圆半径．

所以三角形外接圆直径为222=2．

4.【答案】A

【解析】解：由题意△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(t,2)，B(4,0)，∠A=90°，

所以AO=(−t,−2),AB=(4−t,−2)，

因为∠A=90°，所以AO⋅AB=−4t+t2+4=0，解得t=2．

5.【答案】D

【解析】解：由题意圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为5，

可设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r.母线长为5，

在如图所示的圆台轴截面中，AE=r，BF=EF=4r，AB=5，

过点A作AG⊥BF于点G，

所以有AB2=AG2+BG2，

有52=(4r)2+(4r−r)2，解得6.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，a=(0,6)，b=(1,1)，

则a在b上的投影向量的坐标为a⋅b|b|⋅b7.【答案】D

【解析】解：根据题意，直观图△O′A′B′中，O′A′=A′B′，O′A′⊥A′B′，O′B′=2，

易得O′A′=2，

由斜二测画法还原原图，作出△OAB，如下图所示：

其中OB=O′B′=2，OA=22，∠AOB=π2，

由勾股定理可得AB=OA2+OB2=(228.【答案】B

【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

过点A作AD⊥BC，

因为AB=2，BC=3，∠B=π3，

所以A(1,3)，C(3,0)，

所以AC=(2,−3)，

所以AM=3MC，所以AM=34AC=(329.【答案】BC

【解析】解：对于选项A，由图可知这10天PM2.5的日均值有增有减，故A错误；

对于选项B，这10天中PM2.5日均值的平均值x−=110(30+41+32+34+40+80+78+60+45+48)=48.8，故B正确；

对于选项C，前5天平均值为30+41+32+34+405=35.4，后5天平均值为80+78+60+45+485=62.2，

所以前5天的日均值的方差15i=15(xi−35.4)2=19.02，

后5天日均值的方差15i=610(xi−62.2)2=213.76

因为19.02<213.76，

所以前5天的日均值的标准差小于后5天的日均值的标准差，故C正确；

对于选项D10.【答案】BCD

【解析】解：对于A，假设PB⊥AC，

∵BC⊥AC，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，

∵PC⊂平面PBC，∴AC⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥PA，

在△PCA中，PA⊥AC，PC⊥AC，不能同时成立，故A错误；

对于B，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，

∵BC⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，故B正确；

对于C，∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面ABC⊥平面PAC，故C正确；

对于D，由选项B可知BC⊥平面PAC，

∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC，故D正确．

故选：BCD．

根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可．

本题考查面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ABD

【解析】解：记红球为1，2，白球为3，4，

不放回依次取出两个，

则样本空间Ω={12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}，共12种，

∵事件A=“第一次取出的是红球”，B=“取出的两球同色”，C=“取出的两球不同色”，

∴事件A={12,13,14,21,23,24}，共6种；

事件B={12,21,34,43}，共4种，

事件C={13,14,23,24,31,32,41,42}，共8种；

对于A，P(A)=n(A)n(Ω)=612=12，故A正确；

对于B，∵B∩C=⌀，B∪C=Ω，∴B与C互为对立事件，故B正确；

对于C，∵A∩B={12,21}，∴A与B不是互斥事件，故C错误；

对于D，∵事件AC={13,14,23,24}，共4种，∴P(AC)=n(AC)n(Ω)=412=13，

∵P(C)=n(C)n(Ω)=812=23，12.【答案】1+2i(答案不唯一)

【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，由|z−2i|=1，得|z−2i|=|a+(b−2)i|=a2+(b−2)2=1，

即a2+(b−2)2=1，取a=1，b=2显然符合题意，即z=1+2i．

故答案为：1+2i(答案不唯一13.【答案】0.9

【解析】解：根据题意，若P(A)=0.8，P(B)=0.5，且事件A与B相互独立，

则P(AB)=P(A)P(B)=0.4，

则P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.8+0.5−0.4=0.9．

故答案为：0.9

根据独立性求出P(AB)，然后由概率的运算性质求解即可．

本题考查相互独立事件的概率计算，涉及和事件的概率性质，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：过A作AO⊥β于O，过O作OC⊥l于C，连接AC，

则∠ABO为AB与平面β所成的角，

因为l⊂β，所以AO⊥l，

因为AO∩OC=O，所以l⊥平面AOC，

因为AC⊂平面AOC，

所以l⊥AC，

所以∠ACO为二面角α−l−β的平面角，则∠ACO=30°，

设AO=1，则AC=2，

因为∠ABC=60°，

所以AB=ACsin∠ABC=2sin60∘=433，

所以sin∠ABO=AOAB=1433=34，

所以AB与平面B所成的角的正弦值为34．

故答案为：34．

过A作AO⊥β于O，过O15.【答案】π3；

3【解析】(1)由|a|=1,|b|=2,a⋅b=1，

可知a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=2cosθ=1，

则cosθ=12，又θ∈[0,π]，

所以θ=π16.【答案】(1)证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是△BDD1的中位线，

所以OE//BD1，

又OE⊂面AEC，BD1⊄面AEC，所以BD1//平面AEC；

(2)解：正方体ABCD−A【解析】(1)连接BD交AC于O，连接OE，即可得到OE//BD1，从而得证；

(2)根据正方体的性质及VD−AEC=V17.【答案】a=0.02，165；

310．【解析】(1)在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，组距d=10，

由(0.010+a+0.030+0.028+0.012)×10=1，即0.010+a+0.030+0.028+0.012=0.1，

解得a=0.1−(0.010+0.030+0.028+0.012)=0.020，

1−5组的频率分别为0.1，0.2，0.3，0.28，0.12，

前2组的频率之和为0.1+0.2=0.3<0.45，

前3组的频率之和为0.3+0.3=0.6>0.45，

所以第45百分位数落在[160,170)，设为m，

则0.3+(m−160)×0.03=0.45，解得m=165，

所以这100名学生身高的第45百分位数为165；

(2)身高在[150,160)的学生有100×10×0.02=20人，

身高在[160,170)的学生有100×10×0.03=30人，

故身高在[150,170)的学生共有50人，

用分层抽样的方法从身高在[150,160)的学生中抽取5×2050=2名，记为1，2，

从身高在[160,170)的学生中抽取5×3050=3名，记为a，b，c．

从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12，共10种，

记A=“这2人身高都不低于160cm”，

则A包含的结果有：ab，ac，bc，共3种，

故所求概率P(A)=310．

(1)由频率分布直方图求解即可；

18.【答案】10；

25【解析】(1)∠BAD为钝角，sin∠BAD=35，则cos∠BAD=−1−(35)2=−45，

在△ABD中，由余弦定理，BD2=22+52−2×5×2×(−45)=45，则BD=35，

圆内接四边形对角互补，于是∠BAD+∠BCD=π，又sin∠