【《微分中值定理及其应用分析》7100字】

PAGE2微分中值定理及其应用研究中文摘要TOC\o"1-3"\f\h63461引言 1136342微分中值定理 260312.1罗尔定理及其推广 258822.1.1罗尔定理 2321162.1.2罗尔定理的推广 4217062.2拉格朗日中值定理 6173252.2.1拉格朗日中值定理 663382.2.2Lagrange中值定理的推广 8294282.3柯西中值定理 10235502.3.1柯西中值定理 10282112.3.2柯西中值定理的推广 11294522.4泰勒定理 1319872.4.1泰勒定理 1378792.4.2泰勒公式中的Lagrange型余项的探讨 14239243微分中值定理应用举例 15196293.1罗尔中值定理的应用 1566463.2拉格朗日中值定理的应用 16192533.3柯西中值定理的应用 17282463.3.1直接应用柯西中值定理 1765973.3.2利用柯西中值定理解决不定式极限 1827829参考文献 24摘要：微分中值定理是研究函数的一个重要理论工具.本文首先介绍了微分中值定理的发展历史.然后分别绍阐述了罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理以及它们的推广，最后给出了这些中值定理的一些应用.关键词：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式1引言微分中值定理作为重要的数学工具，对很多数学问题的研究起着重要作用REF_Ref29583\r\h[1].然而定理不是凭空产生的，任何科学以及真理都有推动其产生的原因和动力。作为微分中值定理的前导篇费马定理，也不例外.在十七世纪前期，数学家费马(PierredeFermat，1601-1665，法国)在函数最值的问题上，因为研究需要，给出了较为朴素的费马定理.后人在更加完善的微积分理论体系的支撑下，根据其本质进行重新阐述，这就得到了我们现在看到的费马定理.另一个重要定理Rolle定理也是由罗尔(MichelRolle，1652-1719，法国)在研究方程解法的时候总结并提出的.后人对该定理进行进一步的规范和完善后就有了现在教科书上呈现的罗尔中值定理.而在一百多年后的1797年诞生的拉格朗日中值定理与之前的罗尔中值定理是层层递进又相互关联的关系，是微分中值定理发展过程中不可或缺的一环，它在微分中值定理体系中的地位也是不容忽视的.在接下来的几十年里，微分中值定理在无数数学家的努力之下不断的发展和完善.其中最耀眼的一位就是法国数学家柯西(AugustinLouisCauchy，1789-1857)，微分中值定理在他的研究中得到了更为系统的阐述.凝聚了他智慧结晶的著作也随着研究的深入而逐渐成形，让微分中值定理的体系变得更加完整和严谨，更由此奠定了微分中值定理在微分学中的基石地位REF_Ref29583\r\h[1].正如前文所说，伟大的科学发现是需要动力和契机的.他在对无穷小问题的研究中就随着研究的需要和不断推进，让中值定理又向前迈进了大步，有了我们的柯西中值定理.这一定理的雏形可在他的另一本经典作品《微分计算教程》中得见真颜.最后，泰勒中值定理是这一体系中不可忽视的存在，它不仅让这个体系更加完整，还让我们这个体系具备了解决更多函数问题的能力.它不但体现了数学的严谨性，还体现了数学的发展性和进步性.微分中值定理体系的形成，是由无数个数学家的心血和付出换来的，但它并不会止步于此.因为会有一批又一批的学者们不断为它添砖加瓦，让它不断完善与加固，作为微分学的基石继续存在着.2微分中值定理2.1罗尔定理及其推广 2.1.1罗尔定理 定理2.1.1REF_Ref21903\r\h[2]若函数满足：于上的每一点都连续于内的每一点都可导，那么内一定有点满足：此点处的导数的值是零.同时满足这样条件的点可能不是唯一的.. 下面我们对罗尔中值定理进行证明. 证REF_Ref21903\r\h[2]：由条件可知在闭区间上连续，因此根据最大、最小值定理可以得到在闭区间上有最大值和最小值，分别记为和.当时，为上的常值函数.而常值函数的求导结果是零，这与上述的定理结论相一致，结论显然成立.当时，由条件可知，此函数的两个端点处于同一水平线上，因此最大值和最小值不可能同时在两端取到.所以和至少有一个在开区间上某点处取到，此时点为的极值点.又有条件可知在处可导，因此由费马定理可知在处的导数值为零，结论成立REF_Ref21903\r\h[2].【注】：由以上证明过程可知，罗尔定理中的三个条件必须同时成立才能得到定理所述结论，三个条件缺一不可.下面通过几个例子来说明这一点:例2.1.1函数，在上连续，且，满足条件和条件，但此时在区间中不存在导数为零的点，即“在上存在一点使得这个点处的导数值为零”不成立.这是因为函数在零这个点是不可导的，即不满足条件.例2.1.2函数，满足在可导，且0和1这两个点所对应的函数值是相等的，但此时在区间中仍不存在导数为零的点，即“在上存在一点使得这个点处的导数值为零”不成立.这是因为函数，在处不连续，即不满足条件.例2.1.3函数，在区间上连续且可导，但此时在区间中不存在仍导数为零的点，即“在上存在一点使得这个点处的导数值为零”的结论不成立.这是因为在0和1处的函数值不是相等关系，也就是不满足条件.下面对罗尔中值定理的三个条件进行适当修改，使得结论仍能成立，让定理的应用范围更加广泛.2.1.2罗尔定理的推广命题2.1.1REF_Ref22210\r\h[3]若函数满足：于上的每一点都是连续的于内的某些点处的导数是（），且这些点的数量是有限的，而其余无数个点的导数都是有限值.，那么上一定有让导函数的值为0的点，且这样的点可能不止一个.证取上的一点，记为.由条件可以知道在此区间上，导数值为（）的点的个数只有有限个，那么我们就可以更极端一点地假设这样的点只有一个，即，在区间与内均有有限导数，且有在区间上连续，还满足在，这两个点处的函数值是相等的这个条件.接下来我们将开始分情况探讨：若在点以及点这两个点处所取得的函数值是相同的，则在区间和上均满足罗尔定理的条件，即存在和，满足在这两点处的导函数的值是零，这样我们就找到了两个能使结论成立的点.若，由可知对充分大的正数，存在，使得.又因为，所以，而在区间上连续，故在区间上也连续，因此通过最值定理可以得到：在区间上存在最小值.又因为，所以，再由费马定理可知；的情形可与情况(2)同理可证.综上所述，结论得证.命题2.1.2REF_Ref22210\r\h[3]若函数满足：于上的每一点处都存在导数有这样的，同时，以及那么上肯定有这样的点满足并且像这样满足条件的点可能不止一个.证设，(1)为有限数.不妨设不是常值函数，那么此时一定存在区间上的一点记为，使得该点处的函数值不是.不妨设.因为，我们可以知道一定有一个足够大的，可以有；再根据，可以知道有这样的，在满足这个条件后，有和基于上述的分析，可以知道在上可以得到以及再根据在上的每一点也都是连续的，所以由最值定理可知，在该区间上可取到最大值.又由，可知端点处不能取到的最大值.由此可以知道，存在，使得函数在该点可取得最大值.再由费马定理，可以得到该点处的导数值是零，这样我们就找到了一个能使定理成立的点.，这时我们取与的中点，并且把它记作.若，那么利用连续函数的介值定理可以得到：和之间一定有一点，使得在点处，的值为零；同样的，在和之间也有这样的点，使得在点处，的值为零.此时在闭区间上，函数满足罗尔定理的三个条件.因此存在一点使得在该点处有，注意这个点也是在上的.由此在这种情况下我们再次找到了使定理成立的点.若的值是小于或等于零，那么我们可以构造这样一个函数：，此时，重复上述过程可得，在和之间有这样一个点，使得在该点处的值为零，而我们知道，也就是说在该点处的值也是零.我们同样也找到了使定理成立的点.(3)的情况可由情况(2)同理可证.综上所述，结论成立.2.2拉格朗日中值定理2.2.1拉格朗日中值定理定理2.2.1REF_Ref21903\r\h[2]若函数满足:于上的每一个点都是连续的；于内的每一个点都是可导的；那么内一定有这样的点，满足并且这样的点可能不止一个.证[2]作辅助函数此时，而从上述的运算结果，我们可以清楚地看到在点和点处的函数值是相等的关系.显然，我们以原函数为依据构造的这个新函数让我们成功地创造出了Rolle定理的条件.从具体的函数表达式能够很明显的得到：于的每一个点都是连续的，同时它于上的每一个点都是可导的.也就是说，它又符合了Rolle中值定理的条件与.故于上一定有这样的点，让它的导函数在该点处的值为零.显然根据该函数的导数表达式就可以知道我们找到了一个使定理成立的点.结论得证.【注】：由以上证明过程我们能发现，Rolle定理是证明的基础，同时如何构造出便于证明的函数也是关键一步.从拉格朗日中值定理的内容和形式上都很容易发现：它是罗尔中值定理的进一步推广，是对罗尔中值定理的进一步发展，有着重要且积极的意义. 2.2.2Lagrange中值定理的推广 下面先来阐述一个它的等价命题.命题2.2.1REF_Ref22599\r\h[4]若满足：于上的每一个点都是连续的；于内的每一个点都是可导的；那么于上任取两点，内一定有这样的点，使得命题2.2.2REF_Ref22599\r\h[4](命题2.2.1的逆命题)若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则对中任意的点，于上都存在，使得.但这个逆命题是不一定成立的，下面通过具体例子来说明:例2.2.1设，则于连续，于可导.此时我们注意到，它在零处的导数值是，显然上没有符合条件的使得.证，在零处有的值是.函数在区间上单调递增，显然不存在函数值相等的两个点，使得. 下面介绍一个能使拉格朗日中值定理逆命题成立的一个条件.在命题2.2.2的基础上添一个条件即可让该命题成立，如命题2.2.3所示:命题2.2.3REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref22599\r\h[4]若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，是上的凹(凸)函数，则对中的任意点，都存在上的，使得.证REF_Ref22599\r\h[4]REF_Ref49\r\h[5]REF_Ref62\r\h[6]不妨设是上的凹函数，则中的任意点，对任意的，满足时，均有.因为函数在处可导，所以由导数的定义和极限的保号性得.当时.取，命题得证.当时.作辅助函数.那么在上连续且.再利用介值定理可得：存在，使得.再取，命题即可得证.当时.作辅助函数.那么在上连续且.再利用介值定理我们能够有，让成立.令，则结论得证.证毕.2.3柯西中值定理2.3.1柯西中值定理定理2.3.1REF_Ref21903\r\h[2]若和满足:于上每一个点都是连续的；于内每个点都是可导的；，不能一起取到；在，两点处的函数值是不相等的状态；那么上一定有点，让.证REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref294\r\h[16]作辅助函数，此时，而故有在两点处的函数值是相等的状态.从的具体表达式能够得出，于连续，于可导，此时Rolle定理的条件以及是成立的，故中必有这样的点让在该点处的值是.即因为与不同时为零，所以等式左边的分母不是零，否则与条件矛盾.故.结论得证.【注】：在证明柯西中值定理的过程中，函数的构造仍然是一个重要且有趣的地方.只要能够达到最终的证明目标，函数的构造方式不止一种.2.3.2柯西中值定理的推广和对拉格朗日中值定理的讨论一样，在我们学习完柯西中值定理的时候，也会对它的逆命题产生好奇.那么下面将要讨论的内容就是柯西中值定理的逆命题.命题2.3.1若与满足:于上的每一点都是连续的；于内的所有点都是可导的；和不同时为零，在两点处的函数值是不相等的状态；则对使得.显然这个命题是不成立的，下面进行举例说明:例2.3.1REF_Ref382\r\h[7]设函数，由此可见满足命题2.3.1的条件，但是取，对，.显然命题2.3.1不成立.那么是否能附加某些条件使之成立呢?答案是可以，但这需要进一步研究和讨论.命题2.3.2REF_Ref457\r\h[8]设函数和满足这样的条件：在上均可导，的导数不为零.当时，有(或)，则对中的任何一点，存在，使得.证REF_Ref457\r\h[8]下证当时，有的情形.给定点，作函数因此，故在上严格单调递减，而，故在上严格单调递增.又因为，所以和的值域均为区间，记为和，其中.设与中最小的那个记为，我们再取中的一点，则由介值定理可知，存在，使得，即有.由此可得.命题得证.2.4泰勒定理2.4.1泰勒定理定理2.4.1REF_Ref21903\r\h[2]若于上是阶可导的，并且此时的导函数是连续的，同时上有的阶导数，那么对于中的任意两点，中一定有这样的点，让下面这个式子成立：….证REF_Ref21903\r\h[2]我们令.下证，即证.取，就有及于中是连续的，于内可导.再加上函数和在取时，它们两个的函数值是相等的，而且值是零.再依据Cauchy中值定理：存在一点，使得.结论得证.该定理的提出与规范让微分中值定理的体系继续扩大和完善，同时也为函数的研究提供了更多的工具和思路，这具有非常重要的意义.2.4.2泰勒公式中的Lagrange型余项的探讨泰勒公式中的Lagrange型余项一直是人们关注的话题，下面将对阶泰勒公式的Lagrange型余项进行讨论，并介绍相关结论.定理2.4.2REF_Ref816\r\h[9]设函数在区间上有直到阶导数，若，则存在和使的公式的余项成立.证REF_Ref882\r\h[10]REF_Ref891\r\h[11]从上文对于Taylor定理的详述中，我们可以知道:当函数于上有阶的导数，并且这个导数是连续的.与此同时它还在上有阶的导数.那么对中的任意，上都有这样的点，使得 取，则有(2.1)再取，再由定理条件，则有....(2.2)由(2.1)式与(2.2)式可知：.定理得证.3微分中值定理应用举例3.1罗尔中值定理的应用例3.1.1设函数在上可导，请证明：如果没有实根，则至多有一个实根REF_Ref21903\r\h[2].分析:由想到罗尔中值定理；由“至多有一个实根”想到反证法.证用反证法.假设有两个不同实根，记为，不妨设，则由“函数在上可导”可知函数在闭区间连续且可导，再根据一开始的假设可得：.这时就可以利用Rolle定理，我们知道会有这样一点让的值是零，也就意味着是一个根.这与没有实根相矛盾，命题得证.例3.1.2设函数在开区间上可微，且有成立，请证明:上至少存在一点，使得这个点处的导数值为REF_Ref1042\r\h[12].分析:由想到构造函数证设，则取有的值是，又，所以.由罗尔定理可得，上存在一点使得，即.设，则由可知.因此根据罗尔定理：内存在一点使得在这个点处的导数是零.也就是，因此有的值为，结论得证.3.2拉格朗日中值定理的应用例3.2.1用拉格朗日定理证明不等式:对任意实数，都有REF_Ref21903\r\h[2].分析：要想用拉格朗日定理来证明，所以联想到.证：当时，结论显然成立；下面讨论的情况，不妨设，则由拉格朗日定理可知，内会存在一个，使得，所以，而，故题中的结论成立.例3.2.2设为上二阶可导函数，.且于内存在一点使得.证明：于内至少有一点，使得REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref1208\r\h[15].证由：根据就有而.由Lagrange中值定理：有这样的，使得.又由，所以可以判断出.又因为，因此综上可得，结论得证.例3.2.3证明：.分析:由联想到的导函数即为，再将化为.此时.证令，在区间上连续且可导.因此内存在这样的，使得.也就是.又因为，所以，故，即，两边再同乘得.结论得证.3.3柯西中值定理的应用3.3.1直接应用柯西中值定理例3.3.1REF_Ref21903\r\h[2]设在区间上可导，.求证:在在区间上一致连续.证设，因为，故有，在时，.而对，由Cauchy中值定理，（）故.而在上一致连续，根据上面的不等式限制，就有在也一致连续.再加上在连续，从而是一致连续的，故在上一致连续，结论得证.3.3.2利用柯西中值定理解决不定式极限下面将通过柯西中值定理推出洛必达法则，进而给出解决不定式极限的较为简便求解方法.定理3.3.1REF_Ref21903\r\h[2]若函数满足:在内皆可导，但不为零就有证当我们让时，就有于连续REF_Ref21903\r\h[2].对内的，在()上，由Cauchy中值定理：，即（处在与之间），因此，当时，有，所以.定理3.3.2REF_Ref21903\r\h[2]当和符合:在上皆可导，但不为零就有证(分析:先从题目的条件入手，由题中条件可得出以下结论)由可知，对任意，上有这样的，对任意满足的都有，，又由条件可知，和在区间上满足柯西中值定理，故存在，使得(3.1)(注:要证，即证，所以要从上面的不等式中分离出待证的结论.因此需进行乘除运算，在乘除运算前要对的正负情况进行讨论)由可推知，因此由保号性可知，存在正数，使得当时，有，因此由(3.1)式可知.再由可得再由保号性可得，存在正数，使得当时，有，因此.结论得证.以上两个定理可以用来求不定式极限，这个方法被称为洛必达法则，它们都是在柯西中值定理的基础上推导出来的.在求解不定式极限时，若能满足洛必达法则，那么求解过程将会大大简化.下面是洛必达法则的简单应用:例3.3.2设函数在区间上可导，.请证明:.证显然=.(本题的关键是利用的导数仍为，从而将待证结论与条件建立联系).例3.3.3请问能否用洛必达法则求解?说明理由.不能.虽然在时，分子与分母都趋向正无穷，属于型的极限，但是，此时等式右侧的极限不存在，不满足洛必达法则的使用条件，所以本题不能盲目利用洛必达法则求解.3.4泰勒公式的应用在前文我们知道了泰勒公式的一般形式.然而在实际应用中我们所经常使用到的多为它在时的形式：也就是麦克劳林公式，下面介绍几个常见的应用实例.例3.4.1REF_Ref1545\r\h[13]求极限.分析:首先可观察到在时，分子分母都趋于0，属于型的不定式极限，从理论上来说，可用洛必达法则尝试求解.但是在实际操作中会发现，用洛必达法则求解较为繁琐.因此想找其他途径来解决此题，此时再观察分母为，因而想到用麦克劳林公式将分子也转化成关于的多项式且，这样问题就能找到一个较为简洁的解法.解由麦克劳林公式可得:可以展开成，可以展开成，减去就可以表示为.因此，.例3.4.2请利用泰勒公式来近似计算的值，并使误差不超过REF_Ref21903\r\h[2]REF_Ref1630\r\h[14].分析:由可联想到，此时可利用麦克劳林公式将展开，再取，即可得到的近似值.解由麦克劳林公式可知:，其中.取，得:.余项，因为题目要求误差不超过，所以取，此时有.因此有.例3.4.3已知函数在闭区间上二阶可导，与的值是零，且当时，，证明:当时，REF_Ref1545\r\h[13].分析:看到条件中的二阶导数，再结合想把表示出来的愿望.就自然而然地想到利用泰勒公式将进行二阶展开.证由泰勒公式可得函数在（）处的展开式为:，因此，（），（），其中，，，又因为与均为零，故将上面两式相减可得:，故可以写成.又因为，所以,，.又因为时，，因此.结论得证.参考文献卢玉峰.

微分中值定理的历史与发展[J].

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