2025年中考数学模拟试题（考前冲刺）-数列问题解题策略试卷

2025年中考数学模拟试题（考前冲刺）-数列问题解题策略试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，且S_n=2a_n-3，则a_5的值为（）A.32B.16C.8D.42.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，则a_6的值为（）A.10B.8C.6D.43.已知数列{b_n}是等比数列，且b_2=6，b_4=162，则b_3的值为（）A.18B.36C.54D.724.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-2n，则数列{c_n}的通项公式为（）A.c_n=2n-1B.c_n=2n+1C.c_n=n^2D.c_n=n^2-15.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=12，且a_3=5，则公差d的值为（）A.1B.2C.3我觉得这个题还挺有意思的，a_3是5，那a_1和a_5加起来是12，我能不能用等差数列的性质来算呢？a_3就是a_1加上两个公差，所以a_1就是5减去两个公差，然后a_5就是a_1加上四个公差，所以a_1加上a_5就是5减去两个公差加上5加上四个公差，等于10加上两个公差，这个等于12，所以两个公差等于2，公差就是1。所以选A。6.已知数列{d_n}是等比数列，且d_1=3，d_4=81，则数列{d_n}的通项公式为（）A.d_n=3^nB.d_n=3^n-1C.d_n=3^n+1D.d_n=2^n7.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且满足e_n=S_n+2n，则数列{e_n}的前三项分别为（）A.1，3，5B.2，4，6C.3，5，7D.4，6，88.在等差数列{a_n}中，若a_2+a_8=18，且a_5=6，则a_10的值为（）A.12B.9C.6D.39.已知数列{f_n}是等比数列，且f_2=12，f_5=486，则数列{f_n}的通项公式为（）A.f_n=2^nB.f_n=3^nC.f_n=2^n-1D.f_n=3^n-110.已知数列{g_n}的前n项和为S_n，且满足g_n=S_n-3n，则数列{g_n}的通项公式为（）A.g_n=3n-1B.g_n=3n+1C.g_n=n^2D.g_n=n^2+1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。）11.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，公差d=-2，则a_10的值为________。12.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，公比q=3，则b_6的值为________。13.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且满足c_n=S_n-4n，则数列{c_n}的通项公式为________。14.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=16，且a_5=4，则公差d的值为________。15.已知数列{d_n}是等比数列，且d_2=9，d_5=243，则数列{d_n}的通项公式为________。（接下来的题目会继续，这里先写这两部分，保持逻辑连贯和风格一致，希望对你有帮助。）三、解答题（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分10分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，S_n=4a_n-3n。（1）求证：数列{a_n}是等比数列；（2）求数列{a_n}的通项公式。17.（本小题满分10分）在等差数列{b_n}中，若b_3=7，b_5=13。（1）求该数列的通项公式；（2）设数列{c_n}的通项公式为c_n=b_n^2，求数列{c_n}的前n项和S_n。18.（本小题满分12分）已知数列{d_n}是等比数列，且d_1=2，d_4=16。（1）求该数列的通项公式；（2）设数列{e_n}的前n项和为T_n，且满足e_n=d_n+n，求数列{e_n}的前3项和T_3。19.（本小题满分12分）已知数列{f_n}的前n项和为S_n，且满足f_n=S_n+2n-1。（1）求证：数列{f_n}是等差数列；（2）若数列{f_n}的首项为3，求该数列的通项公式。20.（本小题满分6分）已知数列{g_n}是等差数列，且公差d=2，g_4=10。（1）求该数列的通项公式；（2）设数列{h_n}的通项公式为h_n=g_n^2，求数列{h_n}的前2项和S_2。四、综合题（本大题共2小题，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）21.（本小题满分15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，S_n=2a_n-1。（1）求证：数列{a_n}是等比数列；（2）设数列{b_n}的通项公式为b_n=a_n/2^n，求数列{b_n}的前n项和S_n。22.（本小题满分15分）已知数列{c_n}是等比数列，且c_1=3，c_4=81。（1）求该数列的通项公式；（2）设数列{d_n}的前n项和为T_n，且满足d_n=c_n-2^n，求数列{d_n}的前3项和T_3。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：首先，根据题目中给出的条件S_n=2a_n-3，我们可以尝试求出数列{a_n}的通项公式。由S_n=2a_n-3，我们可以得到S_1=2a_1-3。将a_1=2代入，得到S_1=2*2-3=1。所以a_1=S_1=1。接下来，我们考虑n≥2的情况，有a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3-(2a_{n-1}-3)，化简得到a_n=2a_{n-1}。这说明数列{a_n}从第二项开始是首项为1，公比为2的等比数列。因此，a_2=2a_1=2*1=2，a_3=2a_2=2*2=4，a_4=2a_3=2*4=8，a_5=2a_4=2*8=16。所以a_5的值为16，选项C正确。2.A解析：由等差数列的性质，我们知道a_3+a_9=a_1+a_{11}。又因为a_3+a_9=20，所以a_1+a_{11}=20。又因为a_5=(a_1+a_{11})/2，所以a_5=20/2=10。所以a_6=a_5+d=10+d，其中d是公差。但是题目中没有给出公差d的值，所以我们需要利用题目中给出的信息来求解d。由于a_3+a_9=20，我们可以得到2a_1+10d=20，即a_1+5d=10。又因为a_5=10，所以a_1+4d=10。联立这两个方程，我们可以解得d=0。因此，a_6=10+0=10。所以a_6的值为10，选项A正确。3.B解析：由等比数列的性质，我们知道b_4=b_2*q^2，其中q是公比。又因为b_2=6，b_4=162，所以162=6*q^2，解得q^2=27，即q=3或q=-3。由于题目没有给出公比q的正负，我们需要分别考虑两种情况。当q=3时，b_3=b_2*q=6*3=18；当q=-3时，b_3=b_2*q=6*(-3)=-18。所以b_3的值可以是18或-18。但是题目中没有给出b_3的符号，所以我们需要根据题目中给出的信息来选择正确的答案。由于题目中没有给出更多信息，我们无法确定b_3的具体值。但是，根据题目中给出的选项，我们可以看到选项B的值为36，而18和-18都不在选项中。因此，我们需要重新检查我们的计算过程。实际上，我们之前的计算是正确的，b_3的值可以是18或-18。但是，由于题目中没有给出b_3的符号，我们无法确定b_3的具体值。因此，我们无法确定正确的答案。所以，这道题的答案应该是无法确定。4.A解析：首先，根据题目中给出的条件c_n=S_n-2n，我们可以尝试求出数列{c_n}的通项公式。由c_n=S_n-2n，我们可以得到c_1=S_1-2*1。将n=1代入，得到c_1=S_1-2。又因为c_1=S_1-2n，所以c_1=S_1-2*1=S_1-2。所以c_1=S_1-2。接下来，我们考虑n≥2的情况，有c_n=S_n-S_{n-1}-2。将c_n=S_n-2n代入，得到S_n-S_{n-1}-2=S_n-2n，化简得到S_{n-1}=2(n-1)。这说明数列{S_n}是首项为0，公差为2的等差数列。因此，S_n=2(n-1)。所以c_n=S_n-2n=2(n-1)-2n=2n-2-2n=-2。所以数列{c_n}的通项公式为c_n=-2。所以选项A正确。5.A解析：由等差数列的性质，我们知道a_1+a_5=2a_3。又因为a_1+a_5=12，所以2a_3=12，即a_3=6。又因为a_3=5，所以5=6+d，解得d=-1。所以公差d的值为-1，选项A正确。6.B解析：由等比数列的性质，我们知道d_4=d_1*q^3，其中q是公比。又因为d_1=3，d_4=81，所以81=3*q^3，解得q^3=27，即q=3。所以数列{d_n}的通项公式为d_n=3^n-1。所以选项B正确。7.B解析：首先，根据题目中给出的条件e_n=S_n+2n，我们可以尝试求出数列{e_n}的通项公式。由e_n=S_n+2n，我们可以得到e_1=S_1+2*1。将n=1代入，得到e_1=S_1+2。又因为e_1=S_n+2n，所以e_1=S_1+2*1=S_1+2。所以e_1=S_1+2。接下来，我们考虑n≥2的情况，有e_n=S_n-S_{n-1}+2。将e_n=S_n+2n代入，得到S_n-S_{n-1}+2=S_n+2n，化简得到S_{n-1}=2n-2。这说明数列{S_n}是首项为0，公差为2的等差数列。因此，S_n=2(n-1)。所以e_n=S_n+2n=2(n-1)+2n=4n-2。所以数列{e_n}的通项公式为e_n=4n-2。所以数列{e_n}的前三项分别为2，4，6。所以选项B正确。8.C解析：由等差数列的性质，我们知道a_2+a_8=2a_5。又因为a_2+a_8=18，所以2a_5=18，即a_5=9。又因为a_5=6，所以6=9+d，解得d=-3。所以a_10=a_5+5d=6+5*(-3)=6-15=-9。所以a_10的值为-9，选项C正确。9.B解析：由等比数列的性质，我们知道c_5=c_2*q^3，其中q是公比。又因为c_2=12，c_5=486，所以486=12*q^3，解得q^3=40.5，即q=3。所以数列{f_n}的通项公式为f_n=3^n。所以选项B正确。10.A解析：首先，根据题目中给出的条件g_n=S_n-3n，我们可以尝试求出数列{g_n}的通项公式。由g_n=S_n-3n，我们可以得到g_1=S_1-3*1。将n=1代入，得到g_1=S_1-3。又因为g_1=S_n-3n，所以g_1=S_1-3*1=S_1-3。所以g_1=S_1-3。接下来，我们考虑n≥2的情况，有g_n=S_n-S_{n-1}-3。将g_n=S_n-3n代入，得到S_n-S_{n-1}-3=S_n-3n，化简得到S_{n-1}=3n-3。这说明数列{S_n}是首项为0，公差为3的等差数列。因此，S_n=3(n-1)。所以g_n=S_n-3n=3(n-1)-3n=-3。所以数列{g_n}的通项公式为g_n=-3n+1。所以选项A正确。二、填空题答案及解析11.-13解析：由等差数列的通项公式，我们知道a_n=a_1+(n-1)d。将a_1=5，d=-2，n=10代入，得到a_10=5+(10-1)*(-2)=5-18=-13。所以a_10的值为-13。12.162解析：由等比数列的通项公式，我们知道b_n=b_1*q^{n-1}。将b_1=2，q=3，n=6代入，得到b_6=2*3^{6-1}=2*3^5=2*243=486。所以b_6的值为486。13.n解析：由题目中给出的条件f_n=S_n-4n，我们可以尝试求出数列{f_n}的通项公式。由f_n=S_n-4n，我们可以得到f_1=S_1-4*1。将n=1代入，得到f_1=S_1-4。又因为f_1=S_n-4n，所以f_1=S_1-4*1=S_1-4。所以f_1=S_1-4。接下来，我们考虑n≥2的情况，有f_n=S_n-S_{n-1}-4。将f_n=S_n-4n代入，得到S_n-S_{n-1}-4=S_n-4n，化简得到S_{n-1}=4n-4。这说明数列{S_n}是首项为0，公差为4的等差数列。因此，S_n=4(n-1)。所以f_n=S_n-4n=4(n-1)-4n=-4。所以数列{f_n}的通项公式为f_n=-4n+1。所以选项A正确。14.-2解析：由等差数列的性质，我们知道a_3+a_7=2a_5。又因为a_3+a_7=16，所以2a_5=16，即a_5=8。又因为a_5=4，所以4=8+d，解得d=-4。所以公差d的值为-4，选项A正确。15.3^{n-1}解析：由等比数列的性质，我们知道d_5=d_2*q^3，其中q是公比。又因为d_2=9，d_5=243，所以243=9*q^3，解得q^3=27，即q=3。所以数列{d_n}的通项公式为d_n=3^n-1。所以选项B正确。三、解答题答案及解析16.（1）证明：由S_n=4a_n-3n，我们可以得到S_{n-1}=4a_{n-1}-3(n-1)。将两式相减，得到a_n=4a_n-4a_{n-1}+3，化简得到3a_n=4a_{n-1}-3，即a_n=(4/3)a_{n-1}-1。又因为a_1=1，所以a_2=(4/3)a_1-1=(4/3)*1-1=1/3。所以数列{a_n}的相邻两项之比为(4/3)，即数列{a_n}是等比数列。（2）解：由（1）知，数列{a_n}是首项为1，公比为(4/3)的等比数列。所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1*(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)。17.（1）解：由等差数列的性质，我们知道a_4=(a_3+a_5)/2。将a_3=7，a_5=13代入，得到a_4=(7+13)/2=10。又因为a_4=a_1+3d，所以10=a_1+3d。又因为a_3=a_1+2d，所以7=a_1+2d。联立这两个方程，我们可以解得d=2，a_1=3。所以该数列的通项公式为a_n=3+2(n-1)=2n+1。（2）解：由（1）知，数列{b_n}的通项公式为b_n=(2n+1)^2=4n^2+4n+1。所以数列{c_n}的前n项和S_n为S_n=4(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n=4(n(n+1)(2n+1)/6)+4(n(n+1)/2)+n=n(n+1)(2n+5)/3。所以数列{c_n}的前n项和S_n为n(n+1)(2n+5)/3。18.（1）解：由等比数列的性质，我们知道d_4=d_1*q^3。将d_1=2，d_4=16代入，得到16=2*q^3，解得q^3=8，即q=2。所以该数列的通项公式为d_n=2*2^(n-1)=2^n。（2）解：由（1）知，数列{e_n}的通项公式为e_n=2^n+n。所以数列{e_n}的前3项和T_3为T_3=e_1+e_2+e_3=2^1+1+2^2+2+2^3+3=2+1+4+2+8+3=20。所以数列{e_n}的前3项和T_3为20。19.（1）证明：由f_n=S_n+2n-1，我们可以得到f_{n-1}=S_{n-1}+2(n-1)-1。将两式相减，得到f_n-f_{n-1}=S_n-S_{n-1}+2-2(n-1)=a_n+2-2n+2=2。这说明数列{f_n}的相邻两项之差为2，即数列{f_n}是等差数列。（2）解：由（1）知，数列{f_n}是首项为3，公差为2的等差数列。所以数列{f_n}的通项公式为f_n=3+2(n-1)=2n+1。20.（1）解：由等差数列的通项公式，我们知道a_n=a_1+