2020-2021学年重庆市清华中学高二下学期雏鹰班第2周周考数学 解析版

重庆市清华中学2020-2021学年高二下学期雏鹰班第2周周考数学满分：150分时间：120分钟一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为QUOTE(

QUOTE)A.e B.QUOTE1e C.1 D.22.已知f(x)=x2-xf'(0)-1，则A.2012×2014 B.2013×2014 C.2013×2015 D.2014×20163.已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)在x=1处的切线方程QUOTE(

QUOTE)A.x-y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y-1=0 D.2x-y+1=04.“a＞3”是“x=1为函数f(x)=-x3+12(a+3)x2-ax-1的极小值点”的QUOTE(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.等差数列an中的a2、a4032是函数

A.4 B.2 C.8 D.4+6.已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是(    )A. B.

C. D.7.函数在区间上的最大值是（）A.0 B.4 C.2 D.-28..函数的图像大致是（）A.B.C.D.9.定义在上的函数满足，为的导函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.10.已知函数，若，，，则实数，，的大小关系为（）A.B.C.D.多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.已知函数f(x)=x3A.当a=0时，函数f(x)为奇函数

B.当a>0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.当a=-3时，函数f(x)有2个不同的零点

D.若函数f(x)在(0,2)上单调递减，则a<-312.已知函数fx=ex⋅x3，则以下结论正确的是QUOTE(

QUOTE)A.fx在R上单调递增

B.flog52<fe-12<flnπ填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数fx=-x3+ax-4a∈R，若函数y=fx的图象在点P1,f1处的切线的倾斜角为π14.若函数有2个不同的零点，则实数的值是

．15.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：

在y2=2px两边同时求导，得：2yy'=2p，则y'=，所以过P的切线的斜率：k=．

试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(，QUOTE)16

.对于三次函数，给出定义：设的的导函数，叫的一阶导数，叫的二阶导数，若方程=0有实数解，则称点为函数的“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则

．解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(10分)（1）已知函数，的导函数为，求；（2）已知函数，若是函数的极小值点，求实数.18.（12分）已知函数fx(1)求b的值．(2)求曲线y=f(x)在点P(1,4)处的切线方程．19.（12分）已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数，的值；（2）求的单调区间.20.（12分）已知函数f (x)=x(1)求f (x)在(2)若方程f (x)-k=0在[0,2]上有两个不同的解，求实数k的取值范围．21.（12分）已知函数fx=ex-kx,x∈R,(kQUOTE(ⅠQUOTE)当k=e时，求f(x)的最小值；QUOTE(ⅡQUOTE)若∀x≥0，f(x)>0恒成立，求k的取值范围．22.（12分）已知函数(1)

求的单调区间；

(2)当时，求函数在区间的最小值．重庆清华中学高二雏鹰班数学周考（第二周）满分：150分时间：120分钟一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为QUOTE(

QUOTE)A.e B.QUOTE1e C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，先求出函数的导函数，将切点横坐标代入即得切线斜率．【解答】解：由题意得，y'=ex，曲线y=ex在点故选C．2.已知f(x)=x2-xf'(0)-1，则A.2012×2014 B.2013×2014 C.2013×2015 D.2014×2016【答案】C【解析】【分析】

本题考查了导数的运算法则，属于基础题．

利用导数的运算法则即可得出f'(0)，进而得到函数解析式，即可求出f(2014)的值．

【解答】

解：由于f(x)=x2-xf'(0)-1，

则f'(x)=2x-f'(0)，

故f'(0)=2×0-f'(0)，即f'(0)=0，

则f(x)=x23.已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)在x=1处的切线方程QUOTE(

QUOTE)A.x-y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y-1=0 D.2x-y+1=0【答案】C【解析】【分析】

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题，通过求的导数，求出切点的坐标与斜率即可．

【解答】

解：∵函数，

，

∴在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=ln1+1=1，

又f(1)=0，

∴函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0．

故选C．

4.“a＞3”是“x=1为函数f(x)=-x3+12(a+3)x2-ax-1的极小值点”的QUOTE(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】5.等差数列an中的a2、a4032是函数

A.4 B.2 C.8 D.4+【答案】B【解析】【分析】

本题考查函数的导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．

利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．

【解答】

解：函数f(x)=13x3-4x2+6x-1可得f'(x)=x2-8x+6，

∵a2、a4032是函数f(x)=13x3-4x2+6x-1的极值点，

∴a2、a4032是方程x2-8x+6=0的两实数根，

则aA. B.

C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，函数在上是单调函数，所以，=0无不等实数解，即，

解得，，故选B。

考点：利用导数研究函数的单调性。

点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。7.函数在区间上的最大值是（）A.0 B.4 C.2 D.-2答案：C8..函数的图像大致是（）A.B.C.D.答案：B9.定义在上的函数满足，为的导函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.答案：C10.已知函数，若，，，则实数，，的大小关系为（）A.B.C.D.答案：D二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.已知函数f(x)=x3A.当a=0时，函数f(x)为奇函数

B.当a>0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.当a=-3时，函数f(x)有2个不同的零点

D.若函数f(x)在(0,2)上单调递减，则a<-3【答案】BC【解析】解：f'(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)，

对于A：a=0时，f(x)=x3+4，显然不是奇函数，故A错误，

对于B：a>0时，令f'(x)>0，解得：x>0或x<-2a3，

故a>0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，B正确，

对于C：a=-3时，f(x)=x3-3x2+4，f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，

令f'(x)>0，解得：x>2或x<0，令f'(x)<0，解得：0<x<2，

故f(x)在(-∞,0)递增，在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，

f(x)极大值=f(0)=4，f(x)极小值=f(2)=0，

x→-∞时，f(x)→-∞，

故x<0时f(x)有1个零点，x=2是1个零点，则f(x)有2个不同的零点，C正确；

对于D：f'(x)=3x212.已知函数fx=ex⋅x3，则以下结论正确的是QUOTE(

QUOTE)A.fx在R上单调递增

B.flog52<fe-12<flnπ【答案】BCD【解析】【分析】

本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数和方程的转化思想，以及数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题．

求得f(x)的导数，可得单调区间、极值和最值，即可判断A，B，C；讨论x=0，x≠0时，k=ex⋅x2，设g(x)=ex⋅x2，求得导数，单调性和极值，结合图象可判断D．

【解答】

解：函数f(x)=ex⋅x3的导数为f'(x)=x2ex(3+x)，

当x>-3时，f'(x)>0，f(x)递增；当x<-3时，f'(x)<0，f(x)递减，

可得f(x)在x=-3处取得极小值，且为最小值-27e-3.故A错误；

由-1>-27e-3.可得f(x)=-1有实数解，故C正确；

由log52= 1log25  ,e- 12  = 1e  ，而log25>2，  e ∈(1,2)，

则0<log52<e- 1 2 <1, lnπ>1，即有-3<log52<e- 12  <lnπ，

由f(x)在(-3,+∞)递增，可得三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知函数fx=-x3+ax-4a∈R，若函数y=fx的图象在点P1,f1处的切线的倾斜角为π4，则【答案】4【解析】导函数f'(x)=-3x2+a，由导数的几何意义得k=f'(1)=-3+a=tanπ4=1，解得a=4.

14.若函数有【答案】-2，215.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：

在y2=2px两边同时求导，得：2yy'=2p，则y'=，所以过P的切线的斜率：k=．

试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(，QUOTE)处的切线方程为【答案】2x-y-=0【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得，yy'=2x，∴y'=，

∴y'===2，

∴切线方程为y-=2(x-QUOTE)，∴2x-y-=0．

16

.对于三次函数，给出定义：设的的导函数，叫的一阶导数，叫的二阶导数，若方程=0有实数解，则称点为函数的“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则

．16、201416、【分析】本题考查导数的性质准确理解，再利用两点间的中心对称的性质求值．【解答】解：依题意得g'(x)=x²-x-3，g″(x)=2x-1，

令g″(x)=0得，因为，所以函数g(x)的对称中心为，则g(1-x)+g(x)=2．因为，所以．故答案为2014．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.(10分)（1）已知函数，的导函数为，求；（2）已知函数，若是函数的极小值点，求实数.答案：（1）0（2）.18.（12分）已知函数fx=(1)求b的值．(2)求曲线y=f(x)在点P(1,4)处的切线方程．【答案】解：(1)∵f'x∴gx∵gx∴g-x即-x3解得b=3;(2)由(1)知，fxf'xk=f'1曲线y=f(x)在点P(1,4)处的切线方程为y-4=9x-1，即9x-y-5=019.（12分）已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数，的值；（2）求的单调区间.答案：解析：（1）依题意可得：，即.∵，∴.又∵函数在处的切线为，，∴，解得：.（2）由（1）可得：，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴的单调减区间为，单调增区间为.20.（12分）已知函数f (x)=x(1)求f (x)在(2)若方程f (x)-k=0在[0,2]上有两个不同的解，求实数k的取值范围．【答案】解：(1)f '(x)=3x2+2ax-1则f '(1)=3+2a-1=0，得a=-1．所以f (x)=x3-

f '(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1)且f '(0)=-1，f (0)=1，所以所求切线方程为：x+y-1=0.

(2)由(1)知，f (x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

且f (0)=1，f (1)=0，f (2)=3>1，

则k∈(0,1].

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和曲线的切线方程，属基础题，(1)根据函数f (x)=x3+ax2-x+1(a∈R)的一个极值点为(2)根据(1)中的导数，得出f(x)的单调性，利用数形结合得出方程f (x)-k=0在[0,2]上有两个不同的解的条件．21.（12分）已知函数fx=ex-kx,x∈R,(kQUOTE(ⅠQUOTE)当k=e时，求f(x)的最小值；QUOTE(ⅡQUOTE)若∀x≥0，f(x)>0恒成立，求k的取值范围．【答案】解：QUOTE(ⅠQUOTE)由k=e得f(x)=ex-ex，所以f'(x)=ex-e．由f'(x)>0得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，由f'(x)<0得x<1，故f(x)的单调递减区间是(-∞,1)．所以函数有最小值f(1)=e-e=0，所以f(x)≥0．QUOTE(ⅡQUOTE)由f'(x)=ex-k=0得x=lnk．①当k∈(0,1]时，f'(x)=ex-k≥1-k≥0(x≥0)，此时f(x)故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意．②当k∈(1,+∞)时，lnk>0．当x变化时f(x)，f'(x)的变化情况如下表：

x

(0,lnk)

lnk

(lnk,+∞)

f'(x)

-

0

+

f(x)

单调递减

极小值

单调递增由此可得，在[0,+∞)上，有f(x)≥f(lnk)=k-klnk．要使f(x)≥0，只需k-klnk>0，又k>1，∴1<k<e．综合①，②得实数k的取值范围是0<k<e．22.（12分）已知函数(1)

求的单调区间；

(2)当时，求函数在区间的最小值．【答案】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

(1)f'(x)=x2+ax-2a2x=(x+2a)(x-a)x，

1)当a=0时，f'(x)=x>0，所以f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增QUOTE;

2)当a>0时，令f'(x)=0，得x1=-2a(舍去QUOTE)，x2=a，

当x变化时，f'(x)