三个圆交集的题目及答案

三个圆交集的题目及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.三个半径为1的圆两两外切，它们公共部分（交集）面积是（）A.0B.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}$C.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}$D.$\sqrt{3}-\frac{\pi}{6}$答案：C2.三个圆的方程分别为$x^{2}+y^{2}=1$，$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，$x^{2}+(y-1)^{2}=1$，它们交集内的点横坐标范围是（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(\frac{1}{2},1)$C.$(0,1)$D.$(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$答案：A3.若三个圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$C_2$：$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$C_3$：$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，则（）A.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$B.$\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leqr_1+r_2+r_3$C.$|r_1-r_2-r_3|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$D.以上都不对答案：A4.已知三个圆$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$与$C_2$交集非空，$C_2$与$C_3$交集非空，则$C_1$与$C_3$交集（）A.一定非空B.一定为空C.不一定非空D.以上都不对答案：C5.三个等圆半径为$R$，圆心构成边长为$2R$的正三角形，它们交集面积为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}$B.$\frac{\pi}{2}R^{2}$C.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{2}R^{2}$D.$\sqrt{3}R^{2}-\frac{\pi}{3}R^{2}$答案：D6.三个圆$x^{2}+y^{2}=4$，$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$x^{2}+(y-2)^{2}=4$交集内一点到原点距离最大值是（）A.$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{2}$C.$2$D.$4$答案：A7.若三个圆的圆心共线，它们（）交集A.一定有B.一定没有C.可能有D.以上都不对答案：C8.三个圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}=1$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=1$，$C_3$：$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$交集面积为（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{2\pi}{3}$答案：A9.三个圆半径分别为$1$，$2$，$3$，要使它们有交集，圆心距应满足（）A.$0\leqd\leq6$B.$0\leqd\leq5$C.$1\leqd\leq6$D.$1\leqd\leq5$答案：A10.已知三个圆$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$包含$C_2$，$C_2$与$C_3$有交集，则$C_1$与$C_3$（）A.一定有交集B.一定没有交集C.可能没有交集D.以上都不对答案：A二、多项选择题（每题2分，共10题）1.对于三个圆的交集，以下说法正确的是（）A.交集可能为空集B.交集可能是一个点C.交集可能是一个区域D.交集一定是对称图形答案：ABC2.若三个圆$x^{2}+y^{2}=r_1^{2}$，$(x-a)^{2}+y^{2}=r_2^{2}$，$x^{2}+(y-b)^{2}=r_3^{2}$有交集，则（）A.$r_1+r_2\geq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$B.$|r_1-r_2|\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}}$C.$r_2+r_3\geq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$D.$|r_2-r_3|\leq\sqrt{(a-0)^{2}+(b-0)^{2}}$答案：ABCD3.三个圆的圆心分别为$O_1(0,0)$，$O_2(1,0)$，$O_3(0,1)$，半径都为$r$，当它们有交集时，$r$的取值可以是（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{3}{4}$C.$1$D.$\frac{1}{2}$答案：ABC4.关于三个圆交集的性质，正确的有（）A.交集内任意两点距离小于等于最小圆直径B.交集关于三个圆心构成的三角形的某条中线对称C.若三个圆等圆，则交集关于三个圆心构成的三角形的中心对称D.交集内的点到三个圆心距离之和有最小值答案：CD5.三个圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}=4$，$C_2$：$(x-2)^{2}+y^{2}=4$，$C_3$：$x^{2}+(y-2)^{2}=4$，以下属于交集内点的是（）A.$(1,1)$B.$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$C.$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$D.$(1,\frac{3}{2})$答案：AC6.若三个圆的交集是一个非空区域，以下可能成立的是（）A.三个圆半径相等B.两个圆半径相等且与第三个圆半径不同C.三个圆半径都不同D.其中一个圆半径远大于另外两个圆半径答案：ABC7.三个圆有交集，关于交集面积说法正确的是（）A.交集面积一定小于最小圆面积B.交集面积可能等于最小圆面积C.交集面积可能大于最小圆面积D.交集面积一定小于三个圆面积之和答案：AD8.已知三个圆$C_1$，$C_2$，$C_3$，若它们的交集是一个点，则（）A.三个圆两两相切B.三个圆的圆心共线C.至少有两个圆半径相等D.三个圆半径满足特定关系答案：AD9.对于三个圆交集内的点$P(x,y)$，以下说法正确的是（）A.点$P$到三个圆心距离都小于等于对应圆半径B.点$P$到三个圆心距离之和有最大值C.点$P$到三个圆心距离可以构成三角形三边D.点$P$到三个圆心距离满足一定的不等关系答案：ACD10.三个圆$C_1$，$C_2$，$C_3$，若$C_1$与$C_2$交集为$A$，$C_2$与$C_3$交集为$B$，$C_1$与$C_3$交集为$C$，它们三个圆交集为$D$，则（）A.$D\subseteqA$B.$D\subseteqB$C.$D\subseteqC$D.$A\capB\capC=D$答案：ABCD三、判断题（每题2分，共10题）1.三个圆只要有两个圆有交集，那么三个圆就一定有交集。（×）2.三个等圆一定有交集。（×）3.三个圆的交集一定是连通区域。（×）4.若三个圆的圆心构成直角三角形，它们就没有交集。（×）5.三个圆交集面积一定小于任意两个圆交集面积之和。（√）6.当三个圆半径都趋于无穷大时，它们的交集趋于整个平面。（√）7.三个圆交集内的点到三个圆心距离之积有最大值。（√）8.若三个圆有交集，那么把其中一个圆半径增大后，交集一定增大。（×）9.三个圆交集关于三个圆心所构成三角形的重心对称。（×）10.三个圆的交集内一定存在一点到三个圆心距离相等。（×）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述求三个圆交集面积的一般步骤。答案：先确定三个圆的方程，分析圆心位置与半径大小。判断圆与圆的位置关系，找出交集的形状特征。通过图形分割、利用几何公式（如三角形、扇形面积公式）来计算交集面积。2.若三个圆有交集，从圆心距和半径角度说明需满足什么条件？答案：设三个圆半径为$r_1$，$r_2$，$r_3$，圆心距为$d_{12}$，$d_{23}$，$d_{13}$。需满足$|r_i-r_j|\leqd_{ij}\leqr_i+r_j$（$i,j=1,2,3$且$i\neqj$），整体上要保证相互位置能形成交集区域。3.举例说明三个圆交集可能出现的不同情况。答案：可能为空集，如三个圆两两相离；可能是一个点，如三个圆两两外切于同一点；可能是一个区域，如三个半径适当的圆部分重叠形成一个公共区域。4.当三个圆半径相等时，其交集有什么特点？答案：若三个圆半径相等，交集关于三个圆心构成的正三角形的中心对称。交集区域形状规则，其面积与圆心距、半径大小有关，圆心距不同交集区域不同。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论如何利用计算机图形软件准确绘制三个圆的交集区域？答案：可以使用专业绘图软件如AutoCAD、几何画板等。在软件中输入三个圆的圆心坐标和半径信息绘制圆，利用软件的图形运算功能，通过布尔运算（如交集运算）得到准确的交集区域，能直观展示其形状和位置。2.探讨三个圆交集在实际生活中的应用实例。答案：在城市规划中，三个不同服务范围的设施（如医院、商场、学校）的覆盖区域可看作圆，其交集区域就是居民能同时方便享受三种服务的区域。在物流配送中，三个仓库的配送范围交集可优化配送路线。3.若改变三个圆的半径，其交集的形状和面积如何变化？答案：当一个圆半径增大，交集可能变大，若增