【学案】《5.1.2-复数的几何意义》

高中数学精选资源2/2LLL1．2复数的几何意义课程内容标准学科素养凝练了解复数的代数表示及其几何意义.通过学习复数的几何意义，提升数学抽象及直观想象素养.1．复平面通过建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义3．复数的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|.由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．虽然两个复数一般不能比较大小，但它们的模是非负实数，可以比较大小．4．共轭复数(1)若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\o(z,\s\up6(－))表示；(2)显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等；(3)任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(√)(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(×)(3)若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(×)2．(教材P167练习2改编)当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限D[∵eq\f(2,3)<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0，∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．]3．若eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(0，－3)，则eq\o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为(C)A．0 B．－3C．－3i D．3探究一复数与复平面内的点[知能解读]按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限，分别求实数m的取值范围．解复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10．(1)由题意得m2－2m－8＝0．解得m＝－2或m＝4．(2)由题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－8＜0，,m2＋3m－10＞0，))∴2<m<4．(3)由题意，(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2<m<4或－5<m<－2．[变式]将例1的条件不变，若复数z表示的点在直线y＝x上，求m的值．解由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝eq\f(2,5)．[方法总结]复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．[训练1]已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)A[由复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1．]探究二复数的模的几何意义设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形．(1)|z|＝2；(2)1≤|z|≤2．解(1)方法一|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．方法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|z|≤2，,|z|≥1.))不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合．不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合．这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．[方法总结]解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．[训练2]若复数z满足|z－i|≤eq\r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为________．2π[设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝eq\r(x2＋y－12)，由|z－i|≤eq\r(2)知eq\r(x2＋y－12)≤eq\r(2)，x2＋(y－1)2≤2．∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π.]探究三复数的模及其应用(1)设O是原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数的共轭复数是()A．－5＋5i B．－5－5iC．5＋5i D．5－5iC[由复数的几何意义，得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是5－5i，其共轭复数为5＋5i.](2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．解题流程：第一步泛读题目明确待求结论：求实数a的取值范围．第二步精读题目挖掘已知条件：已知复数z＝3＋ai，且|z|<4．第三步建立联系寻找解题思路：利用复数模的运算法则求解．第四步书写过程规范养成习惯．解方法一∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知：－eq\r(7)<a<eq\r(7)．所以实数a的取值范围是(－eq\r(7)，eq\r(7))．[方法总结]利用模的定义将复数模的条件转化为实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答