七偏导数与全微分培训资料

一、基本概念及结论第六章偏导数与全微分1.平面点集、邻域、区域的概念（1）平面点集例2.1xo-RRR-R2（2）邻域：以点为园心，以为半径的开园域称为点的邻域，即3是有界闭区域.52、多元函数的定义二元函数的定义域是平面点集，通常用平面区域D表示.6107对应关系的求法同一元函数893、二元函数的几何意义1011注：二元函数的极限要求点Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路径趋向于时，均有若能找到两条不同的路径使沿此两路径时，f(x,y)具有不同的4.二元函数的极限12例4.若有(C),则极限存在.当点沿无穷条路径趋向定点时,有分析:多元极限是全面极限,动点趋于定点13方式应是任意方向任意路径.同时取极限过程中各变量变化是同步的,与累次极限没有关系,由此(C)成立,即连续必有极限.5.二元函数连续性定义：144.闭区域上连续函数的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。6.二元函数偏导数定义15同样可定义关于y的偏导数:注：16177．二元函数的二阶偏导数1812若题设条件告之函数具有二阶连续偏导数，则意味着可交换混合偏导数的求导次序，可将结果整理为最简形式。8.二元函数的全微分:192021三元函数的全微分:多元函数的全微分等于各自变量偏微分的和.2212349.连续、偏导数存在与可微之间的关系混合偏导数相等.2324二、基本问题及解法问题(一):一般函数偏导数与全微分的计算★2526例2.已知则（）分析：如果先求导再代值，无法将代入，所以应按定义去做。27故应选（B）2829解：（1）3031搞清复合关系，哪是自变量、中间变量，通常画变量关系图，再按变量关系图的路径求导。从应变量到自变量有多少条路径，求导时就有多少项，每一项均为函数对中间变量的偏导数与中间变量对自变量的偏导数之积。注：有些复杂的函数也可引进中间变量画出变量关系图后再求导。问题(二):复合函数偏导数求法★32解:变量关系如图:33343536“抽象”的复合函数偏导数的求法对抽象的二元复合函数求偏导数时，有的偏导数无法法具体求出只能保留“抽象”的形式。视情况可画变量关系图，也可不画变量关系图。37例1.设可导，则分析：应填2Z38另解：39例3.设函数解：40由三元方程F(x,y,z)=0所确定的z是x,y的函数z=f(x,y)称二元隐函数。(因变量不能单独出现在等号一边);问题(三)：多元隐函数偏导数的求法★41424344两边求导法:公式法：45问题(四):求二元函数的极值(1)定义：46(3)极值存在的充分条件：47步骤48条件极值及解法求条件极值有两种方法：(1)化为无条件极值49(2)拉格朗日乘数法——求极值步骤：123无须判定，直接根据实际问题下结论505152例2.（条件极值）某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元和9万元，生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本为又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时,两种产品的产量各是多少?5354答:企业获得最大利润时,两种产品的产量分别为70件和30件.55例3.某公司可通过电台，报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费（万元）及报纸广告费用(万元)之间有关系式：(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;解:（1）无条件极值利润函数56(2)求条件极值——拉格朗日乘数法注：因驻点唯一，且实际问题存在最大利润，故当电台广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时利润最大此为最优广告策略.以此代替检验。构造拉格朗日函数：57解得因此将广告费1.5万元全部用于报纸广告，可使利润最大.58三、课后练习59606111.已知函数设12.则（B）6213.已知的全微分为则的取值分别为（B）（A）－2和2；（B）2和－2；（C）－3和3；（D）3和－3.分析；由全微分存在，知偏导数存且连续，从两个二阶混合偏导数相等，即，由此可而确定由题设知63故应选（B）64计算。

14.设且解：变量关系如图65于是6616.设所确定的函数，且是可微的，求67解：变量关系如图：由对x求导，得……（1）再由两边对x求导，得出（2）68将（2）代入（1）得：整理解出：17.设69提示：18.设70提示：可引进中间变量，也可直接求导.令7119.设提示：先分别求出，再代入化简.20.设由方程确定了函数，则（D）72解：利用隐函数求偏导数公式，令由