学习高斯公式与斯托克斯公式教学案例

高斯公式物理意义---通量与散度

flux

divergence高斯(Gauss)公式

通量与散度高斯Gauss,K.F.(1777–1855)德国数学家、物理学家、天文学家一、高斯公式高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基公式.(俄)1801–1861具有则有公式一阶连续偏导数,或

高斯公式外侧,高斯(Gauss)公式通量与散度解

球

例外侧.因Σ是闭曲面,可利用高斯公式计算.高斯(Gauss)公式通量与散度例计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.高斯(Gauss)公式通量与散度部分的解空间曲面Σ在xOy面上的曲面

不是为利用高斯公式.投影域为补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,由对称性高斯(Gauss)公式通量与散度先二后一法故所求积分为高斯(Gauss)公式通量与散度使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.高斯公式高斯(Gauss)公式通量与散度1.通量为向量场

设有一向量场则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.

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divergence穿过曲面Σ这一侧的高斯(Gauss)公式通量与散度二、物理意义通量与散度通量的计算公式2.散度设有向量场为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面它所围成的小区域及其体积记为表示内穿出的通量,若当缩成P点时,极限高斯(Gauss)公式通量与散度记为散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的即散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯(Gauss)公式通量与散度高斯公式例向量场解高斯(Gauss)公式通量与散度解(如图)练习计算曲面积分绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角绕y轴旋转高斯(Gauss)公式通量与散度取右侧.有高斯公式柱坐标高斯(Gauss)公式通量与散度取右侧故高斯(Gauss)公式通量与散度斯托克斯(stokes)公式

环流量与旋度斯托克斯公式物理意义---环流量与旋度circulationcurl斯托克斯Stokes,G.G.(1819–1903)英国数学家、物理学家一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理为分段光滑的空间有向闭曲线,是以边界的分片光滑的有向闭曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度Γ的正向与Σ的侧符合右手规则:当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时,

是有向曲面的正向边界曲线右手法则拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向边界曲线.称Γ斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度另一种形式便于记忆形式斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度解按斯托克斯公式,计算曲线积分例其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.有斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度解则计算曲线积分例其中截立方体:的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向.取Σ为平面的上侧被Γ所围成的部分.斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度即斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度1.环流量的定义circulationcurl环流量.二、物理意义---环流量与旋度设向量场斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度2.旋度的定义斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度Stokes公式的物理解释环流量斯托克斯(Stokes)公式环流量与旋度斯托克斯公式曲线积分与路径无关

保守场与势函数空间曲线积分与路径无关物理意义---保守场与势函数

定理在单连通空间开区域上，函数具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.一、空间曲线积分与路径无关验证曲线积分例与路径无关，其中是从点(1,2,3)到点(4,5,6)的一条光滑曲线弧，并计算其积分值。解积分与路径无关，有保守场：场内第二类曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关的场