西理工水力学课件02水静力学

水静力学1水静力学的任务:

研究液体平衡的规律及其应用

2水静力学的任务:研究液体平衡的规律及其应用

液体平衡：静止状态相对平衡3

静止状态

液体相对地球没有运动，液体处于静止状态4

相对平衡液体相对于地球处于运动，但液体相对于运动着的容器之间却是静止的、无相对运动的。例如，直线等加速度行驶车厢中的容器所盛液体5水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实际应用液体的平衡有两种：

静止状态

相对平衡特点：液体内部不存在内摩擦力因此，水静力学中，理想液体和实际液体无区别62.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力72.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力82.1静水压强及其特性92.1.1静水压强ΔP为作用于微元面积上的动水压力;p为静水压强图

静水压强示意ΔAΔPT隧洞隧洞闸门10p：静水压强单位：Pa=N·m-2

或kN·m-2

量纲：[F·L-2]112.1.2静水压强的两个性质静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面Ⅰ12ⅠⅡⅡ一块平衡流体，将其分成两部分13下块液体的平衡ⅠⅡdPndPτdPαⅡ14下块液体的平衡ⅠⅡdPndPτdPαⅡ液体受拉液体受剪15图

静水压力方向示意ⅠⅡdPndPτdPαdPⅡⅡ162.任一点静水压强大小和受压面方向无关图

静水压强方向示意hpcpcpccc17Ap1=p218＝斜面压力

任一点静水压强大小与受压面方向无关

证明?pypxpz19＝斜面压力

任一点静水压强大小与受压面方向无关

证明?pypxpz如果能证明，任意点在三个方向的压强相等即可20OxyzΔzΔxΔypz

Δx

Δy12pn

ΔAnpx

Δy

Δz12py

Δx

Δz12从静止液体中任取一微元四面体，考虑其受力平衡21ΔPy＝左侧面压力

OxyzΔzΔxΔypz

Δx

Δy12pn

ΔAnpx

Δy

Δz12py

Δx

Δz12ΔPn＝斜面压力

ΔPx＝后侧面压力

ΔPz＝底面压力

22xyzOΔzΔxΔyXYZ总质量力为

单位质量力23考虑四面体在三个坐标方向的力平衡，则式中，:斜面法线与三个坐标方向的夹角OxyzΔzΔxΔyn24后、左侧面、底面和斜面的面积2526OxyzΔzΔxΔyn后、左侧面、底面和斜面的面积，则272829表明连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数,与受压面方向无关，即

式中，x,y,z为液体占据的空间坐标302.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力31

液体处于平衡状态时，作用于液体上的各种力及其坐标间的微分关系2.2.1液体平衡微分方程

2.2液体的平衡方程32xx0x0+δx0-δO泰勒展开式33在平衡液体中，取一块平行六面微元体（其他形状也可，但六面体方便）xyOAdydxdzz34设形心点坐标：A=A(x,y,z)，边长：dx,dy,dz

该六面体在质量力和表面力的作用下处于平衡xyOAdydxdzz35表面力

设形心点坐标为A=A(x,y,z)

，边长为dx,dy,dz

xyOAdydxdzz右侧面

左侧面

面积

压强

侧面中心点

36xyOAdydxdzz质量力y：

z：x：

XYZ37xyOAdydxdzz考虑微元体的所有力，则38xyOAdydxdzz右侧面前侧面上侧面左侧面后侧面底侧面39以除上式，并化简，得到液体平衡微分方程形式140瑞士学者（Euler）1775年首先提出的液体平衡微分方程形式1物理意义:静水压强沿某个方向的变化率与该方向单位体积的质量力相等欧拉平衡微分方程式41液体平衡微分方程形式2+)×

dx

×

dy

×

dz

42由式可见2.2.2质量力性质

2.2液体的平衡方程43由理论力学可知：存在一个与坐标有关的力势函数，使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即44具有上式关系的力称为有势力，或保守力45有势力所做的功与路径无关而只与起点和终点的坐标有关重力、惯性力都属于有势力46作用在液体上的质量力必须是有势力，液体才能保持平衡表明:

47比较两式48积分上式，则或者式中，为自由液面上的压强和力势函数492.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力502.3补充等压面

等压面

液体中压强相等的点连成的面（曲面，或平面）2.3.1等压面51等压面具有两个性质1在平衡液体中等压面就是等势面

对于不可压缩液体，ρ为常数故在等压面上p=constant即dU=0,U=constant2.3.2等压面性质522等压面和质量力正交

53有一质点M

质量为dm，在质量力作用下沿等压面移动一个微分距离ds=(dxi+dyj+dzk)证明图

等压面和质量力正交

yxzORdsMθ54则质量力所作的功为在等压面上有，则

也即等压面和质量力正交。图

等压面和质量力正交

yxzORdsMθ55例1

如果液体在静止状态下，作用于其上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。

56例2

旋转液体中的相对平衡一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂轴旋转，液面的形状是一个曲面，以后将证明其是一个旋转抛物面5758Ozgω2rfω2yωxyROfω2xryxθ59例3

z沿底面作等加速直线运动的容器中

液体相对平衡，液面是一个斜平面

6061aX=-agx62aX=-agx等压面632.3重力作用下的静水压强的基本公式在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常只有重力，即静止液体。

2.3.1重力作用下静水压强的基本形式164图

重力作用下的静水压强推导示意xzzhz0mp0考虑容器中液体在重力作用下的平衡65把直角坐标的z轴去作为铅垂方向，则图

重力作用下的静水压强推导示意xzzhz0mp0Z=-gg66图

重力作用下的静水压强推导示意xzzhz0mp0自由液面条件：67图

重力作用下的静水压强推导示意xzzhz0mp0由液体平衡微分方程，则68由液体平衡微分方程，则积分上式，则自由液面条件：重力作用下静水压强的计算公式式中，

h为m点在液面下的埋深图1-7重力作用下的静水压强推导示意xzzhz0mp0式中，C为积分常数，由边界上的压强确定。69从上述公式中可以分析到以下几点静止液体内静水压强由两部分组成：p=p0+γh自由液面上压强p0大小不变地传到液体内任一点，即液面压强遵循巴斯加原理。70从上述公式中可以分析到以下几点γh

相当于单位面积上高度为h的水柱重量71从上述公式中可以分析到以下几点

p

与h

或z

是线形关系72从上述公式中可以分析到以下几点静止液体内静水压强由两部分组成：p=p0+γh自由液面上压强p0大小不变地传到液体内任一点，即液面压强遵循巴斯加原理γh

相当于单位面积上高度为h的水柱重量

p

与h

或z

是线形关系732.3.2重力作用下静水压强基本形式2称为测压管高度化简得由重力作用下静水压强的计算公式:基本形式2式中，C为常数，对于具体的问题是一个唯一的常数。74公式的物理意义

图

重力作用下的静水压强推导示意xzzp/γ

＝hz0mp0假定p0

=0752.3.3重力作用下等压面重力作用下的等压面条件：

连通、同一种液体、水平面

76图

重力作用下的液体等压面

(a)连通容器

非等压面等压面77(b)不连通

非等压面782.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力792.4.1旋转容器中液体的相对平衡2.4几种质量力同时作用下的液体平衡80zOgω2rfω2yωxyROfω2xryxθ81代入到液体平衡微分方程，则82令可得：等压面微分方程83式中，C为积分常数给定不同条件，得到不同的C，对应不同的等压面1等压面方程积分：或84

可见，上述方程表示绕铅垂轴的旋转抛物面方程。所以，绕中心轴作等速旋转的平衡液体，其等压面为抛物面。85zOp0z0将自由液面边界条件代入2自由液面（等压面）方程

式中，(x,y,z)为液面任意点坐标yωxRO86式中，(x,y,z)为液面任意点坐标为使z坐标与液体内部点(x,y,z)区分，用zs

表示自由液面的铅垂坐标zzOωxyROryxθp0z0(x,y,z)(x,y,zs)zs=zzs-z87超高zOωxyROryxθp0z0(x,y,z)(x,y,zs)zs=zzs-z0883液体内部压强公式

对上式积分得或代入边界条件得：液体内部压强公式89由等压面方程，则底部压强：中心小、边沿大zO底部压力：90由等压面方程，则91zOωxyROryxθp0z0(x,y,z)zs(x,y,zs)z可见，相对平衡中，液体内部任意点静水压强与该点埋深成比例，相等水深仍是等压面。92注意：在重力作用下静止液体中在旋转容器中液体的相对平衡中93例注意：旋转抛物面的体积是同高、等半径圆柱体积的一半zwRHω2R22g12ω2R22g12zOz0求运动稳定后，容器中心及边壁处水深942.4.2匀变速直线运动容器中液体的相对平衡95aX=-agxz96aX=-agxz边界条件：液面中心点不动，即x=z=0,p0=0972.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力982.5压强的度量与测量绝对压强表示：

pabs

或p’

绝对真空：绝对没有空气存在（没有气体压强）状态2.5.1压强的度量以绝对真空状态作为零点计量的压强

99大气压：大气所产生的压强标准大气压：大气在北纬45°、温度为15℃、海平面上所产生的压强。当地大气压：具体位置（经度、纬度、高度）条件下的大气压强，用pa表示。100相对压强：以当地大气压作为压强零点计量的压强，用p表示。对于自由表面压强等于大气压强的液面，静止液体的内任意点相对压强为1013真空：如果p≤0，称该点存在真空绝对压强计算基准面相对压强计算基准面pNp’NpapKp’Cp’pNC102真空度：1标准大气压＝1（atm）=133280×0.76=101293(N/m2)

=10.336(mH2O)

1工程大气压＝1（ate）=133280×0.736=98094(N/m2)

≈10(mH2O)取1（atm）＝10(mH2O)＝98000(N/m2)＝98(kN/m2)103例一个封闭的水箱，自由面上气体的压强为

p0＝85(kN/m2)，试求液面下淹没深度为

h=1m处的绝对静水压强、相对静水压强和真空度p0Ch104例1-6

开口水箱中自由表面为大气压强，将右侧连接一个封闭测压管，今将测压管中气体抽净，求测压管中的液面上升的高度p01p02=0h1052.5.2压强的量测1测压管

hpaA106hpaAθL1072U形水银测压计

bhpaA108hAsABhBhγAγmγB3压差计

109

4倒U形压差计ABhAhshBγnγAγB11015真空计

pA=-γhd2hA111例题1-7

图

水塔计算示意

h2h1等压面1122.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力1131-9作用于平面上的静水总压力2.6.1作用在矩形平面上的静水总压力图解法

1静水总压力图的绘制

按一定比例，用线段长度代表静水压强（以相对压强表示）的大小。1141-9作用于平面上的静水总压力2.6.1作用在矩形平面上的静水总压力图解法

1静水总压力图的绘制用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直

1151-9作用于平面上的静水总压力2.6.1作用在矩形平面上的静水总压力图解法

1静水总压力图的绘制

计算压强分布图的面积,再乘宽度1161-9作用于平面上的静水总压力2.6.1作用在矩形平面上的静水总压力图解法

1静水总压力图的绘制按照一定比例，用线段长度代表静水压强（以相对压强表示）的大小用箭头表示静水压强方向，并与作用面垂直计算压强分布图的面积，再乘宽度117静水总压力图的绘制

P=γHH118计算压强分布图的面积p=γHp=γhHh119

图解法不是一般的方法，适用一些简单的二维问题。1202.6.2作用在任意平面上的静水总压力分析图中任意倾斜平面上的静水总压力1总压力大小121PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF122PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF123PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF124PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF125PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF126PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF127PdPhcLdACDLCLDbLObOhbDαEF平面EF对Ob轴的面积矩128式中，hc

平面形心点上的埋深

pc为平面形心点处动水压强

129

2总压力作用点OPdPhcLdACDLCLDbLObhbDαEFO设总压力作用点坐标（LD，bD）所有力对Ob轴取矩，则130

2总压力作用点平面EF对Ob轴的面积惯性矩。OPdPhcLdACDLCLDbLObhbDαEFO131

2总压力作用点由平行移轴定律b’L’OPdPhcLdACDLCLDbLObhbDαEFO132

2总压力作用点b’L’OPdPhcLdACDLCLDbLObhbDαEFO133化简上式LD>LC表明，静水总压力作用点在形心之下，但平面水平放置时，则两者重合。

上式控制了静水总压力作用点的深度位置134bD

的确定：将静水压力对OL轴取矩，则令：平面EF对Ob轴及OL轴的惯性积代入上式，则上式确定了静水总压力作用点的左右位置若平面沿水深方向有一个对称轴，则bD=0135两个方程可确定总压力作用点的位置坐标bhD136例：直立的矩形自动翻板闸门，门高为H＝3m,如果要求水面超过门顶h=1m,翻板闸门即可自动打开，若忽略闸门轴的摩擦影响，问该门转动轴应该在何处？1370.5Hh

O

O

C1382.1静水压强及其特性2.2液体的平衡方程

2.3重力作用下的液体平衡

2.4几种质量力同时作用下的液体平衡

2.5压强的度量与量测

2.6作用于平面上的静水总压力

2.7作用于曲面上的静水总压力139图隧洞进口和弧形工作门

1-10作用于曲面上的静水总压力例如，隧洞进口、弧形闸门等在水利工程中常遇到受压面为曲面的水工建筑物。140弧形闸门图溢流坝弧形工作门

141142143144145U形渠道图U型渠道

146涡壳147水轮机148葛洲坝水轮机149150151152153154电站引水钢管pδDTT155研究思路：

由于曲面各点静水压强方向不同，只能将曲面上静水总压力分解为水平分力和垂直分力，再合成总压力。156bxyozFE2.7.1静水压力水平分力一母线与Oy

轴平行的二向曲面（柱体）157bxyozFE母线长b,曲面在xoz面上投影为EF,其左侧受静水压力作用158

曲面静水压力水平分力求解示意

dPxdPzydPxOzFEdPααhdAxdAzdA159曲面静水压力水平分力求解示意

hCFEAxxyOzFE160静水总压力水平分力式中，

Ax

为曲面在铅垂面上的投影面（平面）的面积

hc

为Ax形心点水深（埋深）作用点：Px

通过Ax平面压力中心1612.7.2静水总压力的铅垂分力

曲面静水压力水平分力求解示意

dPxdPzydPxOzFEdPααhdAxdAz162式中，V

为压力体Pz作用线通过压力体的体积形心

底部顶部侧部体积形心163底部顶部侧部

Pz=γV

作用于曲面上静水总压力铅垂分力Pz

等于压力体内水体重量164压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体165压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体166压力体构成

底：曲面本身底部顶部侧部167压力体构成

底：曲面本身顶：液面，或液面延长面（液面相对压强为零)底部顶部侧部168压力体构成

底：曲面本身顶：液面，或液面延长面（液面相对压强为零)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成底部顶部侧部169底部顶部侧部压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体170静水压力垂直分力的方向

用微元受力分解法确定CDAdPzdPdPx

dPz代表压力体方向171压力体构成

铅垂分力方向:

压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

172压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

173压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

174压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

第1段第2段175压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

第1段第2段第1段第2段176压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123177压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123178压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123179压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123180压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123181压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体182压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定内外侧受压

分内侧压力体、外侧压力体、再叠加123123183压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体184压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定分层液体

分层计算v，画法与不分层液体相同123123185压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123186压力体（体积）的构成

底：曲面本身顶：液面或液面延长面（液面上相对压强为零！！)侧:

曲面边缘各点向顶面作铅垂投影线围成铅垂分力方向:

由微元受力分解法确定复杂曲面:采用分段处理分解点：dPz

＝0点，曲面起点、终点

123187分层液体

分层计算v，画法与不分层液体相同123123123γ1V1γ2V2γ3V3γ4V4

γ5V5188压力体构成铅垂分力方向复杂曲面内外侧受压分层液体有真空存在的压力体189Dy画法与没有真空存在的画法相同，但用微元受力法判断方向时，dPz应背离受压面有真空存在的压力体

190Dy画法与没有真空存在的画法相同，但用微元受力法判断方向时，dPz应背离受压面有真空存在的压力体

有真空存在的压力体方向无真空存在的压力体方向191压力体构成：底、顶、侧围成铅垂分力方向：微元dPz分解法

复杂曲面：曲面分段内外侧受压：曲面分内外层分层液体：分层计算压力体有真空存在的压力体：dP背离曲面192压力体构成：底、顶、侧围成铅垂分力方向：微元受力分解法

复杂曲面：曲面分段内外侧受压：曲面分内外层分层液体：分层计算压力体有真空存在的压力体：dP背离曲面193压力体构成：底、顶、侧围成铅垂分力方向：微元dPz分解法

复杂曲面：曲面分段内外侧受压：曲面分内外层分层液体：分层计算压力体有真空存在的压力体：dP背离曲面194压力体构成：底、顶、侧围成铅垂分力方向：微元dPz分解法

复杂曲面：曲面分段内外侧受压：曲面分内外层分层液体：分层计算压力体有真空存在的压力体：dP背离曲面195压力体构成：底、顶、侧围成铅垂分力方向：微元dPz分解法

复杂曲面