2025年中考数学模拟试题-数列求和策略

2025年中考数学模拟试题-数列求和策略考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则S_5的值是（）A.31B.32C.33D.342.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5的值是（）A.4B.6C.8D.103.数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n+2n，则b_6的值是（）A.20B.22C.24D.264.已知数列{c_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则a_3的值是（）A.7B.8C.9D.105.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则d_3的值是（）A.12B.18C.24D.366.数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n，则S_4的值是（）A.40B.41C.42D.437.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7的值是（）A.10B.12C.14D.168.数列{g_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n^2-n，则a_4的值是（）A.15B.16C.17D.189.在等比数列{h_n}中，若h_1=3，h_3=24，则h_2的值是（）A.6B.8C.9D.1210.数列{i_n}满足i_1=1，i_n+1=2i_n+1，则S_5的值是（）A.31B.32C.33D.34二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡对应位置。）11.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则S_10的值是_________。12.数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1，则b_4的值是_________。13.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，则c_2的值是_________。14.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则a_5的值是_________。15.数列{e_n}满足e_1=3，e_n+1=3e_n，则S_3的值是_________。三、解答题（本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=2，a_n+1=3a_n+2（n≥1）。（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；（2）求S_5的值。17.在等差数列{b_n}中，若b_3=10，b_7=22，求：（1）该数列的通项公式；（2）若该数列的前n项和为S_n，且S_n=100，求n的值。18.数列{c_n}满足c_1=1，c_n+1=2c_n+n（n≥1），求：（1）c_4的值；（2）数列{c_n}的前n项和S_n的表达式。19.在等比数列{d_n}中，若d_1=3，d_4=81，求：（1）该数列的公比q；（2）d_3+d_5的值。20.已知数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+2n，求：（1）a_1的值；（2）数列{e_n}的通项公式。四、证明题（本大题共2小题，共20分。请将证明过程写在答题卡对应位置。）21.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1（n≥1），求证：数列{a_n-1}是等比数列。22.在等差数列{b_n}中，若前n项和为S_n，求证：S_n=n/2（2a_1+(n-1)d）。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：C解析：由a_1=1，a_n+1=2a_n+1，可得a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+1=7，a_4=2a_3+1=15，a_5=2a_4+1=31。所以S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1+3+7+15+31=57。选项C正确。2.答案：B解析：由等差数列性质，a_3+a_7=a_1+a_9，又a_3+a_7=12，所以a_1+a_9=12。因为a_5=(a_1+a_9)/2，所以a_5=12/2=6。选项B正确。3.答案：B解析：由b_1=2，b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2×1=4，b_3=b_2+2×2=8，b_4=b_3+2×3=14，b_5=b_4+2×4=22，b_6=b_5+2×5=27。所以b_6=27。选项B正确。4.答案：C解析：由S_n=n^2+n，可得a_1=S_1=1^2+1=2。又a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。所以a_3=2×3=6。选项C正确。5.答案：D解析：由等比数列性质，d_4/d_2=q^2，又d_2=6，d_4=54，所以q^2=54/6=9，解得q=3。所以d_3=d_2q=6×3=18。选项D正确。6.答案：C解析：由e_1=1，e_n+1=3e_n，可得e_2=3e_1=3，e_3=3e_2=9，e_4=3e_3=27。所以S_4=e_1+e_2+e_3+e_4=1+3+9+27=40。选项C正确。7.答案：A解析：由等差数列性质，a_5+a_7=a_1+a_9，又a_1+a_9=20，所以a_5+a_7=20。选项A正确。8.答案：B解析：由S_n=2n^2-n，可得a_1=S_1=2×1^2-1=1。又a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-n-[2(n-1)^2-(n-1)]=4n-3。所以a_4=4×4-3=13。选项B正确。9.答案：A解析：由等比数列性质，h_3/h_1=q^2，又h_1=3，h_3=24，所以q^2=24/3=8，解得q=√8=2√2。所以h_2=h_1q=3×2√2=6。选项A正确。10.答案：A解析：由i_1=1，i_n+1=2i_n+1，可得i_2=2i_1+1=3，i_3=2i_2+1=7，i_4=2i_3+1=15，i_5=2i_4+1=31。所以S_5=i_1+i_2+i_3+i_4+i_5=1+3+7+15+31=57。选项A正确。二、填空题答案及解析11.答案：165解析：由a_1=2，d=3，可得S_10=10/2×(2a_1+(10-1)d)=5×(2×2+9×3)=5×35=175。选项165正确。12.答案：8解析：由b_1=1，b_n+1=2b_n+1，可得b_2=2b_1+1=3，b_3=2b_2+1=7，b_4=2b_3+1=15。所以b_4=15。选项8正确。13.答案：4解析：由等比数列性质，q=h_3/h_1=8/2=4。又h_2=h_1q=2×4=8。选项4正确。14.答案：9解析：由S_n=n^2+n，可得a_1=S_1=1^2+1=2。又a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。所以a_5=2×5=10。选项9正确。15.答案：12解析：由e_1=3，e_n+1=3e_n，可得e_2=3e_1=9，e_3=3e_2=27。所以S_3=e_1+e_2+e_3=3+9+27=39。选项12正确。三、解答题答案及解析16.解析：（1）证明：由a_1=2，a_n+1=3a_n+2，可得a_n+1+1=3(a_n+1)。因为a_1+1=3，所以数列{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列。（2）解：由（1）知，a_n+1=3×3^(n-1)=3^n。所以a_n=3^n-1。S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=3^1-1+3^2-1+3^3-1+3^4-1+3^5-1=3^1+3^2+3^3+3^4+3^5-5=364-5=359。17.解析：（1）设等差数列{b_n}的公差为d，由b_3=10，b_7=22，可得4d=b_7-b_3=22-10=12，解得d=3。所以a_n=b_3+(n-3)d=10+3(n-3)=3n+1。（2）由S_n=100，可得n/2×(2a_1+(n-1)d)=100，代入a_1=1，d=3，得n/2×(2+3(n-1))=100，解得n=10。18.解析：（1）由c_1=1，c_n+1=2c_n+n，可得c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+2=8，c_4=2c_3+3=19。（2）由c_n+1=2c_n+n，可得c_n=2c_{n-1}+(n-1)，所以c_n-c_{n-1}=2c_{n-1}+(n-1)-c_{n-1}=c_{n-1}+(n-1)。所以c_n=2c_{n-1}+(n-1)。所以S_n=c_1+c_2+...+c_n=1+3+8+...+c_n。由数学归纳法可得S_n=n^2+n。19.解析：（1）由等比数列性质，q=d_4/d_2=81/3=27。所以q=3。（2）由d_3+d_5=d_2(q+q^3)=6×(3+27)=6×30=180。20.解析：（1）由S_n=n^2+2n，可得a_1=S_1=1^2+2×1=3。（2）由S_n=n^2+2n，可得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2（n-1）]=2n+1。所以e_n=2n+1。四、证明题答案及解析21.