2025年高考数学模拟检测卷-数列极限与几何证明题习题

2025年高考数学模拟检测卷-数列极限与几何证明题习题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^n，则a_5的值为（）A.63B.31C.127D.2552.若数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=6，b_2+b_3=18，则b_4的值为（）A.54B.108C.162D.3243.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_1=2，c_{n+1}=c_n+3，则S_6的值为（）A.45B.60C.75D.904.数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1，则d_5的值为（）A.31B.63C.127D.2555.数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4，则e_6的值为（）A.13B.16C.19D.226.数列{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_2=8，则f_5的值为（）A.32B.64C.128D.2567.数列{g_n}的前n项和为S_n，若g_1=1，g_{n+1}=2g_n，则S_4的值为（）A.7B.15C.31D.638.数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=3h_n+2，则h_4的值为（）A.19B.29C.39D.499.数列{i_n}是等差数列，且i_1=3，i_5=9，则i_10的值为（）A.12B.15C.18D.2110.数列{j_n}是等比数列，且j_1=3，j_4=81，则j_3的值为（）A.27B.36C.45D.54二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应位置。）1.数列{k_n}的前n项和为S_n，若k_1=1，k_{n+1}=k_n+2，则S_5的值为______。2.数列{l_n}是等比数列，且l_1=2，l_2=6，则l_4的值为______。3.数列{m_n}的前n项和为S_n，若m_1=1，m_{n+1}=3m_n，则S_3的值为______。4.数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+1，则p_6的值为______。5.数列{q_n}是等差数列，且q_1=2，q_3=8，则q_7的值为______。（接下来是第二题）三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_{n+1}=S_n+2^n，求a_5的值。2.数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=6，b_2+b_3=18，求b_4的值。3.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_1=2，c_{n+1}=c_n+3，求S_6的值。4.数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1，求d_5的值。5.数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4，求e_6的值。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）6.已知数列{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_2=8，求f_5的值。7.数列{g_n}的前n项和为S_n，若g_1=1，g_{n+1}=2g_n，求S_4的值。8.数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=3h_n+2，求h_4的值。9.数列{i_n}是等差数列，且i_1=3，i_5=9，求i_10的值。10.数列{j_n}是等比数列，且j_1=3，j_4=81，求j_3的值。四、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）11.数列{k_n}的前n项和为S_n，若k_1=1，k_{n+1}=k_n+2，求S_5的值。12.数列{l_n}是等比数列，且l_1=2，l_2=6，求l_4的值。13.数列{m_n}的前n项和为S_n，若m_1=1，m_{n+1}=3m_n，求S_3的值。14.数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+1，求p_6的值。15.数列{q_n}是等差数列，且q_1=2，q_3=8，求q_7的值。五、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_{n+1}=S_n+2^n，求a_5的值。17.数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=6，b_2+b_3=18，求b_4的值。18.数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_1=2，c_{n+1}=c_n+3，求S_6的值。19.数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1，求d_5的值。20.数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4，求e_6的值。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.C解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+2^n，可以看出这是一个等差变比为2^n的数列。我们可以逐项计算：a_2=a_1+2^1=1+2=3a_3=a_2+2^2=3+4=7a_4=a_3+2^3=7+8=15a_5=a_4+2^4=15+16=31所以a_5的值为31，选项B正确。2.B解析：数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=6，b_2+b_3=18。设等比数列的公比为q，则有：b_2=b_1*qb_3=b_2*q=b_1*q^2根据题意：b_1+b_1*q=6b_1*q+b_1*q^2=18化简得：b_1*(1+q)=6b_1*q*(1+q)=18将第一个式子代入第二个式子：6q=18q=3再代入第一个式子：b_1*(1+3)=6b_1*4=6b_1=1.5所以b_4=b_1*q^3=1.5*3^3=1.5*27=40.5选项B正确。3.C解析：数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_1=2，c_{n+1}=c_n+3。可以看出这是一个等差数列，公差为3。等差数列的前n项和公式为：S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)这里a_1=2，d=3，n=6：S_6=6/2*(2*2+(6-1)*3)=3*(4+15)=3*19=57所以S_6的值为57，选项C正确。4.A解析：数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1。我们可以逐项计算：d_2=2d_1+1=2*1+1=3d_3=2d_2+1=2*3+1=7d_4=2d_3+1=2*7+1=15d_5=2d_4+1=2*15+1=31所以d_5的值为31，选项A正确。5.D解析：数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4。等差数列的公差为：d=e_2-e_1=4-1=3所以e_6=e_1+(6-1)d=1+5*3=16选项D正确。6.D解析：数列{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_2=8。等比数列的公比为：q=f_2/f_1=8/2=4所以f_5=f_1*q^4=2*4^4=2*256=512选项D正确。7.B解析：数列{g_n}的前n项和为S_n，若g_1=1，g_{n+1}=2g_n。可以看出这是一个等比数列，公比为2。等比数列的前n项和公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)这里a_1=1，q=2，n=4：S_4=1*(2^4-1)/(2-1)=15所以S_4的值为15，选项B正确。8.C解析：数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=3h_n+2。我们可以逐项计算：h_2=3h_1+2=3*1+2=5h_3=3h_2+2=3*5+2=17h_4=3h_3+2=3*17+2=53所以h_4的值为53，选项C正确。9.B解析：数列{i_n}是等差数列，且i_1=3，i_5=9。等差数列的公差为：d=(i_5-i_1)/(5-1)=6/4=1.5所以i_10=i_1+(10-1)d=3+9*1.5=18选项B正确。10.A解析：数列{j_n}是等比数列，且j_1=3，j_4=81。等比数列的公比为：q=(j_4/j_1)^(1/3)=27^(1/3)=3所以j_3=j_1*q^2=3*3^2=27选项A正确。二、填空题答案及解析1.15解析：数列{k_n}的前n项和为S_n，若k_1=1，k_{n+1}=k_n+2。可以看出这是一个等差数列，公差为2。等差数列的前n项和公式为：S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)这里a_1=1，d=2，n=5：S_5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=5/2*(2+8)=5/2*10=25所以S_5的值为25，选项25正确。2.24解析：数列{l_n}是等比数列，且l_1=2，l_2=6。等比数列的公比为：q=l_2/l_1=6/2=3所以l_4=l_1*q^3=2*3^3=54选项24正确。3.13解析：数列{m_n}的前n项和为S_n，若m_1=1，m_{n+1}=3m_n。可以看出这是一个等比数列，公比为3。等比数列的前n项和公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)这里a_1=1，q=3，n=3：S_3=1*(3^3-1)/(3-1)=13所以S_3的值为13，选项13正确。4.63解析：数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+1。我们可以逐项计算：p_2=2p_1+1=2*1+1=3p_3=2p_2+1=2*3+1=7p_4=2p_3+1=2*7+1=15p_5=2p_4+1=2*15+1=31p_6=2p_5+1=2*31+1=63所以p_6的值为63，选项63正确。5.20解析：数列{q_n}是等差数列，且q_1=2，q_3=8。等差数列的公差为：d=(q_3-q_1)/(3-1)=6/2=3所以q_7=q_1+(7-1)d=2+6*3=20选项20正确。三、解答题答案及解析1.31解析：数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_{n+1}=S_n+2^n。我们可以逐项计算：a_2=a_1+2^1=1+2=3S_2=a_1+a_2=1+3=4a_3=S_2+2^2=4+4=8S_3=a_1+a_2+a_3=1+3+8=12a_4=S_3+2^3=12+8=20S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+3+8+20=32a_5=S_4+2^4=32+16=48所以a_5的值为48，选项31正确。2.54解析：数列{b_n}是等比数列，且b_1+b_2=6，b_2+b_3=18。设等比数列的公比为q，则有：b_2=b_1*qb_3=b_2*q=b_1*q^2根据题意：b_1+b_1*q=6b_1*q+b_1*q^2=18化简得：b_1*(1+q)=6b_1*q*(1+q)=18将第一个式子代入第二个式子：6q=18q=3再代入第一个式子：b_1*(1+3)=6b_1*4=6b_1=1.5所以b_4=b_1*q^3=1.5*27=40.5选项54正确。3.57解析：数列{c_n}的前n项和为S_n，若c_1=2，c_{n+1}=c_n+3。可以看出这是一个等差数列，公差为3。等差数列的前n项和公式为：S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)这里a_1=2，d=3，n=6：S_6=6/2*(2*2+(6-1)*3)=3*(4+15)=3*19=57所以S_6的值为57，选项57正确。4.31解析：数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1。我们可以逐项计算：d_2=2d_1+1=2*1+1=3d_3=2d_2+1=2*3+1=7d_4=2d_3+1=2*7+1=15d_5=2d_4+1=2*15+1=31所以d_5的值为31，选项31正确。5.16解析：数列{e_n}是等差数列，且e_1=1，e_2=4。等差数列的公差为：d=e_2-e_1=4-1=3所以e_6=e_1+(6-1)d=1+5*3=16选项16正确。6.512解析：数列{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_2=8。等比数列的公比为：q=f_2/f_1=8/2=4所以f_5=f_1*q^4=2*4^4=2*256=512选项512正确。7.15解析：数列{g_n}的前n项和为S_n，若g_1=1，g_{n+1}=2g_n。可以看出这是一个等比数列，公比为2。等比数列的前n项和公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)这里a_1=1，q=2，n=4：S_4=1*(2^4-1)/(2-1)=15所以S_4的值为15，选项15正确。8.53解析：数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=3h_n+2。我们可以逐项计算：h_2=3h_1+2=3*1+2=5h_3=3h_2+2=3*5+2=17h_4=3h_3+2=3*17+2=53所以h_4的值为53，选项53正确。9.18解析：数列{i_n}是等差数列，且i_1=3，i_5=9。等差数列的公差为：d=(i_5-i_1)/(5-1)=6/4=1.5所以i_10=i_1+(10-1)d=3+9*1.5=18选项18正确。10.27解析：数列{j_n}是等比数列，且j_1=3，j_4=81。等比数列的公比为：q=(j_4/j_1)^(1/3)=27^(1/3)=3所以j_3=j_1*q^2=3*3^2=27选项27正确。11.25解析：数列{k_n}的前n项和为S_n，若k_1=1，k_{n+1}=k_n+2。可以看出这是一个等差数列，公差为2。等差数列的前n项和公式为：S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)这里a_1=1，d=2，n=5：S_5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=5/2*(2+8)=5/2*10=25所以S_5的值为25，选项25正确。12.54解析：数列{l_n}是等比数列，且l_1=2，l_2=6。等比数列的公比为：q=l_2/l_1=6/2=3所以l_4=l_1*q^3=2*3^3=54选项54正确。13.13解析：数列{m_n}的前n项和为S_n，若m_1=1，m_{n+1}=3m_n。可以看出这是一个等比数列，公比为3。等比数列的前n项和公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)这里a_1=1，q=3，n=3：S_3=1*(3^3-1)/(3-1)=13所以S_3的值为13，选项13正确。14.63解析：数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+1。我们可以逐项计算：p_2=2p_1+1=2*1+1=3p_3=2p_2+1=2*3+1=7p_4=2p_3+1=2*7+1=15p_5=2p_4+1=2*15+1=31p_6=2p_5+1=2*31+1=63所以p_6的值为63，选项63正确。15.20解析：数列{q_n}是等差数列，且q_1=2，q_3=8。等差数列的公差为：d=(q_3-q_1)/(3-1)=6/2=3所以q_7=q_1+(7-1)d=2+6*3=20选项20正确。16.48解析：数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_{n+1}=S_n+2^n。我们可以逐项计算：a_2=a_1+2^1=1+2=3S_2=a_1+a_2=1+3=4a_3=S_2+2^2=4+4=8S_3=a_1+a_2+a_3=1+3+8=12a_4=S_3+2^3=12+8=20S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+3+8+20=32a_5=