2025年高考数学模拟检测卷-函数与函数难题创新试题

2025年高考数学模拟检测卷-函数与函数难题创新试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.02.若函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为m，则函数h(x)=g(x)-sin(x)的值域为（）A.[-1,3]B.[-2,3]C.[-1,2]D.[-2,2]3.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.a=1C.a<1D.a≤14.函数F(x)=(x+1)ln(x-1)的定义域为（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)5.若函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为（）A.1B.2C.3D.46.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图像关于某条直线对称，则该直线的方程可能是（）A.x=1B.x=-1C.y=xD.y=-x7.函数f(x)=x^3-3x+2的图像与x轴的交点个数为（）A.1B.2C.3youcanseethedifferencehere.D.48.函数f(x)=|x-1|+|x-3|的最小值是（）A.1B.2C.3D.49.函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的最大值为（）A.3B.4C.5D.610.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的值域为（）A.[-√2,√2]B.[-1,1]C.[-2,2]D.[0,√2]二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.函数f(x)=x^3-3x+1的图像关于点(1,-1)对称，则实数a的值为________。12.函数g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|的最小值为________。13.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为________。14.函数F(x)=(x+1)ln(x-1)的导数为________。15.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为________。三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。（1）求函数f(x)的极值点；（2）讨论函数f(x)在区间[-2,2]上的单调性。17.（本小题满分14分）已知函数g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|。（1）求函数g(x)的最小值；（2）若函数h(x)=g(x)-ax在x=1处取得极小值，求实数a的取值范围。18.（本小题满分14分）已知函数F(x)=(x+1)ln(x-1)。（1）求函数F(x)的定义域；（2）求函数F(x)的导数F'(x)，并讨论函数F(x)的单调性。19.（本小题满分15分）已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)。（1）求函数f(x)的周期和值域；（2）若函数g(x)=f(x)-sin(x)，求函数g(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值。20.（本小题满分15分）已知函数h(x)=e^x-ax^2。（1）求函数h(x)的导数h'(x)，并讨论函数h(x)的单调性；（2）若函数h(x)在x=1处取得极值，求实数a的取值范围，并求函数h(x)的极值。四、证明题（本大题共1小题，共10分。）21.（本小题满分10分）已知函数f(x)=x^3-3x+1，证明：函数f(x)在区间[-2,2]上存在唯一的零点。五、应用题（本大题共1小题，共10分。）22.（本小题满分10分）某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=x^2-4x+5，收益函数为R(x)=6x-x^2，其中x为产品产量。（1）求该工厂的利润函数P(x)；（2）求该工厂的最大利润。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.A解析：函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=3x^2-a，代入x=1得3-a=0，解得a=3。2.B解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为4-1=3。函数h(x)=g(x)-sin(x)的值域为[3-1,3+1]=[2,4]。但注意到sin(x)在[0,2π]内最大为1，最小为-1，所以实际值域为[2,4]-[-1,1]=[-1,3]。3.B解析：函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极小值，则f'(0)=0。f'(x)=e^x-a，代入x=0得1-a=0，解得a=1。还需验证a=1时在x=0处为极小值，f''(x)=e^x，f''(0)=1>0，确为极小值。4.B解析：函数F(x)=(x+1)ln(x-1)的定义域要求x-1>0且x-1≠0，即x>1。5.C解析：函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上，f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。区间端点处f(1)=2，f(3)=6。比较得最大值M=6，最小值m=2。M-m=4。6.A解析：函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图像关于x=1.5对称。验证：f(0)=3，f(3)=3；f(1)=2，f(2)=2；f(-1)=4，f(4)=4。对称性成立。7.C解析：函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0得x=-1,1。f(-1)=0，f(1)=0。f(-2)=-2，f(2)=0。图像在x=-2到x=2之间穿过x轴三次，故有三个交点。8.B解析：函数f(x)=|x-1|+|x-3|在x=2处取得最小值。f(1)=2，f(2)=1+1=2，f(3)=2。最小值为2。9.D解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上，f'(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f'(x)=0得x=1±√(1/3)。区间端点处f(-1)=-4，f(1)=0，f(3)=0。比较得最大值f(3)=6。10.A解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其值域为[-√2,√2]。二、填空题答案及解析11.-2解析：函数f(x)=x^3-3x+1图像关于点(1,-1)对称，则f(1+a)=-f(1-a)-2。代入f(x)得(1+a)^3-3(1+a)+1=-[(1-a)^3-3(1-a)+1]-2。展开化简得6a^2+6a=0。解得a=0或a=-1。当a=0时，对称中心为(1,-1)，满足f(1)=-1。当a=-1时，对称中心为(0,-1)，不满足f(1)=0。故a=0。此时f(x)=x^3-3x+1，对称中心为(1,-1)。12.4解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|在x=2处取得最小值。g(1)=3，g(2)=2，g(3)=3。最小值为2。13.1解析：同第3题解析。14.lnx+1/(x-1)解析：函数F(x)=(x+1)ln(x-1)的导数F'(x)=(x+1)*(1/(x-1))'+(x+1)'*ln(x-1)=(x+1)*(-1/(x-1)^2)+1*ln(x-1)=lnx+1/(x-1)。15.2π解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其周期为2π。三、解答题答案及解析16.（1）极值点为x=-1和x=1。解析：求导f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0得3x^2-6x+2=0。解得x=3±√3。计算二阶导f''(x)=6x-6。f''(3+√3)=6(3+√3)-6=12+6√3>0，故x=3+√3为极小值点。f''(3-√3)=6(3-√3)-6=12-6√3<0，故x=3-√3为极大值点。所以极值点为x=3-√3和x=3+√3。（2）函数f(x)在区间[-2,-1]和[1,3]上单调递减，在区间[-1,1]和[3,2]上单调递增。解析：由（1）知f'(x)=3(x-1)(x-(3-√3))。在区间[-2,-1]上，x-1<0,x-(3-√3)<0，f'(x)>0，单调递增。在区间[-1,1]上，x-1<0,x-(3-√3)>0，f'(x)<0，单调递减。在区间[1,3]上，x-1>0,x-(3-√3)>0，f'(x)>0，单调递增。在区间[3,2]上，x-1>0,x-(3-√3)<0，f'(x)<0，单调递减。（注意区间端点包含情况需根据具体题目要求，此处按导数符号判断区间开闭性，但通常极值点不包含在内，若包含需调整区间为(-2,-1]和[-1,1]，[1,3]和[3,2]）。根据导数符号变化，单调性描述为：在[-2,-1]上单调递增，在[-1,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,2]上单调递减。17.（1）函数g(x)的最小值为4。解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|+|x-3|在x=2处取得最小值。g(1)=3，g(2)=2，g(3)=3。最小值为2。（2）实数a的取值范围为a≤2。解析：函数h(x)=g(x)-ax在x=1处取得极小值，则h'(1)=0。g(x)在x=1,2,3处导数可能变化。计算g'(x)：x∈(-∞,-2):g'(x)=-(x-1)-(x+2)-(x-3)=-3x+2x∈(-2,1):g'(x)=-(x-1)-(x+2)+(x-3)=-x-4x∈(1,3):g'(x)=(x-1)-(x+2)+(x-3)=x-6x∈(3,+∞):g'(x)=(x-1)+(x+2)+(x-3)=3x-2计算h'(x)=g'(x)-a。令x=1，h'(1)=g'(1)-a=0。g'(1)=1-1+1-6=-5。所以-5-a=0，解得a=-5。为了在x=1处取得极小值，需验证左侧导数和右侧导数。h'(-ε)=g'(-ε)-a=(-3(-ε)+2)-(-5)=3ε+7>0。h'(1+ε)=g'(1+ε)-a=(1+ε-1+1-6)-(-5)=ε>0。所以当a=-5时，h'(x)在x=1处由负变正，取得极小值。若a>-5，比如a=-4，h'(x)在x=1处由负变正，仍取得极小值。若a<-5，比如a=-6，h'(x)在x=1处由正变负，取得极大值。因此，a≤-5时，x=1为极小值点。结合a≤2，最终a≤2。这里需要更严谨的分析，a=-5是临界点，a<-5时x=1为极大值，a>-5时x=1为极小值。题目要求x=1处取得极小值，所以a>-5。又因为a≤2，所以a的取值范围是(-5,2]。18.（1）函数F(x)的定义域为(1,+∞)。解析：函数F(x)=(x+1)ln(x-1)中，ln(x-1)有定义要求x-1>0，即x>1。所以定义域为(1,+∞)。（2）函数F(x)的导数F'(x)=lnx+1/(x-1)，在(1,+∞)上单调递增。F(x)在(1,e+1)上单调递减，在(e+1,+∞)上单调递增。解析：求导F'(x)=d/dx[(x+1)ln(x-1)]=(x+1)*(1/(x-1))+1*ln(x-1)=lnx+1/(x-1)。讨论F'(x)的符号：令F'(x)=0，即lnx+1/(x-1)=0。解这个方程比较复杂，但我们可以分析F'(x)的单调性。计算F''(x)：F''(x)=d/dx[lnx+1/(x-1)]=1/x-1/(x-1)^2=(x-1-x)/(x(x-1)^2)=-1/(x(x-1)^2)。由于x>1，分母x(x-1)^2>0，所以F''(x)<0。这意味着F'(x)在(1,+∞)上是严格单调递减的。因为F'(x)严格单调递减，且当x→1^+时，lnx→-∞，1/(x-1)→+∞，F'(x)→+∞。又因为F'(x)严格递减，所以它只能在一个点x=e+1处等于0。当x∈(1,e+1)时，F'(x)>0，F(x)单调递增。当x∈(e+1,+∞)时，F'(x)<0，F(x)单调递减。所以F(x)在(1,e+1)上单调递减，在(e+1,+∞)上单调递增。19.（1）函数f(x)的周期为2π，值域为[-√2,√2]。解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数的周期为2π，所以f(x)的周期为2π。其值域为[-√2,√2]。（2）函数g(x)=f(x)-sin(x)=cos(x)在区间[0,2π]上的最大值为1，最小值为-1。解析：函数g(x)=cos(x)。在区间[0,2π]上，cos(x)在x=0,π,2π处取得极值。g(0)=1，g(π)=-1，g(2π)=1。比较得最大值M=1，最小值m=-1。20.（1）函数h(x)的导数h'(x)=e^x-2ax，在a≤1/2时在R上单调递增，在a>1/2时在(1/2a,+∞)上单调递增，在(-∞,1/2a)上单调递减。h(x)在(-∞,1/2a)上单调递减，在(1/2a,+∞)上单调递增。解析：求导h'(x)=d/dx[e^x-ax^2]=e^x-2ax。讨论h'(x)的符号：令h'(x)=0，即e^x-2ax=0。解这个方程比较复杂，但我们可以分析h'(x)的单调性。计算h''(x)：h''(x)=d/dx[e^x-2ax]=e^x-2a。①当a≤0时，h''(x)=e^x-2a>0(因为e^x>0)。所以h'(x)在R上严格单调递增。因为h'(0)=1-0=1>0，所以h'(x)>0对所有x成立，h(x)在R上单调递增，无极值。②当a>0时，令h''(x)=0得e^x-2a=0，解得x=ln(2a)。h''(x)在(-∞,ln(2a))上为负，在(ln(2a),+∞)上为正。这意味着h'(x)在(-∞,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+∞)上单调递增。-当x<ln(2a)时，h''(x)<0，h'(x)递减。-当x>ln(2a)时，h''(x)>0，h'(x)递增。-当x=ln(2a)时，h''(x)=0，h'(x)可能有极小值。计算h'(ln(2a))=e^(ln(2a))-2a*ln(2a)=2a-2a*ln(2a)=2a(1-ln(2a))。-若a=e^2，则1-ln(2a)=1-ln(e^2)=1-2=-1。此时h'(ln(2a))=2e^2(-1)<0。因为h'(x)在ln(2a)两侧符号相反，ln(2a)是极小值点。-若a<e^2，则1-ln(2a)>0。此时h'(ln(2a))>0。因为h'(x)在ln(2a)两侧符号相反，ln(2a)是极大值点。-若a>e^2，则1-ln(2a)<0。此时h'(ln(2a))<0。因为h'(x)在ln(2a)两侧符号相反，ln(2a)是极小值点。所以，当a=e^2时，h'(x)在ln(2a)处由负变正，x=ln(2a)是极小值点。当a<e^2时，h'(x)在ln(2a)处由正变负，x=ln(2a)是极大值点。当a>e^2时，h'(x)在ln(2a)处由负变正，x=ln(2a)是极小值点。-若a=1/2，则ln(2a)=ln(1)=0。此时h'(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。因为h'(0)=1-0=1>0，所以h'(x)>0对所有x成立，h(x)在R上单调递增，无极值。-若a<1/2，则ln(2a)<0。此时h'(x)在(-∞,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+∞)上单调递增。因为h'(0)=1-0=1>0，且h'(ln(2a))=2a(1-ln(2a))>0(因为a>0,1-ln(2a)>0)，所以h'(x)>0对所有x成立，h(x)在R上单调递增，无极值。-若a>1/2，则ln(2a)>0。此时h'(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,ln(2a))上单调递增，在(ln(2a),+∞)上单调递减。因为h'(0)=1>0，h'(ln(2a))=2a(1-ln(2a))>0，h'(x)在(0,ln(2a))上递增，所以存在唯一的x₀∈(0,ln(2a))使得h'(x₀)=0。因为h'(x)在(-∞,0)递减，(0,x₀)递增，(x₀,+∞)递减，所以x₀是极大值点。极大值为h(x₀)=e^x₀-ax₀^2。因为h'(x)在(-∞,0)递减，(0,x₀)递增，(x₀,+∞)递减，所以存在唯一的y₀∈(-∞,0)使得h'(y₀)=0。因为h'(x)在(-∞,y₀)递减，(y₀,0)递增，所以y₀是极小值点。极小值为h(y₀)=e^y₀-ay₀^2。所以当a>1/2时，h(x)有两个极值点，一个极大值，一个极小值。-当a≤1/2时，h(x)在R上单调递增，无极值。-当a>1/2时，h(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,ln(2a))上单调递增，在(ln(2a),+∞)上单调递减。存在唯一的极大值点x₀∈(0,ln(2a))，极大值为e^x₀-ax₀^2。存在唯一的极小值点y₀∈(-∞,0)，极小值为e^y₀-ay₀^2。（2）实数a的取值范围为a>1/2，此时h(x)在x₀处取得极大值e^x₀-ax₀^2，在y₀处取得极小值e^y₀-ay₀^2。其中x₀∈(0,ln(2a))，y₀∈(-∞,0)。解析：由（1）知，当a>1/2时，h(x)在x₀处取得极大值，在y₀处取得极小值。极大值为e^x₀-ax₀^2。极小值为e^y₀-ay₀^2。所以当a>1/2时，h(x)存在极值。没有唯一的a值使得在x=1处取得极值。题目描述有误，应该是存在极值点。根据（1）的分析，a>1/2时h(x)存在极值。如果题目本意是求使得h(x)在x=1处取得极值的a值，则如（1）中所述，a=-5时x=1为极小值点。但题目问“在x=1处取得极值”，这通常指存在极值点，故a>1/2。题目表述不清，按（1）的分析，a>1/2时存在极值。如果理解为求极值点x₀的值，则x₀=ln(2a)(a>1/2)。如果理解为求极值y₀的值，则y₀=-∞(a>1/2)。如果理解为求极值h(x₀)和h(y₀)的值，则分别为e^x₀-ax₀^2和e^y₀-ay₀^2(a>1/2)。21.证明：