【深度学习】《24.1 一元二次方程》名校教学设计

初中数学名校资源2/2《一元二次方程及其有关概念》教学设计一、教学内容分析教材在第一节中给出两个实际问题，通过建立方程引导学生思考这些方程的共同特点，并类比一元一次方程的概念，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念.本章开篇，教材利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要.接着，又通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，总结出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）.这样编排，不仅可以使学生认识到学习元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生经历运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识.引入一元二次方程概念的过程中，教材在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题让学生用定义做判断.这样安排，体现了概念学习的一般过程，教材在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现.许多现实问题中的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体.教材充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要体现好这一编写意图.二、学情分析学生前面已经学习过一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程以及二元一次方程组，对方程是联系数学和现实世界的重要载体已有体会，也对研究数学概念的方法有所体会.本单元内容是新知识，但学生对探究新知的方法并不陌生.通过几个具体实例，让学生观察方程特点，再类比前面学习一元一次方程的方法，即可很容易地总结出一元二次方程的特点以及相关的概念.三、教学目标1．理解一元二次方程的概念，能够判断一个方程是否是一元二次方程.2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称，会将一元二次方程转化为一般形式，并会识别各项的系数.3.了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是否是一元二次方程的根.4.会利用一元二次方程的概念，求方程中未知字母的值或取值范围.5.会利用一元二次方程根的概念，求方程中未知字母的值或含代数式的值.四、重点难点重点:一元二次方程的有关概念及其一般形式，并用这些概念解决问题.难点:通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.五、评价设计.学习评价量表标准等级理解一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程满足的条件.A能够判断一个方程是否是一元二次方程.A掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称，会将一元二次方程转化为一般形式，并会识别各项的系数.A了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是否是一元二次方程的根.A一元二次方程概念的应用：会利用一元二次方程的概念，求方程中未知字母的值或取值范围.B一元二次方程根的概念的应用：会利用一元二次方程根的概念，求方程中未知字母的值或含代数式的值.B六、教学活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动创设情境引入新知展示教材本章前的问题：要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像的下部高为xm，则所列方程是什么？提问：这个方程属于我们学过的某一类方程吗？如何构建方程；回顾已经学过的方程类型；复习“方程”“元”以及“次”的概念；观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名.使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题中数量关系的模型；使学生建立类比学习的意识，体会研究数学概念的一般方法；使学生在已有的知识体系中合理构建一元二次方程这一新知识.拓宽情境引发思考给出教材中的问题1、问题2，设未知数，建立方程问题1如图（见下图），有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教师引导学生思考并回答以下几个问题：全部比赛共有场.若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他队各赛一场，全部比赛共有场.由此，我们可以列出方程，化简得.提问：这些方程是几元几次方程？学生将实际问题中的数量关系用符号语言表示；将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．学生在前面学习的基础上，自己列出方程，并且要化简.面对列出的方程，学生发现它们和前面学过的方程不一样，认知上产生冲突，引发思考.在建模的过程中，学生不仅提升了数学思维能力，而且对二次项产生的根源更加明晰，对一元二次方程的理解更加深入.让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习.归纳问题得出概念问题3这些方程是什么方程？（1）一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式是：（a≠0）.其中，是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.问题4类比前面学过的方程解的概念，一元二次方程解的概念是什么？如何检验一个数是否是一元二次方程的解？思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的概念并且概括出一元二次方程的一般形式.学生回答，老师补充.回顾方程解的概念，给出一元二次方程解的概念，给出检验方程解的方法.能使方程左右两边相等的未知数的值，是方程的解；代入方程的左右两边，检验两边的值是否相等，是检验的方法.让学生自己总结出概念就是对过去所学一元一次方程的概念的类比学习.概括一般形式是对一元二次方程从另一个角度进行理解，是对数学符号语言的应用能力的提升.类比前面所学方程解的概念，得出一元二次方程解的概念，体会类比学习的重要性.辨析应用加深理解问题5请你说出一个一元二次方程和一个不是一元二次方程的方程.可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与.追问学生：所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？从一元二次方程的概念从发举出例子和反例，进而概括出一元二次方程满足的三个条件：1.只含有一个未知数；2.未知数的最高次数为2；3.为整式方程.学生自己举例，从正反两个方向强化了对概念的理解；在追问的过程中，帮助学生将所学过的方程梳理成比较清晰的知识体系.练习巩固例1判断下列方程哪些为关于x的一元二次方程.（1）；（2）；（3）；（4）+2=0；（5）；（6）.提问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？一元二次方程一定是整式方程吗？（1）（6）例2将下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数与常数项.（1）2（x-1）（x+1）=3（x+2）（2）（x+2）教师及时关注出现的问题（比如系数的符号问题），及时纠正学生的错误，帮助他们进一步厘清概念.例3下列哪些数是方程的根？-4，-3，-2,-1，0,1,2,3,4.例4已知关于x的一元二次方程.（1）求m的值；（2）将方程化为一般形式，并指出各项系数.分析：一元二次方程是指“只含有个未知数，且未知数的最高次数为2”的整式方程，并且化为一般形式后二次项系数不为0.根据一元二次方程的概念，可以得到含m的数量关系，进而求出m的值.在例4中，教师分析完后，学生在解答的过程中，教师应关注学生能否判断出该方程中的最高次项并进行合并，在得出结论时能否将“元”和“次”同时考虑.例5已知关于x的一元二次方程的一个根为x=1，求a的值提问：题目中的关键条件有哪几个？分别是什么？怎么使用这些条件？（即能得出什么样的结论？）在例5中，教师应关注学生能否仔细审题，考虑问题是否全面，是否掌握一元二次方程的概念及其根的概念.例1对于方程（3）（4）（5），同学们可能会产生争议，在争论中逐渐深化对概念的理解，进而选出正确答案.有二次项的不一定是二次方程，关键看化简后，此方程的二次项是否存在；一元二次方程一定是整式方程.例2（1）将方程2（x-1）（x+1）=3（x+2）去括号得再移项、合并同类项得，其中二次项是，二次项系数是2；一次项是-3x，一次项系数是-3；常数项是一8.（2）略例3验根的基本步骤：将这些数分别代入方程的左右两边，若左右两边的数值相等，则它们就分别是相应一元二次方程的根；反之，不是.例4解（1）将整理得（m-2）+（1-3m）x+m-1=0由题意得由①得m≠2.由②得m=±2.所以m的值为-2.（2）将m=-2代入原方程得二次项系数为-4，一次项系数为7，常数项为-3.例5由一元二次方程的概念可知，二次项系数a-3不等于0.根据方程根的概念，将x=1代入方程中，得到含有a的等量关系式.解因为关于x的一元二次方程（a-3）的根为x=1，由①得a≠3.由②得a=±3.所以a的值为-3.设置一组例题，均由学生解答，教师在教室内巡视，并展示学生的作答，以检验学生对一元二次方程概念的掌握情况，以及对一元二次方程各项的识别情况.理解一元二次方程根的概念并能利用它解决相关问题.知识应用能力提升练习1下列方程在什么条件下为关于x的一元二次方程？将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数与常数项.（1）；（2）.练习2已知关于x的一元二次方程的一个根为x=1，求a的值.练习3已知m是方程-2x-5=0的一个根，求的值通过本节课的学习，你学会了哪些研究问题的方法？利用今天学的这些知识，你能解决哪些问题？练习1分析：从一元二次方程的概念与一般形式两个角度进一步理解一元二次方程需满足的条件：未知数的最高次数为2，且化为一般形式后二次项的系数不为0.练习2分析：根据一元二次方程根的概念，将方程的根代入方程，求出字母的值.练习3分析：根据一元二次方程根的概念，将方程的根代入方程，得到含字母的等式，利用整体的思想求出式子的值.从具体实例中概括出数学概念的方法及类比学习的方法.会利用一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程；会将一元二次方程转化为一般形式，并能识别各项的名称；会利用一元二次方程根的概念，检验一个数是否是一元二次方程的根；会利用一元二次方程根的概念求字母的值或含字母的代数式的值.在面对形式比较复杂的方程时，帮助学生通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质.深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆.灵活应用方程的根的概念解决问题.最后的总结，提升学生总结概括的能力，帮助学生养成及时反思的习惯.七、板书设计一元二次方程及其有关概念一元二次方程的概念：例1：……方程只含一个未知数；②且未知数的最高次数为2.注：一元二次方程一定是整式方程.一元二次方程的一般形式例2：……a+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）.a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.一元二次方程（解）根的概念：例3：……能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值.八、达标检测与作业A级1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.B.C.D..2.（1）将方程-4x=-1整理为一般形式，并写出各项系数；（2）将关于x的一元二次方程3（x-1）（3x+1）=（x-1）（2x+5）整理为一般形式，并写出各项系数3.若关于x的方程+2x=+3是一元二次方程，求k的值.B级4.（1）若关于x的一元二次方程（a-2）+x+-4=0的一个根为0，求a的值；（2）若a是一元二次方程-3x+1=0的一个根，求的值.5.已知关于x的一元二次方程a+bx+c=0.（1）若a+b+c=0，求出该方程的一个根；（2）若a-b+c=0，求出该方程的一个根；（3）若4a+2b+c=0，求出该方程的一个根；（4）若4a-2b+c=0，求出该方程的一个根.6.已知关于x的方程-（a-1）x+b+3=0的一个根为a+1，求代数式的值.九、教学反思本节课的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以提高学生的抽象概括能力为目的.重视概念的提取过程、知识的形成过程、解题的探索过程、情感的体验过程.在整个概念探究的过程中，都是以问题驱动的形式，引导学生类比前面所学知识，用自己的语言总结出概念.整节课老师没有急于给出答案，给足了学生思考的时间，这非常有利于培养他们的抽象概括能力和表达能力.教学设计中用两个实际问题（面积问题、比赛问题）引出一元二次方程的概念还对所列的方程进行化简，特别是比赛问题，还要求将方程的二次项系数化为1，学生难以理解为什么这样做.在这个问题上花了一些时间，导致课堂的进度拖延，在教