2024-2025学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆一中高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2xx+3≤−1}，则A∩Z=A.{−3,−2,−1} B.{−2,−1} C.(−3,−1) D.(−∞,−1]2.已知函数f(x)在其定义域R上的导函数为f′(x)，当x∈R时，f′(x)>0是“f(x)单调递增”的(

)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件 D.充分不必要条件3.已知x=log32,y=logA.z>x>y B.z>y>x C.x>y>z D.x>z>y4.语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占80%，阅读过《三国演义》的占60%，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占95%，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为(

)A.0.8 B.0.6 C.0.45 D.0.755.设函数f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=x2+ax−2，则f(A.−134 B.−94 C.6.已知函数f(x)=ex−e−x−2x，若f(A.(−∞,1)∪(2,+∞) B.(1,2)

C.(−∞,−2)∪(−1,+∞) D.(−2,−1)7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，若圆O：x2+y2A.2 B.3 C.58.有一个开盲盒游戏，共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有A款玩偶1个，B款玩偶2个，C款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有C款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为(

)A.110 B.320 C.15二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的有(

)A.若X～N(1,1)，则P(X<0)=P(X>2)

B.若Y=2X−1且D(X)=1，则D(Y)=2

C.一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13

D.变量x与y的回归方程为y=2x−1，若观测数据中x均值x−为1，则变量y均值y−10.掷2次质地均匀的骰子，记事件A为“两次掷出的数字相同”，事件B为“两次掷出的数字不同”，事件C为“两次掷出的数字之和为奇数”，事件D为“两次掷出的数字之和为偶数”，则下列说法正确的有(

)A.A和C互斥 B.B和D独立 C.P(A|D)=13 11.已知函数f(x)=x3+aA.当a=1时，f(x)既有极大值，又有极小值

B.若f(x)在x=0处取到极大值，则实数a的取值范围为(−∞,0)

C.a=3时，f(x)在区间(m,m+2)内取到最大值，则实数m的取值范围为(−3,−1)

D.不存在实数a，使得f(x)在区间(−1,1)内既有最大值又有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(1+x)4=a0+13.如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m，已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.则仓库的储物量(既容积)的最大值为______14.已知函数f(x)=2−|x|,x≤2(x−2)2,x>2，若f(x−m)≥f(x)恒成立，其中m<0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失(不合并其他超声异常)，有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常.某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：是否合并其他超声异常

染色体是否异常不合并合并合计正常72678异常31922合计7525100(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系；

(2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记X为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求X的分布列和数学期望．

附：χP(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex−a(12x2+x)．

(1)若曲线y=f(x)与x轴相切，求实数a17.(本小题15分)

椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，点P为椭圆E上动点，PF1⋅PF2的值域为[0,1]．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的上下顶点分别为A，B，直线PF2交椭圆E于另一点18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2−1+aln(1+x)．

(1)若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当a=1时，若对任意x∈(−1,+∞)，不等式f(x)−x2+2≤bax+lnb恒成立，求实数b的最小值；

(3)若f(x)存在两个不同的极值点x1，19.(本小题17分)

随着荣昌卤鹅爆火全国，重庆旅游业迎来了快速增长.重庆某区为吸引游客，在一条古街的n(n∈N−,n≥3)家商店中分别售卖n款不同的文创产品(每家店仅售一款).假设小明对每款文创产品的喜爱程度均不相同，且只能在逛店时进行比较.小明想购买一款文创产品留作纪念，他依次逛完所有商店，且不回头(即小明一旦购买一款文创产品，即使后面遇到更喜爱的也不能再更改选择).为了能使购买到最喜爱文创产品的概率最大，你替小明制定了如下两种策略：

策略A0：直接购买第一家店里的文创产品；

策略Ak(k∈N+,k<n)：如图所示，先将遇到前k款文创产品作为参考组，其余文创产品作为候选组.参考组中文创产品均不做选择，若候选组中一旦出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则立刻购买该款文创产品；若到最后都没有出现比参考组都要更喜爱的文创产品，则选择买下最后一款文创产品．

设小明通过策略Ak(k∈N)购买到最喜爱文创产品的事件为Bk，事件Bk发生的概率为pk．

(1)若n=3，求p1的值.并比较策略A0和A1的优劣；

(2)设1≤k<n，设小明最喜爱文创产品位于第i(i=1,2,⋯,n)个店里的事件为Ci，

(i)写出P(答案解析1.【答案】B

【解析】将诶：2xx+3≤−1⇒2x+x+3x+3≤0⇒(x+1)(x+3)≤0且x+3≠0，解得−3<x≤−1，

故A={x|−3<x≤−1}，

故A∩Z={−2,−1}．

故选：B．

2.【答案】D

【解析】解：对任意的x∈(a,b)，f′(x)>0，可以得到f(x)在(a,b)上为增函数，

但f(x)在(a,b)上为增函数时，只要f′(x)≥0即可，

如f(x)=x3在R上单调递增，但f′(0)=0，

所以“对任意的x∈(a,b)，f′(x)>0”是“f(x)在(a,b)上为增函数”的充分不必要条件．

∴“当x∈R时，f′(x)>0”是“f(x)单调递增”的充分不必要条件．

故选：D．

由导函数值与原函数单调性的关系直接判断．3.【答案】A

【解析】解：因为log213>log23>1，

所以1>log32>log132，

又e13>e0=1，

4.【答案】D

【解析】解：事件A：阅读过《红楼梦》，事件B：阅读过《三国演义》，

则P(A)=80%=0.8，P(B)=60%=0.6，P(A∪B)=95%=0.95，

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，则0.95=0.8+0.6−P(A∩B)，故P(A∩B)=0.45，

从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位，

该同学阅读过《红楼梦》的概率：P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.450.6=0.75．

故选：5.【答案】C

【解析】解：f(x)为奇函数，

则f(−x)=−f(x)，

f(x+1)为偶函数，

则f(−x+1)=f(x+1)，

则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[−(x+1)+1]=f(−x)=−f(x)，

故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数，

f(x)为奇函数，

则f(0)=0，f(2)=f(0)=0，

当x∈[1,2]时，f(x)=x2+ax−2，

则f(2)=4+2a−2=0，解得a=−1，

故当x∈[1,2]时，f(x)=x2−x−2，

f(252)=f(12)=f(36.【答案】B

【解析】解：因为f(−x)=e−x−ex+2x=−f(x)，

所以函数f(x)是奇函数，

因为f′(x)=ex+e−x−2≥0，所以数f(x)在R上单调递增，

又f(a2)+f(−3a+2)<0，即f(a2)<−f(−3a+2)=f(3a−2)，

所以，a27.【答案】C

【解析】解：已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，

则A(−a,0)，

不妨设圆O：x2+y2=a2+b2交C的一条渐近线y=bax于B，D两点，

则B(a,b)，D(−a,−b)，

则AD与x轴垂直，

又∠BAD=3π4，

即直线AB的倾斜角为3π4−π28.【答案】B

【解析】解：假设所有盲盒均打开，只需要有A和B款在所有C款后打开即可，

故有两种情况：①两个B均在所有C后，例如CCC|ABB，共有A33×A33=36种；

②只有一个B在所有C后，例如CCBC|AB，共有C21C319.【答案】AD

【解析】解：对于A选项：因为X满足正态分布X～N(1,1)，所以0和2关于X=1对称，故P(X<0)=P(X>2)，所以A正确；

对于B选项：因为D(aX+b)=a2D(X)，所以D(Y)=D(2X−1)=22D(X)=4，所以B错误；

对于C选项：将数据从小到大排序，易知共5个数据，所以5×40%=2，所以第40百分位数是13+172=15，所以C错误；

对于D选项：将x−=1代入y=2x−1，可得y−=1，所以D正确．

故选：AD．

对于A选项，根据正态分布的对称性判断即可；

对于B选项：根据方差的性质D(aX+b)=a2D(X)10.【答案】ACD

【解析】解：选项A：由于两次掷出数字相同，则数字之和为偶数，不可能为奇数，故A和C互斥，A对；

选项B：P(BD)=6×262=13，P(B)=A6262=56，P(D)=6×362=12，

故P(BD)≠P(B)P(D)，故B和D不独立，B错；

选项C：显然，A⊆D，P(AD)=P(A)，所以P(A|D)=P(AD)P(D)=P(A)P(D)=611.【答案】ABD

【解析】解：对于A选项，当a=1时，f(x)=x3+12x2+2，求导f′(x)=3x2+x，

令f′(x)=0得x=0或−13.当x∈(−∞,−13)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(−13,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；则f(x)既有极大值，又有极小值，故A正确；

对于B选项，求导f′(x)=3x2+ax，令f′(x)=0得x=0或−a3，

当a<0时，f(x)在x∈(−∞,0)上单调递增，在x∈(0,−a3)上单调递减，在x∈(−a3,+∞)上单调递增，故f(x)在x=0处取到极大值；

当a>0时，f(x)在x∈(−∞,−a3)上单调递增，在x∈(−a3,0)上单调递减，在x∈(0,+∞)上单调递增，故f(x)在x=0处取到极小值；

当a=0时，f′(x)≥0，f(x)在x∈(−∞,+∞)上单调递增；故B正确；

对于C选项，a=3时，f′(x)=3x2+3x，则f(x)在x∈(−∞,−1)和x∈(0,+∞)上单调递增，

在x∈(−1,0)上单调递减，

若f(x)在区间x∈(m,m+2)内取到最大值，则必在x=−1处取到，

令f(x)=f(−1)解得x=−1或x=12，故有m<−1<m+2m+2≤12，

解得m∈(−3,−32]，故C错误；

对于D选项，要使f(x)在区间12.【答案】15

【解析】解：已知(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，

13.【答案】36

【解析】解：设仓库的长与高分别为a，b(单位：m)，

由题意可得：(2×3b+ba)×900+3a×600=32400，

则2a+6b+ab=36，0<a≤8，0<b≤3；

可得：36=2a+6b+ab≥43ab+ab，当且仅当2a=6b时取等号，

即(ab+63)(ab−23)≤0，

即ab≤12，

14.【答案】(−∞,−17【解析】解：易知函数f(x)图象如图所示，因为m<0，所以函数f(x−m)图象即为函数f(x)图象左移−m个单位长度，

当曲线y=(x−m−2)2，x>m+2与直线y=x+2相切时，令(x−m−2)2=x+2，

即x2−(2m+5)x+m2+4m+2=0，有Δ=(2m+5)2−4(m2+4m+2)=0，解得m=−1715.【答案】胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关；

分布列见详解；34．【解析】解：(1)设零假设H0：合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关，

由题知χ2=100×(72×19−3×6)275×25×78×22=100×182×75275×25×78×22=8100143≈56.6>10.828=P(χ2>0.001)，

故零假设H0不成立，

故根据小概率值α =0.001的独立性检验，胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关；

(2)由列联表中数据得鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为25100=14，

易得，X=0，1X0123P272791E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34．

(1)设零假设H0：合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关，求出χ2的值，再根据小概率值α=0.00116.【答案】a=1或a=2e；

当a=1e时，f(x)在R上单调递增；

当0<a<1e时，f(x)的单调递增区间为(−∞,lna)，(−1,+∞)，单调递减区间为(lna,−1)；

当a>1e时，f(x)【解析】(1)设切点为(x0,x0ex0−a(12x02+x0))，

则切线斜率为f′(x0)=(x0+1)(ex0−a)，

因为曲线y=f(x)与x轴相切，则f′(x0)=(x0+1)(ex0−a)=0，

解得x0=−1或x0=lna，

当x0=−1时，切点为(−1,0)，即f(−1)=−1e+a2=0，解得a=2e，

当x0=lna时，切点为(lna,0)，即f(lna)=12aln2a=0，解得a=1，

综上，a=1或a=2e；

(2)f′(x)=(x+1)(ex−a)，

令f′(x)=0，得x=−1或x=lna．

①当a=1e时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增；

②当0<a<1e时，lna<−1，由f(x)>0，得x<lna或x>−1；

由f(x)<0，得lna<x<−1，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,lna)，(−1,+∞)，单调递减区间为(lna,−1)．

③当a>1e时，lna>−1，由f′(x)>0，得x<−1或x>lna；

17.【答案】x22+y2【解析】(1)设P(x0,y0)，则x02a2+y02b2=1，

故y02=b2−b2a2x02，x02∈[0,a2]，

又PF1⋅PF2=(x0+c,y0)⋅(x0−c,y0)=x02+y02−c2，

故PF1⋅PF2=x02−b2a2x02+b2−c2=c2a2x02+b2−c2∈[b2−c2,b2]，

由题可得，b2−c2=0，b2=118.【答案】[12,+∞)；

1；

【解析】(1)由f(x)=x2−1+aln(1+x)得：f′(x)=2x+a1+x，

因为f(x)在定义域内单调递增，故2x+a1+x≥0在(−1,+∞)恒成立，且f′(x)=0的解不连续，

则a≥[−2x(1+x)]max=12，所以，a的范围是[12,+∞)；

(2)当a=1时，不等式可化为1+ln(x+1)≤bex+lnb变形为x+1+ln(x+1)≤bex+ln(bex)，

同构函数g(t)=t+lnt，求导得g′(t)=1+1t>0，

所以g(t)=t+lnt在(0,+∞)上是增函数，

而原不等式可化为g(x+1)≤g(bex)，

根据单调性可得：x+1≤bex⇔x+1ex≤b，x∈(−1,+∞)，

再构造ℎ(x)=x+1ex，则ℎ′(x)=−xex，x∈(−1,+∞)，

当x∈(−1,0)时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增，

当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)<0，则ℎ