2024-2025学年云南师大附属镇雄中学教研联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南师大附属镇雄中学教研联盟高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−1≤0}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=A.{−2,2} B.{−1,1} C.{−1,0,1} D.{0}2.已知平面向量a=(1,−2)，b=(3,4)，则(2aA.−15 B.−10 C.10 D.153.函数f(x)=xcosx在区间[−2,2]上的图象大致是(

)A. B.

C. D.4.已知a，b，m∈(0,+∞)，则“a>b”是“b+ma+m>baA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康.已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y=λ(1−e−λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t=10时，y=34λ，则λ的值约为A.0.54 B.0.34 C.0.24 D.0.146.已知一个正方体和一个圆台，其中圆台下底面圆是正方体下底面正方形的外接圆，圆台的上底面圆是正方体上底面正方形的内切圆，则圆台与正方体的体积之比等于(

)A.(3+2)π12 B.(3+37.要得到函数y=cos(2x−π3)的图象，只需将y=sin2x的图象向左平移φ(0<φ<A.π12 B.π6 C.π48.已知函数f(x)的定义域为R，且f(0)≠0，若f(x)⋅f(y)−f(xy)=x+y，则(

)A.f(1)=−1 B.f(−1)=1 C.f(x)为增函数 D.f(x)为奇函数二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1=1−i，z2=5+i在复平面内对应的点分别为Z1和A.点Z1的坐标为(1,−1) B.z2z1=2−3i

C.若z=10.在正方体ABCD−A1B1CA.BC1与AC所成的角为90°

B.BC1与CD所成的角为90°

C.BC1与平面ACC1A11.已知a>0，b>0，且2a+b=1，则下列结论正确的是(

)A.ab的最大值为18 B.4a2+b2≥1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ex+ae−x213.在△ABC中，D为BC的中点，设AB=a，AD=b，且AC=λ14.已知sinα=x+1，sinβ=2x+1，且α,β∈[−π2,π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，函数f(x)=a⋅b．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)=3，求16.(本小题15分)

图1是由正方形ACDE和等边△ABC组成的平面图形，将△ABC沿AC折起．

(1)折起时点B与点P重合，且平面PAC⊥平面ACDE，如图2，F、G分别是PE、PA的中点．

①证明：C，D，F，G四点共面；

②证明：平面CDFG⊥平面PAE；

(2)折起时点B与点S重合，且SC=SD=2，如图3，求点D到平面SAC的距离．17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=3，tanB=32，∠BAC的平分线交BC于D点．

(1)若BD=7，求∠BAC；

(2)若△ACD的面积是△ABD面积的218.(本小题17分)

用不共线的两个向量AB=(x1,y1)，AC=(x2,y2)，求解三角形面积问题．

(1)若AB=(−1,3)，AC=(2,2)，求△ABC的面积；

(2)用x1，y1，19.(本小题17分)

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，满足f(xy)=yf(x)+xf(y)的函数f(x)称为“勾函数”．

(1)证明：g(x)=xlnx为“勾函数”；

(2)设f(x)=x⋅ℎ(x)为“勾函数”，若x>1，ℎ(x)>0，证明：ℎ(x)在区间(1,+∞)上为增函数；

(3)已知g(x)=xlnx在区间(1,+∞)上为增函数，当x≥e时，g(x)≥a⋅ea恒成立，求答案解析1.【答案】C

【解析】解：由x2−1≤0，得−1≤x≤1，所以A={x|−1≤x≤1}，

所以A∩B={−1,0,1}．

故选：C．

先求出集合B，再根据交集的定义可求得结果．2.【答案】B

【解析】解：因为a=(1,−2)，b=(3,4)，

所以2a+b=2(1,−2)+(3,4)=(5,0)，a−b=(−2,−6)，

则(23.【答案】A

【解析】解：因为f(x)的定义域为R，且f(−x)=−xcos(−x)=−xcosx=−f(x)，

所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C、D，

当0<x<π2时，cosx>0，f(x)>0，可排除选项B．

故选：A．

根据奇偶性可排除CD，根据范围可排除B．4.【答案】C

【解析】解：由题意b+ma+m−ba=a(b+m)−b(a+m)a(a+m)=m(a−b)a(a+m)，

若a>b>0，结合m>0，则b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)>0，

故“a>b”是“b+ma+m>ba”的充分条件；

若b+ma+m>ba，则b+ma+m−ba=m(a−b)a(a+m)>0，5.【答案】D

【解析】解：由题意知，y=λ(1−e−λt)，将t=10，y=34λ代入，得34λ=λ(1−e−10λ)，

所以e−10λ=146.【答案】A

【解析】解：设正方体的棱长为2，则根据题意可得：

圆台下底半径为2，上底半径为1，高为2，

所以圆台的体积V1=13π[12+1⋅2+(2)7.【答案】A

【解析】解：因为y=sin2x=cos(2x+32π)，

将其向左平移φ(0<φ<π2)个单位得到y=cos(2x+32π+2φ)，

故cos(2x+32π+2φ)=cos(2x−π3)，

所以328.【答案】C

【解析】解：已知函数f(x)的定义域为R，f(0)≠0，且f(x)⋅f(y)−f(xy)=x+y，

对于A，令x=y=0，

则f(0)[f(0)−1]=0，

又因为f(0)≠0，

所以f(0)=1，

令x=1，y=0，

则f(1)⋅f(0)−f(0)=1，

解得f(1)=2，

故A错误；

对于B，令x=−1，y=0，

则f(−1)⋅f(0)−f(0)=−1，

又f(0)=1，

解得f(−1)=0，

故B错误；

对于C，令y=1，

则有f(x)⋅f(1)−f(x)=x+1，

又因为f(1)=2，

所以f(x)=x+1，

所以函数y=f(x)为单调递增函数，

故C正确；

对于D，由C可知f(x)=x+1，为非奇非偶函数，

故D错误．

故选：C．

利用赋值法求出f(0)、f(1)及f(−1)的值，从而判断AB；令y=1，结合9.【答案】ACD

【解析】解：对于A，由题意可得Z1(1,−1)，故A正确；

对于B，z2z1=5+i1−i=(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=5+5i+i−12=2+3i，故B错误；

对于C，z=z1⋅z2=(1−i)(5+i)=5+i−5i+1=6−4i，则z−=6+4i，

又z1−⋅z2−=(1+i)(5−i)=5−i+5i+1=6+4i，故z−=z1−⋅z10.【答案】BCD

【解析】解：对于选项A：如下图，AC/​/A1C1且△A1BC1为等边三角形，

则BC1与AC所成的角为60°，故选项A错；

对于选项B：由AB/​/CD，且AB⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

则AB⊥BC1，故CD⊥BC1，故选项B对；

对于选项C：由AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

则AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC=A且都在平面ACC1A1内，

则BD⊥平面ACC1A1，11.【答案】ABD

【解析】解：对于A，a>0，b>0，则2a+b=1≥22ab，故ab≤18，当且仅当b=12，a=14时取等号，故A正确，

对于B，∵ab≤18，4a2+b2=(2a+b)2−4ab=1−4ab≥12，当且仅当b=2a=12时取等号，故B正确，

对于C，1a+1b12.【答案】−1

【解析】解：函数定义域为R，

因为函数f(x)=ex+ae−x2为奇函数，

则f(0)=e0+ae02=0，可得a=−1，13.【答案】−2

【解析】解：在△ABC中，由D为BC的中点，

可得AD=12AB+12AC=12a+12AC=b，

故AC=2b−14.【答案】π2【解析】解：由于sinα=x+1≥0，则α∈[0,π2]，0≤x+1≤1，

所以−1≤x≤0，

β∈[−π2, π2]，则sinβ=2x+1∈[−1,1]，进而−1≤x≤0，

cos2α=1−2sin2α=1−2(x+1)=−2x−1，故cos(π−2α)=2x+1，

因为sinβ=cos(π2−β)，

由于π15.【答案】π；

{x|x=kπ+π12或x=kπ+π4, k∈Z}；【解析】a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，

(1)f(x)=a⋅b=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

所以T=2π2=π．

(2)由已知得sin(2x+π6)=32，所以2x+π6=2kπ+π3或2x+π6=2kπ+2π3, k∈Z，

所以x=kπ+π12或x=kπ+π4, k∈Z16.【答案】①证明见解析；②证明见解析；

26【解析】(1)证明①：F、G分别是PE、PA的中点，

则GF/​/AE，又AE/​/CD，所以GF/​/CD，所以C，D，F，G四点共面．

②因为平面PAC⊥平面ACDE，而AE⊥AC，

所以AE⊥平面PAC．

又因为CG⊂平面PAC，

所以AE⊥CG．

△PAC为等边三角形，G是PA的中点，所以CG⊥PA，因为PA∩AE=A，且两直线在平面内，

所以CG⊥平面PAE，而CG⊂平面CDFG，

所以平面CDFG⊥平面PAE．

(2)连接AD，CE交于点O，连接SO，

因为SC=SD=2，SA=AC=2，O为AD的中点，

所以SO⊥AD，故SO=SA2−AO2=22−(2)2=2..

所以SC2=SO2+CO2，所以SO⊥CE.且AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ACDE，

所以SO⊥平面ACDE，

设点D到平面SAC的距离为d，

而VS−ACD=VD−SAC，

即13S△SAC⋅d=1317.【答案】∠BAC=2π3；

9【解析】解：(1)因为tanB=32>0，

可得B为锐角，

又sin2B+cos2B=1，

可得cosB=27, sinB=37，

在△ABD中，可得AD2=9+7−2×3×7×27=4，解得AD=2，

由正弦定理得sin∠BAD=BD⋅sinBAD=32，

又因为∠BAD∈(0,π2)，可得∠BAD=π3，

又AD是∠BAC的平分线，

可得∠BAC=2π3；

(2)由于S△ACD=2S△ABD，可得18.【答案】4；

12|x1y2【解析】(1)由已知得AB⋅AC=−2+6=4，|AB|=1+9=10，|AC|=4+4=22，

则cos∠BAC=AB⋅AC|AB| |AC|=445=15>0，

可知∠BAC为锐角，sin∠BAC=1−cos2∠BAC=25，

所以S△ABC=12|AB|⋅|AC|sin∠BAC=12×10×22×25=4．

(2)由题意得cos∠BAC=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=x1x2+y1y2x119.【答案】证明见解析；

证明见解析；

(−∞,1]．

【解析】(1)证明：因为g(x)=xlnx的定义域为(0,+∞)，

所以g(xy)=xy⋅ln(xy)=xy(lnx+lny)，

而yg(x)+xg(y)=y(xlnx)+x(ylny)=xy(lnx+lny)=g(xy)，

所以g(x)=xlnx为“勾函数”．

(2)f(x)=x⋅ℎ(x)为“勾函数”，

则f(xy)=xy⋅ℎ(xy)，yf(x)+xf(y)=