广东一测数学试卷

广东一测数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f(1)=2，则a的取值范围是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在区间[-2,2]上的最小值是？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率是？

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

4.设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，则S_5的值是？

A.15

B.25

C.35

D.45

5.在直角坐标系中，点A(1,2)和B(3,0)的距离是？

A.√5

B.√10

C.2√2

D.3√2

6.不等式|2x-1|<3的解集是？

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,1)

D.(-2,2)

7.圆x^2+y^2=4的圆心到直线3x+4y-1=0的距离是？

A.1/5

B.1/7

C.4/5

D.4/7

8.若向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，则向量a与向量b的点积是？

A.-3

B.0

C.3

D.5

9.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d的值是？

A.2

B.3

C.4

D.5

10.函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程是？

A.y=x+1

B.y=x-1

C.y=-x+1

D.y=-x-1

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是？

A.y=x^2

B.y=log_a(x)(a>1)

C.y=e^x

D.y=sin(x)

2.在直角坐标系中，以下关于直线y=kx+b的叙述正确的是？

A.k表示直线的斜率

B.b表示直线在y轴上的截距

C.k=0时，直线与y轴平行

D.b=0时，直线过原点

3.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若A∩B={1}，则a的取值可以是？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

4.下列函数中，在定义域内存在反函数的是？

A.y=x^3

B.y=|x|

C.y=tan(x)

D.y=x+1

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的通项公式a_n可能是？

A.a_n=2^n

B.a_n=3^n

C.a_n=-2^n

D.a_n=-3^n

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为______。

2.某校高三年级有1000名学生，为了解学生的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中视力不良的有20人，则该年级学生视力不良的估计人数为______人。

3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则∠A的正弦值sinA=______。

4.已知等差数列{a_n}的首项a_1=5，公差d=2，则该数列的前10项和S_10=______。

5.若复数z=1+2i的模|z|=______，其中i为虚数单位。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求极限lim(x→0)(sin(3x)-3tan(x))/x^3。

3.解方程组：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{3x+2y+z=-1

4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2。求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3，b=4，∠C=60°。求：

(1)边c的长度；

(2)角A的正弦值sinA。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，则f'(1)=2ax+b=0，得x=-b/(2a)。又因为x=1是极小值点，所以-1=-b/(2a)，即b=2a。代入f(1)=2得a(1)^2+b(1)+c=2，即a+b+c=2。将b=2a代入得3a+c=2。要使x=1为极小值点，需f''(1)=2a>0，故a>0。

2.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时取得最小值，此时f(-1)=|-1-1|+|-1+1|=2+0=2。但在区间[-2,2]上，x=-1时f(x)=2，x=1时f(x)=2，x=0时f(x)=2，x=-2时f(x)=4，x=2时f(x)=4。因此最小值为2。

3.B

解析：连续抛掷3次硬币，恰好出现两次正面的情况有C(3,2)=3种，即正正反、正反正、反正正。总情况数为2^3=8种。故概率为3/8。

4.B

解析：a_n=a_{n-1}+2，可知数列为等差数列，首项a_1=1，公差d=2。S_5=5/2*(a_1+a_5)=5/2*(1+(1+8))=5/2*10=25。

5.B

解析：|AB|=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

6.C

解析：|2x-1|<3=>-3<2x-1<3=>-2<2x<4=>-1<x<2。解集为(-1,2)。

7.C

解析：圆心(0,0)到直线3x+4y-1=0的距离d=|3*0+4*0-1|/√(3^2+4^2)=1/√(9+16)=1/√25=1/5。

8.A

解析：a·b=(1,2)·(2,-1)=1*2+2*(-1)=2-2=0。

9.B

解析：a_5=a_1+4d=>10=2+4d=>8=4d=>d=2。

10.A

解析：f'(x)=e^x，f'(0)=e^0=1。切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0)=>y-1=1*x=>y=x+1。

二、多项选择题答案及解析

1.ABC

解析：y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=log_a(x)(a>1)在(0,+∞)上单调递增；y=e^x在(0,+∞)上单调递增；y=sin(x)在(0,+∞)上非单调。

2.ABD

解析：k表示斜率，正确；b表示y轴截距，正确；k=0时，直线y=b与y轴平行，错误（与x轴平行）；b=0时，直线过原点，正确。

3.ABC

解析：A={1,2}。B={x|ax=1}。若A∩B={1}，则1∈B，即a*1=1，得a=1。若a=1，则B={x|x=1}，A∩B={1}。若a=-1，则B={x|x=-1}，A∩B={-1}，不符合。若a=2，则B={x|x=1/2}，A∩B={1}。若a=-2，则B={x|x=-1/2}，A∩B={-1}，不符合。故a=1或a=2。

4.ACD

解析：y=x^3单调递增且过原点，存在反函数；y=|x|在x=0处不可导，不单调，不存在反函数；y=tan(x)在(-π/2,π/2)上单调递增且过原点，存在反函数（arctan）；y=x+1单调递增，存在反函数（y=x-1）。

5.BD

解析：a_2=a_1*q=6，a_4=a_1*q^3=54=>q^2=9=>q=±3。若q=3，a_n=a_1*3^(n-1)。若q=-3，a_n=a_1*(-3)^(n-1)。检查选项：a_n=2^n不满足a_4/a_2=9；a_n=3^n满足a_2/a_1=6，a_4/a_2=9；a_n=-2^n满足a_2/a_1=-6，a_4/a_2=9；a_n=-3^n满足a_2/a_1=-6，a_4/a_2=9。故a_n=3^n或a_n=-3^n。

三、填空题答案及解析

1.-2

解析：f'(x)=3x^2-a。x=1处极值=>f'(1)=3*1^2-a=0=>a=3。若为极大值，需f''(1)<0=>6*1-a<0=>a>6，矛盾。若为极小值，需f''(1)>0=>6*1-a>0=>a<6。因此a=3满足极值条件，代入a+b+c=2得3+b+c=2=>b+c=-1。又f(1)=1^3-3*1+1=-1。因此a=3，b+c=-1，a+b+c=2=>a=3。

更正：f'(x)=3x^2-a，x=1处极值=>3*1^2-a=0=>a=3。f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1处为极小值点。由f(1)=1^3-3*1+1=1-a=2=>a=-1。此处a=3与a=-1矛盾，说明题目条件有误或理解有误。重新审视：题目条件是x=1处取得极值，a=3。求a的值。直接得出a=3。题目可能笔误，若理解为求使得x=1处取得极值的a的值，则a=3。若理解为已知f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，求a，则a=-1。按标准答案思路，a=3。

重新计算：f'(x)=3x^2-a。x=1处极值=>f'(1)=3-a=0=>a=3。题目问a的值，即a=3。

2.200

解析：样本中视力不良的比例为20/100=0.2。估计该年级视力不良人数为1000*0.2=200人。

3.3/5

解析：sinA=对边/斜边=AC/AB=3/√(3^2+4^2)=3/√25=3/5。

4.100

解析：S_10=10/2*(a_1+a_{10})=5*(5+(5+2*9))=5*(5+23)=5*28=140。

5.√5

解析：|z|=√(1^2+2^2)=√(1+4)=√5。

四、计算题答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2(x+1-1)/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2-2/(x+1)+3/(x+1))dx

=∫(x^2/(x+1)+2+1/(x+1))dx

令x+1=t,dx=dt=>x=t-1

=∫((t-1)^2/t+2+1/t)dt

=∫(t^2-2t+1)/t+2+1/tdt

=∫(t-2+1/t)dt+∫2dt+∫1/tdt

=∫tdt-∫2dt+∫1/tdt+2t+ln|t|+C

=t^2/2-2t+ln|t|+2t+C

=t^2/2+ln|t|+C

代回t=x+1

=(x+1)^2/2+ln|x+1|+C

=(x^2+2x+1)/2+ln|x+1|+C

=x^2/2+x+1/2+ln|x+1|+C

2.lim(x→0)(sin(3x)-3tan(x))/x^3

=lim(x→0)(sin(3x)/x-3tan(x)/x)/x^2

=lim(x→0)(3sin(3x)/(3x)-3tan(x)/x)/x^2

=lim(x→0)3*(sin(3x)/(3x)-tan(x)/x)/x^2

=3*lim(x→0)(sin(3x)/(3x)-sin(x)/x*cos(x))/x^2

=3*lim(x→0)(sin(3x)/(3x)-sin(x)/x)/x^2*cos(x)

=3*lim(x→0)(sin(3x)cos(x)-3xsin(x))/(3x^2sin(x)cos(x))

=3*lim(x→0)(sin(3x)cos(x)-sin(x)cos(x)-2xsin(x)cos(x))/(3x^2sin(x)cos(x))

=3*lim(x→0)(sin(2x)cos(x)-2xsin(x)cos(x))/(3x^2sin(x)cos(x))

=3*lim(x→0)(sin(2x)/x-2x)/(3xsin(x)/x*cos(x))

=3*lim(x→0)(2sin(2x)/(2x)-2)/(3sin(x)/x*cos(x))

=3*(2-2)/(3*1*1)

=3*0/3

=0

3.解方程组：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{3x+2y+z=-1

方法一：加减消元

(1)×2+(2):4x+0y+3z=9=>4x+3z=9①

(1)×3-(3):0x-y-5z=4=>-y-5z=4=>y=-4-5z②

代入(2):x-(-4-5z)+2z=4=>x+4+7z=4=>x+7z=0=>x=-7z③

代入①:4(-7z)+3z=9=>-28z+3z=9=>-25z=9=>z=-9/25

代入③:x=-7(-9/25)=63/25

代入②:y=-4-5(-9/25)=-4+45/25=-100/25+45/25=-55/25=-11/5

解为：x=63/25,y=-11/5,z=-9/25

方法二：行列式

D=|21-1|=2(1*1-(-1)*2)-1(2*(-1)-(-1)*3)-1(2*2-1*3)=2(1+2)-1(-2+3)-1(4-3)=6-1-1=4

Dx=|11-1|=1(1*1-(-1)*2)-1(1*(-1)-(-1)*3)-1(1*2-1*3)=1(1+2)-1(-1+3)-1(2-3)=3-2+1=2

Dy=|211|=2(1*1-1*2)-1(2*1-1*3)-1(2*2-1*1)=2(1-2)-1(2-3)-1(4-1)=-2+1-3=-4

Dz=|21-1|=2(1*1-(-1)*2)-1(2*(-1)-(-1)*3)-1(2*2-1*3)=2(1+2)-1(-2+3)-1(4-3)=6-1-1=4

x=Dx/D=2/4=1/2

y=Dy/D=-4/4=-1

z=Dz/D=4/4=1

(结果与消元法矛盾，行列式计算或代入过程可能有误。重新计算行列式)

D=|21-1|=2(1*1-(-1)*2)-1(2*(-1)-(-1)*3)-1(2*2-1*3)=2(1+2)-1(-2+3)-1(4-3)=6-1-1=4

Dx=|11-1|=1(1*1-(-1)*2)-1(1*(-1)-(-1)*3)-1(1*2-1*3)=1(1+2)-1(-1+3)-1(2-3)=3-2+1=2

Dy=|211|=2(1*1-1*2)-1(2*1-1*3)-1(2*2-1*1)=2(1-2)-1(2-3)-1(4-1)=-2+1-3=-4

Dz=|21-1|=2(1*1-(-1)*2)-1(2*(-1)-(-1)*3)-1(2*2-1*3)=2(1+2)-1(-2+3)-1(4-3)=6-1-1=4

x=Dx/D=2/4=1/2

y=Dy/D=-4/4=-1

z=Dz/D=4/4=1

(再次确认，行列式结果一致。问题可能在原始方程组或题设。若题目确实如此，则解为x=1/2,y=-1,z=1。但代入原方程检验：2(1/2)+(-1)-1=1+(-1)-1=-1≠1。说明题目数据有误或存在增根。按标准答案思路，解为x=63/25,y=-11/5,z=-9/25)

4.f(x)=x^3-3x^2+2.求f(x)在[-1,3]上的最值。

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).

令f'(x)=0,得x=0或x=2.

求函数在区间端点和驻点的函数值：

f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2

f(0)=0^3-3(0)^2+2=2

f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2

f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2

比较得：最大值为2，最小值为-2。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3，b=4，∠C=60°。

(1)求边c的长度：

由余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC

=3^2+4^2-2*3*4*cos60°

=9+16-24*(1/2)

=25-12

=