江苏高考第一数学试卷

江苏高考第一数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=k}（k为正整数），则A∩B等于（）

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅

2.函数f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.[1,+∞)

3.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a+b的模长为（）

A.3B.4C.5D.6

4.若复数z满足z^2=1，则z的实部等于（）

A.1B.-1C.0D.±1

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=6，则a_5等于（）

A.8B.10C.12D.14

6.已知圆O的半径为2，圆心在原点，则直线3x+4y-5=0与圆O的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.重合

7.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，则φ的取值可以是（）

A.π/4B.π/2C.3π/4D.π

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

9.已知函数f(x)=e^x-1，则其反函数f^(-1)(x)的图像关于（）

A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.y=x对称

10.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=|x|上运动，则点P到直线x-y=0的距离d的最小值为（）

A.1/√2B.1C.√2D.2

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，则下列关于函数f(x)的说法正确的有（）

A.f(x)在(-∞,1)上单调递增B.f(x)在(1,2)上单调递减C.f(x)的极大值为0D.f(x)的极小值为-2

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则下列结论正确的有（）

A.sinC=sin(75°)B.cosC=-cos(75°)C.tanC=tan(75°)D.sinA>sinB

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，且a_n=S_n*(n-1)（n≥2），则下列关于数列{a_n}的说法正确的有（）

A.数列{a_n}是等差数列B.数列{a_n}是等比数列C.a_3=4D.a_4=10

4.已知函数f(x)=2cos^2x-sin(2x)-1，则下列关于函数f(x)的说法正确的有（）

A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的图像关于直线x=π/4对称C.函数f(x)在(0,π/2)上单调递减D.函数f(x)在(π/2,π)上单调递增

5.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=x^2上运动，则下列关于点P到直线y=-x+1的距离d的说法正确的有（）

A.d的最小值为1/√2B.d的最小值为1C.当点P在(1,1)时，d取得最小值D.当点P在(-1,1)时，d取得最小值

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为______。

2.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q等于______。

3.已知圆O的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆O的圆心坐标为______，半径r等于______。

4.若复数z=3+4i，则其模长|z|等于______，辐角主值arg(z)等于______（用弧度表示）。

5.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)，则f(x)的最大值为______，最小正周期T等于______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数f(x)的极值。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度。

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，且a_n=S_n*(n-1)（n≥2），求通项公式a_n。

4.已知函数f(x)=2cos^2x-sin(2x)-1，求函数f(x)的最小正周期，并判断函数f(x)的图像是否关于直线x=π/4对称。

5.在直角坐标系中，点P(x,y)在曲线y=x^2上运动，求点P到直线y=-x+1的距离d的最小值，并求取得最小值时点P的坐标。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）

1.C

2.B

3.C

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.D

10.A

解题过程：

1.解：A={1,2}，B={1,2,3,...}，所以A∩B={1,2}，故选C。

2.解：函数f(x)=log_a(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，则a>1，故选B。

3.解：a+b=(1-3,2+4)=(-2,6)，|a+b|=√((-2)^2+6^2)=√40=2√10，故选C。

4.解：z^2=1，则z=±1，所以z的实部为±1，故选D。

5.解：{a_n}是等差数列，a_3=a_1+2d=6，d=2，a_5=a_1+4d=2+4*2=10，故选B。

6.解：圆心O(0,0)，半径r=2，直线3x+4y-5=0到原点的距离d=|0+0-5|/√(3^2+4^2)=5/5=1，因为d<r，所以直线与圆相交，故选A。

7.解：f(x)=sin(ωx+φ)图像关于y轴对称，则sin(ω(-x)+φ)=-sin(ωx+φ)，即sin(-ωx+φ)=-sin(ωx+φ)，所以-ωx+φ=ωx+φ+π或-ωx+φ=ωx+φ-π，即ωx=π/2，所以φ=kπ+π/2，k∈Z，故选B。

8.解：角A+角B+角C=180°，60°+45°+角C=180°，角C=75°，故选A。

9.解：f(x)=e^x-1，x=e^y-1，y=ln(x+1)，即f^(-1)(x)=ln(x+1)，图像关于y=x对称，故选D。

10.解：点P(x,x^2)，到直线x-y=0的距离d=|x-x^2|/√2=|x(1-x)|/√2，d最小值在x=1/2处取得，d_min=|1/2(1-1/2)|/√2=1/(2√2)=1/√2，故选A。

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.ABC

2.ABD

3.AC

4.ABC

5.ABC

解题过程：

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(x)在(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)上单调递增，在(1-√3/3,1+√3/3)上单调递减，f(1-√3/3)=0，f(1+√3/3)=-2+2√3/3，所以极小值为-2，无极大值，故A、B、C正确。

2.解：C=180°-60°-45°=75°，sinC=sin75°，cosC=cos(180°-75°)=-cos75°，tanC=tan(180°-75°)=-tan75°，sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2，sinA>sinB，故A、B、D正确。

3.解：a_n=S_n-S_{n-1}，a_n=S_n*(n-1)，所以S_n-S_{n-1}=S_n*(n-1)，S_{n-1}=S_n/(n-1)-1，当n≥2时，S_{n-1}=S_{n-2}/(n-2)-1，所以S_n/(n-1)-1=S_{n-2}/(n-2)-1，即S_n/(n-1)=S_{n-2}/(n-2)，所以S_n/S_{n-2}=(n-1)/(n-2)，所以S_n/S_{n-1}=(n-1)/(n-2)，所以S_n/S_{n-1}=S_{n-1}/S_{n-2}=...=S_2/S_1，所以S_n/S_{n-1}=常数，设为k，则S_n=kS_{n-1}，当n=2时，S_2=kS_1=k，所以S_n=k^{n-1}，所以a_n=S_n-S_{n-1}=k^{n-1}-k^{n-2}=k^{n-2}(k-1)，当n=1时，a_1=S_1=1，k=1，所以a_n=1，故数列是等差数列，a_3=1，a_4=1，故A、C正确。

4.解：f(x)=2cos^2x-2sinxcosx-1=cos(2x)-sin(2x)=√2cos(2x+π/4)，所以T=2π/|ω|=2π/2=π，f(x)图像关于直线x=π/4对称，f(π/4-α)=√2cos(π/2-α)-sin(π/2-α)=√2sinα-sinα=√2sinα，f(π/4+α)=√2cos(π/2+α)-sin(π/2+α)=-√2sinα-sinα=-√2sinα，所以f(π/4-α)=-f(π/4+α)，故B正确；f'(x)=-2sin(2x)-2cos(2x)，f'(x)=0，得sin(2x)+cos(2x)=0，即tan(2x)=-1，2x=-π/4+kπ，x=-π/8+kπ/2，k∈Z，当x∈(0,π/2)时，x=π/8，此时f(x)在(π/8,π/2)上单调递减，故C正确；当x∈(π/2,π)时，2x∈(π,2π)，sin(2x)<0，cos(2x)<0，所以f(x)=cos(2x)-sin(2x)>0，故D错误，故A、B、C正确。

5.解：点P(x,x^2)，到直线y=-x+1的距离d=|x-x^2+1|/√2=|-(x^2-x-1)|/√2=|x^2-x-1|/√2，令g(x)=x^2-x-1，g(x)在(-∞,1/2)上单调递减，在(1/2,+∞)上单调递增，g(1/2)=-1/4-1/2-1=-3/4，所以d_min=3/(4√2)=3√2/8，取得最小值时x=1/2，y=(1/2)^2=1/4，故A、B、C正确。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.3

2.2

3.(2,-3),4

4.5,arctan(4/3)

5.√2,π

解题过程：

1.解：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x<-2{3,-2≤x≤1{3-x,x>1，f(x)在(-∞,-2)和(-2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，最小值为f(-2)=3，故填3。

2.解：a_4=a_1*q^3=2*q^3=16，q^3=8，q=2，故填2。

3.解：x^2+y^2-4x+6y-3=0，(x-2)^2+(y+3)^2=16，圆心(2,-3)，半径r=4，故填(2,-3),4。

4.解：|z|=√(3^2+4^2)=5，arg(z)=arctan(4/3)，因为z在第一象限，故辐角主值为arctan(4/3)，故填5,arctan(4/3)。

5.解：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最大值为√2，T=2π/|ω|=2π/2=π，故填√2,π。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，得x=1±√3/3，f(-∞)=+∞，f(1-√3/3)=0，f(1+√3/3)=-2+2√3/3，f(+∞)=+∞，所以极大值为0，极小值为-2+2√3/3。

2.解：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，b=a*sinB/sinA=√3*sin45°/sin60°=√3*√2/2*2/√3=√2，c=a*sinC/sinA=√3*sin75°/sin60°=√3*(√6+√2)/4*2/√3=√6+√2。

3.解：见二、多项选择题第3题解答，a_n=1。

4.解：见二、多项选择题第4题解答，最小正周期T=π，图像关于直线x=π/4对称。

5.解：见二、多项选择题第5题解答，d_min=3√2/8，取得最小值时点P(1/2,1/4)。

知识点分类和总结：

1.函数与导数：函数的单调性、极值、最值，导数的应用，函数图像的对称性，函数的周期性。

2.解三角形：正弦定理、余弦定理，三角函数的恒等变换，解三角形的应用。

3.数列：等差数列、等比数列，数列的通项公式、求和公式，数列的证明方法。

4.三角函数：三角函数的定义、图像、性质，三角恒等变换，解三角方程。

5.圆锥曲线：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，曲线的方程与图像。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础概念、性质、定理的掌握程度，以及简单的计算能力。例如，考察函数的单调性，需要学生掌握导数的应用